利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ

5/5数学实验报告利用matlab软件求解常数e和欧拉常数γ实验目的：利用matlab软件计算常数e和γ，并尝试利用不同的算法计算，比较计算精度和时间，找到较好的算法。掌握matlab程序求和、求极限的方法，学会寻找更优算法。实验内容：1、求ee可以来源于两个数列的极限和，即en=lim(1+1/x)^x,(x->+∞)（1式）sn=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……（2式），根据1式，可在matlab上设计如下代码：forn=1:15n=10^n;e=(1+1/n)^n%求常数e的循环语句endformatlong%使结果显示16位双精度数结果：n算出的en算出的e12.59374246010000292.71828205201156022.704813829421529102.71828205323478832.716923932235594112.71828205335711042.718145926824926122.71852349603723852.718268237192298132.71611003408690162.718280469095753142.71611003408702372.718281694132082153.03503520654926282.718281798347358e的标准值约为：2.71828182845904523536由上述结果可知，使用1式，有很大的缺陷，不仅精度连10^-7都没有，而且当n>=10^9误差开始变大。根据2式，可得如下代码：sum=0;t=1;forn=1:18t=n*t;sum=sum+(1/t);end%求常数e的循环语句e=1+sumformatlong%使结果显示16位双精度数结果：n算出的en算出的e12102.71828180114638522.500000000000000112.71828182619849332.666666666666667122.71828182828616942.708333333333334132.71828182844675952.716666666666667142.71828182845823062.718055555555556152.71828182845899572.718253968253968162.71828182845904282.718278769841270172.71828182845904692.718281525573192182.718281828459046e的标准值约为：2.71828182845904523536如上所示，随着n的增大，e的计算值越来越接近e的真实值.但是，当n的值大于17后，计算的精度不再提高，原因是双精度型数只能精确到16位，所以结果只有个位以及小数点后15位（最后一位是近似取的），而1/18!=1.56*10^-16，所以n超过18再往下计算不会更精确。。在1式代码中，(1+1/n)和n都只能精确到小数点后16位，两者相乘，结果精度将只能精确到8位。在2式中，,每一项都能精确到小数点后16位，而e是所有项的和，求和后仍然能够精确到小数点后16位。所以，对于某些使用数学软件求解的问题，如果对精度有要求，应该尽量使用加、减运算，少用其他的运算(例如乘、除、乘方、对数等)，这样可以提高运算精度。2、求γ如此欧拉常数γ也可以使用matlab求出较为精确的值。可由公式γ=lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n)-ln(n)]得出。forn=1:10s=0;fori=1:10^ns=s+(1/i);endy=s-log(10^n)%求常数γ的循环语句endformatlong%使结果显示16位双精度数结果：n算出的γn算出的γ10.62638316097420860.57721616490071520.58220733165152970.57721571489895130.57771558156820680.57721566990018840.57726566406816590.57721566540213950.577220664893106100.577215665057043γ的权威数值约等于0.57721566490153286060651209。上述结果精度约有10^-8，虽然精度还有提高空间，然而matlab上运行时，结果表明，增加n值，精度提高，运算时间也将大大加长（通常n超过10就需要好几分钟）使用级数来计算：forn=1:9s=0;fori=1:10^ns=s+(1/i)-log(1+1/i);endy=s%求常数γ的循环语句endformatlong%使结果显示16位双精度数结果：n算出的γn算出的γ10.53107298116988460.57721516490209820.57225700079836170.57721561490116630.57671608123512580.57721566039529940.57716566906787090.57721566039536650.577210664943251γ的权威数值约等于0.57721566490153286060651209。上述结果精度也约有10^-8，n再大就计算时间大大增加了，且可能会出错。上面两个算法都不能算出更为精确的欧拉常数的值，因为调和级数收敛较慢，因此matlab计算很缓慢。这也表明，这个算法还有待改进，需要更好的算法才能计算出γ更精确的值。实验总结：本文探索了使用数学软件