初中数学模型-经典几何模型之“阿氏圆”

【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。P在直线上运动和P在圆上运动。P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满PA=k·PB（k≠1）P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？故如何确定“k·PB2OBOCOC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与AC为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3【破解策略详细步骤解析】O（kO相连），即连OB、OP；OPOBOPOAkOPOBCOCOP；（核心关键步骤 【核心步骤另单独解析】 （构造出△PCO∽△BPOOCOP，进而推出OP2OBOC，即 AP、BPAP1BP2解答：2CPCP=2，AC=6，BC=4CP1CP1 目中是求“AP1BP”其中的“k=1ACCP1 CBDCD=1CDCPPD1P如何移动，，△PCD PD1BPAP1BP=AP+PDA、DA、P AC2AC22

=37（BP1PA3）2COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5PCD上一点，求2PA+PB的最小值.OPOP=6OA=3OB=5 5题目求的“2A+PB，、 OH=12OAOPAP1P如何移动，△PAO与△HPO PH=2PA2PA+PB=PH+PBH、BH、P、B

=13.（AP6PBOH2OH231AC=6，BC=8，AB=10，⊙C4D是⊙CAD、BDAD1BD2解答：CDCD=4，CB=8，CA=6CD1CD2，题目求的是 “AD1BD”，其中的“k1CD1CBCB HCH=2CHCDHD1P如何移动，△DHO与△BDC HD1BDAD1BD=AD+DHH、AH、D、A CH2AC线时最小，AD1CH2AC2

.（BD2AD3CD=2AD2BD3件“CD=22，Dr=2的⊙C上，下面步骤完全与上相同，故略。43AP1PB2解答：2CPCP2CP1CB HCH=1CHCPPH1P △PCH与△BCPPH1BPAP1PB=AP+PHH、A CH2ACCH2AC2

BP2AP32 2 、 22

2动”指的是“动点P”，“两定”不是指A、C，而是要看问题 PD+4PC”问题中224为动点，C、D才是定点，故本题应该比较BP1，BP 2，故选择在BD上24

2BHBPPH

2P2 2DBP

2PD4

PD+4PC

2PD422

PD+4PC

24PM2PM2MC

(1(1)2(7 5

.（PD1PC22271ABCD4，∠B=60°，⊙B2，P为⊙B

3PD6PC 3，BP1，故在BD上取点H，使得BH=3， BHBPPH

3

3

3PD6PC

3 HMHM2MC

（PD1PC2的第一象限内一动点，且∠BPA=1352PD+PC的最小值是？解答：P2然后下面过程略，42= 3（PH+PC）=3CH，利用∠CBA=60°BC=8，可以求出BH=4，进而可知HM=1，CM=4 故CH=733 32：如图，等边△ABC6，内切圆记为⊙O，P是⊙O2PB+PC的7 72ACFGB，EOGEOBGyHEH，HFEA，E，F，HE，H的坐标；E为圆心，EHM为⊙E上一动点，求1AM+CM2答案：（1）yx22x

（2）G（-2,4）（3）①