2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2-2

PAGEPAGE12．1.1合情推理1.了解合情推理的含义及作用．2.理解归纳推理与类比推理的特点及步骤．3.会利用归纳和类比的方法进行推理．1．推理(1)定义：依据一个或几个已知事实(或假设)得出一个推断，这种思维方式就是推理．(2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推断推出的新推断，叫做结论．(3)分类：推理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(合情推理,演绎推理))2．合情推理(1)合情推理①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．②分类：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．(2)归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义依据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理依据两类不同事物之间具有某些类似(或一样)性，推想其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理特征归纳是从特别到一般的过程类比是从特别到特别的过程1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．()(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不肯定正确．()(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()答案：(1)×(2)√(3)×2．数列5，9，17，33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128答案：B3．各项都为正数的数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，求数列{an}的通项公式．答案：an＝eq\f(n（n＋1）,2)数与式的推理(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解](1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)))eq\s\up12(2).(2)当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)；当n＝3时，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；当n＝4时，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).通过视察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝eq\f(1,n).eq\a\vs4\al()由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要留意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的改变规律．(2)要留意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．1.视察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________________．解析：视察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)2．已知数列{an}满意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.解：(1)当n＝1时，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，当n＝2时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.(2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋).归纳推理在几何图形中的应用如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N＋)．[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N＋)．[答案]153n－3eq\a\vs4\al()归纳推理在图形中的应用策略1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30解析：选B.把1，3，6，10，15，21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2．依据图中5个图形及相应点的个数的改变规律，试揣测第n个图中有________个点．解析：视察图形的改变规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1类比推理及其应用类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想．[解]如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；类比直角三角形的勾股定理，在四面体P­DEF中，如图(2)，猜想：S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)(S、S1、S2、S3分别是四面体P­DEF的面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE的面积)．eq\a\vs4\al()类比推理的一般步骤1.下面运用类比推理正确的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：选C.A错，因为类比的结论a可以不等于b；B错，类比的结论不满意安排律；C正确；D错，乘法类比成加法是不成立的．2．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A­BCD的内切球半径为R，求三棱锥A­BCD的体积．解：内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R，三角形的周长：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面积公式系数eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥体积公式系数eq\f(1,3).所以类比得三棱锥体积VA­BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．1．利用归纳推理解决问题时，要擅长归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要精确捕获有用信息并进行分析，大胆揣测，当心验证即可．2．利用类比推理解决问题时肯定要留意两类事物的相像性，例如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等，但类比推理的结论不肯定正确，须要证明．在进行类比推理时，充分相识两个系统的相同(或相像)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比，避开因类比的相像性较少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误．1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．由数列1，10，100，1000，…，揣测该数列的第n项可能是()A．10n B．10n－1C．10n＋1 D．10n－2解析：选B.数列各项依次为100，101，102，103…，由归纳推理可知，选B.3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶84．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想当n≥2时，有__________．解析：通过视察归纳可得f(2n)>eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)>eq\f(n＋2,2)[A基础达标]1．视察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为()A．22 B．33C．44 D．55解析：选D.视察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即an＝an－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．给出下列三个类比结论：①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③类比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，则有(xy)z＝x(yz)．其中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.依据指数的运算法则知ax÷ay＝ax－y，故①正确；依据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sinαsinβ，②不正确；依据乘法结合律知：(xy)z＝x(yz)，③正确．3．视察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：选B.可以发觉：第一个式子的第一个数是1，其次个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，其次个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，其次个式子的结果是3的平方，故第n个式子应当是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc≠0)的平面方程为()A．eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＋eq\f(z,c)＝1 B．eq\f(x,mn)＋eq\f(y,nc)＋eq\f(z,mc)＝1C．eq\f(xy,mn)＋eq\f(yz,nc)＋eq\f(zx,cm)＝1 D．mx＋ny＋cz＝1答案：A5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．依据图中的规律，第n个“金鱼”图须要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C.从①②③可以看出，从图②起先每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.6．我们知道：周长肯定的全部矩形中，正方形的面积最大；周长肯定的全部矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积肯定的全部长方体中，正方体的体积最大；表面积肯定的全部长方体和球中，球的体积最大7．视察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此规律，第五个不等式为________________．解析：视察每行不等式的特点，每行不等式左端最终一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)8．将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：依据以上排列的规律，第n(n≥3，n∈N＋)行从左向右的第3个数为________．解析：前(n－1)行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(n2－n,2)(个)，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))个，即为eq\f(n2－n＋6,2).答案：eq\f(n2－n＋6,2)9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：因为Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,n（n＋1）).10．平面中的三角形和空间中的四面体有许多相类似的性质，例如在三角形中：①三角形两边之和大于第三边．②三角形的面积S＝eq\f(1,2)×底×高．③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的eq\f(1,2).请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：①四面体的随意三个面的面积之和大于第四个面的面积．②四面体的体积V＝eq\f(1,3)×底面积×高．③四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的eq\f(1,4).[B实力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A．809 B．853C．785 D．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.12．依据图(1)的面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)，可猜想图(2)有体积关系：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝________．解析：题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P­ABC，P­A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P­A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P­ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC).答案：eq\f(PA′,PA)·eq\f(PB′,PB)·eq\f(PC′,PC)13．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{