2024-2025学年年八年级数学人教版下册二次根式的加减(1)西城区学习探究诊断测试(含答案)

2024-2025学年年八年级数学人教版下册二次根式的加减(1)西城区学习探究诊断测试(含答案)测试4二次根式的加减(一)学习要求掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算．课堂学习检测一、填空题1．下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______．2．计算：(1)________； (2)__________．二、选择题3．化简后，与的被开方数相同的二次根式是()．A． B． C． D．4．下列说法正确的是()．A．被开方数相同的二次根式可以合并 B．与可以合并C．只有根指数为2的根式才能合并 D．与不能合并5．下列计算，正确的是()．A． B．C． D．三、计算题6． 7．8． 9．10． 11．综合、运用、诊断一、填空题12．已知二次根式与是同类二次根式，(a＋b)a的值是______．13．与无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”)二、选择题14．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是()．A． B． C． D．三、计算题15． 16．17． 18．四、解答题19．化简求值：，其中，．20．当时，求代数式x2－4x＋2的值．拓广、探究、思考21．探究下面的问题：(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．①（） ②（）③（） ④（）(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围．(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．参考答案1．2．(1)3．C．4．A．5．C．6．7．8．9．10．11．12．1．13．错误．14．C．15．16．17．18．0．19．原式代入得2．20．1．21．(1)都画“√”；(2)(n≥2，且n为整数)；(3)证明：测试5二次根式的加减(二)学习要求会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．课堂学习检测一、填空题1．当a=______时，最简二次根式与可以合并．2．若，，那么a＋b=______，ab=______．3．合并二次根式：(1)________；(2)________．二、选择题4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是()．A．与 B与C．与 D．与5．下列计算正确的是()．A． B．C． D．6．等于()．A．7B．C．1D．三、计算题(能简算的要简算)7． 8．9． 10．11． 12．综合、运用、诊断一、填空题13．(1)规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a，b为实数，则_______．(2)设，且b是a的小数部分，则________．二、选择题14．与的关系是()．A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．乘积是有理式15．下列计算正确的是()．A． B．C． D．三、解答题16． 17．18． 19．四、解答题20．已知求:(1)x2－xy＋y2；(2)x3y＋xy3的值．21．已知，求的值．拓广、探究、思考22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：与，与互为有理化因式．试写下列各式的有理化因式：(1)与______； (2)与______； (3)与______；(4)与______； (5)与______； (6)与______．23．已知求．(精确到0.01)参考答案1．6．2．3．(1)(2)4．D．5．D．6．B．7．8．9．10．11．12．13．(1)3；(2)14．B．15．D．16．17．2．18．19．(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．20．(1)9；(2)10．21．4．22．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(答案)不唯一．23．约7.70．21.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减(1)学习目标视窗理解二次根式加减运算法则．能正确地二次根式进行加减运算并把结果化简成最简二次根式．基础巩固提优1.下列各组根式，化简后可以合并的一组是()．A.eq\r(54)和eq\r(\f(3,4))B.eq\r(2\f(2,3))和eq\r(1.125)C.eq\r(ab3c5)和3eq\r(\f(c,ab))D.eq\r(\f(1,x2y))和eq\r(\f(y4,x5))2.下列各式中，计算正确的是()．A.eq\r(3)＋eq\r(5)＝eq\r(8)B.3＋eq\r(6)＝3eq\r(6)C.7eq\r(5)－3eq\r(5)＝4eq\r(5)D.eq\f(\r(12)＋\r(32),2)＝eq\r(6)＋eq\r(16)＝4＋eq\r(6)3.下列等式成立的是()．A.eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(a＋b)B.5eq\r(3x)－4eq\r(3x)＝eq\r(6x)C.2xeq\r(27x)－6xeq\r(\f(3x,4))＝3xeq\r(3x)D.3meq\r(x)－5eq\r(x)＝3m－5eq\r(x)4.计算eq\r(27)－eq\f(1,3)eq\r(18)－eq\r(12)的结果是()．A.1B.－1C.eq\r(3)－eq\r(2)D.eq\r(2)－eq\r(3)5．若最简二次根式和能够合并，则a的值是.6．若a,b为有理数，且，则.7．先化简,再求得它的近似值为.(精确到0.01，≈1.414，≈1.732)8.计算：(1)eq\r(75)＋2eq\r(8)－eq\r(200)；(2)eq\r(32)＋3eq\r(0.5)－eq\f(1,3)eq\r(3)＋8eq\r(\f(1,3))；(3)eq\r(12)＋3eq\r(1\f(1,3))－eq\r(5\f(1,3))－eq\f(2,3)eq\r(48)；(4)8xeq\r(\f(x,4))－x2eq\r(\f(1,x))－eq\f(5,3)eq\r(9x)＋eq\r(x3)；(5)(eq\r(7)＋4eq\r(3))(eq\r(7)－4eq\r(3))－(3eq\r(5)－1)．(6)eq\r(a3b)－eq\r(ab3)－a2eq\r(\f(b,a))＋eq\r(ab).9.如图，机器人从点A沿着西南方向行了4eq\r(2)个单位，到达点B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，求原来点A的坐标．10．若，求的值．思维拓展提优11.已知xy＝3，则xeq\r(\f(y,x))＋yeq\r(\f(x,y))的值为________．12.若a，b为有理数，且eq\r(9)＋eq\r(27)＋eq\r(12)＝a＋beq\r(3)，则以a，b为两条直角边的直角三角形的斜边长c＝________.13.如图是小华同学设计的一个计算机程序，请看懂后回答下列问题．(1)若输入的数x＝5，则输出的结果是________；(2)若输出的结果是0且没有返回运算，则输入的数x是________；(3)请你输入一个数，使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算时可输出结果，你觉得可以输入的数是______，输出的数是________．14.化简：eq\r(18)－eq\r(\f(9,2))－eq\f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋(eq\r(3)－2)0＋eq\r(1－\r(2)2).15.已知eq\r(5＋a)－eq\f(5,2)eq\r(8)＝2eq\r(2)，求a的值．16.已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\r(9x)＋y2\r(\f(x,y3))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2\r(\f(1,x))－5x\r(\f(y,x))))的值．开放探究提优17.已知a＋eq\f(1,a)＝6.(1)若0＜a＜1，求eq\r(a)－eq\f(1,\r(a))的值；(2)若没有条件0＜a＜1的限制，则eq\r(a)－eq\f(1,\r(a))的值等于多少？18.已知整数a，b满足eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(1404)，请写出两组符合题意的a，b的值．走进中考前沿19.下列各式计算正确的是()．A．B．C．D．20.计算2－6＋的结果是()．A．3－2 B．5－C．5－ D．221．（2011上海）计算：．参考答案1.C2.C3.C4.C5．26．7．5.208.(1)5eq\r(3)－6eq\r(2)(2)eq\f(11,2)eq\r(2)＋eq\f(7,3)eq\r(3)(3)0(4)(4x－5)eq\r(x)(5)－40－3eq\r(5)(6)(1－b)eq\r(ab)9.A(0,4＋eq\f(4,3)eq\r(3))10．11.±2eq\r(3)12.eq\r(34)13.(1)eq\r(6)(2)±eq\r(7)(3)答案不唯一，如分别填2,2eq\r(2)－eq\r(6).14.eq\f(3\r(2),2)－115.9316.∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，即4x2－4x＋1＋y2－6y＋9＝0，∴(2x－1)2＋(y－3)2＝0.∴x＝eq\f(1,2)，y＝3.原式＝eq\f(2,3)xeq\r(9x)＋y2eq\r(\f(x,y3))－x2eq\r(\f(1,x))＋5xeq\r(\f(y,x))＝2xeq\r(x)＋eq\r(xy)－xeq\r(x)＋5eq\r(xy)＝xeq\r(x)＋6eq\r(xy).当x＝eq\f(1,2)，y＝3时，原式＝eq\f(1,2)×eq\r(\f(1,2))＋6eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(2),4)＋3eq\r(6).17.(1)－2(2)±218.a＝39，b＝975或a＝156，b＝624等19．C20．A21.第2课时二次根式的加减(2)学习目标视窗掌握二次根式加减乘除混合运算的顺序和方法．会类比整式乘法进行二次根式的计算．基础巩固提优1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化简：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，则a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，运算正确的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．计算的结果估计()．A．6至7之间B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间7．已知，，则，的关系为()．A．B.C.D.8.若一个三角形的周长为12eq\r(3)cm，一边长为3eq\r(3)cm，其他两边之差为eq\r(3)cm，则这个三角形是()．A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.计算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.计算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化简，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思维拓展提优12.方程的解是.13．若实数m满足，则.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.设eq\r(20)的整数部分是x，小数部分为y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如图(1)是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝40cm.将斜边上的高CD四等分，然后截出3张宽度相等的长方形纸条．(1)分别求出这3张长方形纸条的长度；(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠)，如图(2)，则正方形美术作品的面积最大不能超过多少？（1）(2)开放探究提优17.有这样一道题，计算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同学把“x＝2009”错抄成“x＝2090”，但他的计算结果是正确的．请问这是怎么回事？试说明理由．18.先将(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化简，然后再选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．走进中考前沿19.先化简，后求值：其中20.先化简，再求值：，其中a=.奥赛园地教练平台【例1】（2011海南预赛）若，则化简的结果为()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，进而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全国初中数学联赛江西省初赛)已知a，b，c为正整数，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)为有理数，证明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)为整数．【分析】先将条件转化，即将分子、分母有理化后，由根号前的数字因数为0，得到a，b，c的关系，然后结合条件，将a＋b＋c分解因式．【证明】因eq\r(3)是无理数，则eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)为有理数，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c为整数．挑战自我初赛题1.(第17届希望杯全国)如果要使代数式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意义，那么实数x的取值范围是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全国初中数学竞赛）设，则代数式的值为()．A.0B.1C.－1D.23．(2010广东初赛)如果x，则等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20届江苏)正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1，设p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，则()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p与5的大小关系不确定5.(2009·江西预赛)已知非零实数a，b满足|2a－4|＋|b＋2|＋eq\r(a－3b2)＋4＝2a，则a＋b等于()．A.－1B.0C.1D.2复赛题6.(2010·全国《数学周报》杯)已知a＝eq\r(5)－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于______________．7.(2011年全国初中数学联赛)化简的结果是．8.(2009·全国初中数学联合竞赛试题)设a＝eq\r(7)－1，则3a3＋12a2－6a－12等于．9.(2008·全国)设x＝eq\f(1,\r(2)－1)，若a是x的小数部分，b是－x的小数部分，则a3＋b3＋3ab＝________.10.(2010·全国《数学周报》杯)如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝2eq\r(3)，BC＝4－2eq\r(2)，CD＝4eq\r(2)，则边AD的长为()．A.2eq\r(6)B.4eq\r(6)C.4＋eq\r(6)D.2＋2eq\r(6)11.(2010·全国)若实数a，b，c满足等式2eq\r(a)＋3|b|＝6,4eq\r(a)－9|b|＝6c，则c可能取的最大值为()．A.0B.1C.2D.312.(第22届希望杯全国)方程的解的情况是().A.无解B.恰有一解C.恰有两个解D.有无穷多个解参考答案二次根式的加减(2)1．2.2eq\r(3)103.45.3＋2eq\r(2)5.A6.B7.B8.C9.(1)9ax－16by(2)2eq\r(3)＋3eq\r(2)－3(3)2eq\r(15)－6(4)eq\r(2)＋110.(1)eq\f(75,2)eq\r(5)－eq\f(75,2)eq\r(3)(2)eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)(3)2eq\r(5)11.(1)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab＝1(2)原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3＝6eq\r(5)12．13．314.1115.eq\f(30－3\r(5),5)16.(1)10eq\r(2)cm20eq\r(2)cm30eq\r(2)cm(2)200cm217.原式化简结果为－2，因此这位同学无论把x抄成什么值，都不会影响计算的结果．18.1＋x，当x＝－3时，原式＝－2.(本题答案不唯一，x的数值只要满足x≤0均可)19.原式＝＝x·y=(+1)(-1)=1.20．原式＝，把代人上式中，得.奥赛园地1.B2．C3.B4.A5.C6.07.8.249.1提示：∵x＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1，而2＜eq\r(2)＋1＜3，∴a＝x－2＝eq\r(2)－1.又－x＝－eq\r(2)－1，而－3＜－eq\r(2)－1＜－2，∴b＝－x－(－3)＝2－eq\r(2).∴a＋b＝1.∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.10.D提示：过点A、D分别作AE、DF垂直于直线BC，垂足分别为E、F.由已知，可得BE＝AE＝eq\r(6)，CF＝2eq\r(2)，DF＝2eq\r(6)，于是EF＝4＋eq\r(6).过点A作AG⊥DF，垂足为G.在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AD＝eq\r(4＋\r(6)2＋\r(6)2)＝2＋2eq\r(6).11.C提示：由两个已知等式可得eq\r(a)＝eq\f(3,5)(c＋3)，|b|＝eq\f(2,5)(2－c)，而|b|≥0，所以c≤2.当c＝2时，可得a＝9，b＝0，满足已知等式．所以c可能取的最大值为2.12.D.提示：将方程变形为…①，分三种情况考虑，若，则①成为，即，得；若，则①成为，即，得；若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解．第2课时二次根式的加减(2)学习目标视窗掌握二次根式加减乘除混合运算的顺序和方法．会类比整式乘法进行二次根式的计算．基础巩固提优1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化简：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，则a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，运算正确的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．计算的结果估计()．A．6至7之间B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间7．已知，，则，的关系为()．A．B.C.D.8.若一个三角形的周长为12eq\r(3)cm，一边长为3eq\r(3)cm，其他两边之差为eq\r(3)cm，则这个三角形是()．A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.计算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.计算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化简，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思维拓展提优12.方程的解是.13．若实数m满足，则.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.设eq\r(20)的整数部分是x，小数部分为y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如图(1)是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝40cm.将斜边上的高CD四等分，然后截出3张宽度相等的长方形纸条．(1)分别求出这3张长方形纸条的长度；(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠)，如图(2)，则正方形美术作品的面积最大不能超过多少？（1）(2)开放探究提优17.有这样一道题，计算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同学把“x＝2009”错抄成“x＝2090”，但他的计算结果是正确的．请问这是怎么回事？试说明理由．18.先将(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化简，然后再选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．走进中考前沿19.先化简，后求值：其中20.先化简，再求值：，其中a=.奥赛园地教练平台【例1】（2011海南预赛）若，则化简的结果为()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，进而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全国初中数学联赛江西省初赛)已知a，b，c为正整数，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)为有理数，证明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)为整数．【分析】先将条件转化，即将分子、分母有理化后，由根号前的数字因数为0，得到a，b，c的关系，然后结合条件，将a＋b＋c分解因式．【证明】因eq\r(3)是无理数，则eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)为有理数，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c为整数．挑战自我初赛题1.(第17届希望杯全国)如果要使代数式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意义，那么实数x的取值范围是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全国初中数学竞赛）设，则代数式的值为()．A.0B.1C.－1D.23．(2010广东初赛)如果x，则等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20届江苏)正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1，设p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，则()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p与5的大小关系不确定5.(2009·江西预赛)已知非零实数a，b满足|2a－4|＋|b＋2|＋eq\r(a－3b2)＋4＝2a，则a＋b等于()．A.－1B.0C.1D.2复赛题6.(2010·全国《数学周报》杯)已知a＝eq\r(5)－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于______________．7.(2011年全国初中数学联赛)化简的结果是．8.(2009·全国初中数学联合竞赛试题)设a＝eq\r(7)－1，则3a3＋12a2－6a－12等于．9.(2008·全国)设x＝eq\f(1,\r(2)－1)，若a是x的小数部分，b是－x的小数部分，则a3＋b3＋3ab＝________.10.(2010·全国《数学周报》杯)如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝2eq\r(3)，BC＝4－2eq\r(2)，CD＝4eq\r(2)，则边AD的长为()．A.2eq\r(6)B.4eq\r(6)C.4＋eq\r(6)D.2＋2eq\r(6)11.(2010·全国)若实数a，b，c满足等式2eq\r(a)＋3|b|＝6,4eq\r(a)－9|b|＝6c，则c可能取的最大值为()．A.0B.1C.2D.312.(第22届希望杯全国)方程的解的情况是().A.无解B.恰有一解C.恰有两个解D.有无穷多个解参考答案二次根式的加减(2)1．2.2eq\r(3)103.45.3＋2eq\r(2)5.A6.B7.B8.C9.(1)9ax－16by(2)2eq\r(3)＋3eq\r(2)－3(3)2eq\r(15)－6(4)eq\r(2)＋110.(1)eq\f(75,2)eq\r(5)－eq\f(75,2)eq\r(3)(2)eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5)(3)2eq\r(5)11.(1)原式＝a2＋2ab＋b2＋2a2－ab－b2－3a2＝ab＝1(2)原式＝a2－3－a2＋6a＝6a－3＝6eq\r(5)12．13．314.1115.eq\f(30－3\r(5),5)16.(1)10eq\r(2)cm20eq\r(2)cm30eq\r(2)cm(2)200cm217.原式化简结果为－2，因此这位同学无论把x抄成什么值，都不会影响计算的结果．18.1＋x，当x＝－3时，原式＝－2.(本题答案不唯一，x的数值只要满足x≤0均可)19.原式＝＝x·y=(+1)(-1)=1.20．原式＝，把代人上式中，得.奥赛园地1.B2．C3.B4.A5.C6.07.8.249.1提示：∵x＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1，而2＜eq\r(2)＋1＜3，∴a＝x－2＝eq\r(2)－1.又－x＝－eq\r(2)－1，而－3＜－eq\r(2)－1＜－2，∴b＝－x－(－3)＝2－eq\r(2).∴a＋b＝1.∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.10.D提示：过点A、D分别作AE、DF垂直于直线BC，垂足分别为E、F.由已知，可得BE＝AE＝eq\r(6)，CF＝2eq\r(2)，DF＝2eq\r(6)，于是EF＝4＋eq\r(6).过点A作AG⊥DF，垂足为G.在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AD＝eq\r(4＋\r(6)2＋\r(6)2)＝2＋2eq\r(6).11.C提示：由两个已知等式可得eq\r(a)＝eq\f(3,5)(c＋3)，|b|＝eq\f(2,5)(2－c)，而|b|≥0，所以c≤2.当c＝2时，可得a＝9，b＝0，满足已知等式．所以c可能取的最大值为2.12.D.提示：将方程变形为…①，分三种情况考虑，若，则①成为，即，得；若，则①成为，即，得；若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解．第2课时二次根式的加减(2)学习目标视窗掌握二次根式加减乘除混合运算的顺序和方法．会类比整式乘法进行二次根式的计算．基础巩固提优1．已知a＋b＝－8，ab＝8，化简：______．2.若a＝eq\r(3)－eq\r(2)，则a＋eq\f(1,a)＝________，a2＋a－2＝________.3.若已知a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.4.(3－2eq\r(2))2009·(3＋2eq\r(2))2010＝________.5.下列各式中，运算正确的是()．A.(5eq\r(2)－2eq\r(5))÷eq\r(10)＝eq\r(5)－eq\r(2)B.(2＋eq\r(5))2＝9＋2eq\r(5)C.(eq\r(3)－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)－\f(1,\r(2)))))＝1D.eq\r(a)÷(b＋c)＝eq\r(\f(a,b))＋eq\r(\f(a,c))6．计算的结果估计()．A．6至7之间B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间7．已知，，则，的关系为()．A．B.C.D.8.若一个三角形的周长为12eq\r(3)cm，一边长为3eq\r(3)cm，其他两边之差为eq\r(3)cm，则这个三角形是()．A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.计算：(1)(3eq\r(ax)－4eq\r(by))(3eq\r(ax)＋4eq\r(by))；(2)eq\r(3)(2＋eq\r(6)－eq\r(3))；(3)(eq\r(2)－eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(2)＋eq\r(3)－eq\r(5))；(4)(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)2.10.计算：(1)5eq\r(15)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(5),5)));(2)eq\f(2\r(6),\r(2)＋\r(3)＋\r(5))；(3)eq\r(9－4\r(5))＋eq\r(9＋4\r(5)).11.先化简，再求值(1)(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中a＝－2－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－2.(2)(a－eq\r(3))(a＋eq\r(3))－a(a－6)，其中a＝eq\r(5)＋eq\f(1,2).思维拓展提优12.方程的解是.13．若实数m满足，则.14.已知a－b＝eq\r(3)＋eq\r(2)，b－c＝eq\r(3)－eq\r(2)，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．15.设eq\r(20)的整数部分是x，小数部分为y，求eq\f(xy,x＋y)＋eq\f(2,y)的值．16.如图(1)是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝40cm.将斜边上的高CD四等分，然后截出3张宽度相等的长方形纸条．(1)分别求出这3张长方形纸条的长度；(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠)，如图(2)，则正方形美术作品的面积最大不能超过多少？（1）(2)开放探究提优17.有这样一道题，计算eq\f(x＋\r(x2－4),x－\r(x2－4))＋eq\f(x－\r(x2－4),x＋\r(x2－4))－x2(x＞2)的值，其中x＝2009.某同学把“x＝2009”错抄成“x＝2090”，但他的计算结果是正确的．请问这是怎么回事？试说明理由．18.先将(1＋eq\r(－x))(1－eq\r(－x))化简，然后再选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．走进中考前沿19.先化简，后求值：其中20.先化简，再求值：，其中a=.奥赛园地教练平台【例1】（2011海南预赛）若，则化简的结果为()．A．1B．-1C．D．【分析】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，进而a-1≤0,∴=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.【解答】D.【例2】(2010·全国初中数学联赛江西省初赛)已知a，b，c为正整数，且eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)为有理数，证明eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)为整数．【分析】先将条件转化，即将分子、分母有理化后，由根号前的数字因数为0，得到a，b，c的关系，然后结合条件，将a＋b＋c分解因式．【证明】因eq\r(3)是无理数，则eq\r(3)b－c≠0，而eq\f(\r(3)a＋b,\r(3)b＋c)＝eq\f(\r(3)a＋b\r(3)b－c,3b2－c2)＝eq\f(3ab－bc＋\r(3)b2－ac,3b2－c2)为有理数，所以b2－ac＝0，于是a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝(a＋b＋c)2－2b(a＋c＋b)＝(a＋b＋c)(a－b＋c)，因此，eq\f(a2＋b2＋c2,a＋b＋c)＝a－b＋c为整数．挑战自我初赛题1.(第17届希望杯全国)如果要使代数式eq\f(\r(|x－3|－2),x2－4x＋3)有意义，那么实数x的取值范围是()．A.1＜x≤5B.x＜1或x≥5C.x≤1或x≥5D.x＜1或x＞52.（2011年全国初中数学竞赛）设，则代数式的值为()．A.0B.1C.－1D.23．(2010广东初赛)如果x，则等于()．A.4xB.2C.2D.24x

4.(第20届江苏)正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1，设p＝eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r(3c＋1)＋eq\r(3d＋1)，则()．A.p＞5B.p＝5C.p＜5D.p与5的大小关系不确定5.(2009·江西预赛)已知非零实数a，b满足|2a－4|＋|b