北京市海淀区2022-2023学年高一下学期期末练习数学试卷(解析)

高中数学精编资源海淀区高一年级练习数学2023.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1.本试卷共6页,共3道大题,19道小题.满分100分.考试时间90分钟.2.在试卷上准确填写学校名称､班级名称､姓名.3.试题答案一律书写在试卷上,用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束,请将本试卷交回.第一部分(选择题共40分)一､选选题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数虚部是()A.1 B.3 C.-1 D.-3【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算可得答案.【详解】复数的虚部是.故选:B.2.已知向量,则下列向量中与平行的单位向量是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案.【详解】设与平行的单位向量为,则.则与平行的单位向量为或.故选:A3.若,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断,再根据商的关系结合平方关系求解即可.【详解】由,解得,故选:D.4.已知,则的值为()A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正切公式即可.【详解】故选:C5.下列函数中,周期是,又是偶函数的是A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x【答案】D【解析】【详解】A,B两项的周期均为,所以排除,C项为奇函数,D为偶函数且周期是,所以选D6.已知向量,向量为单位向量,且,则()A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】首先求出,再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】因为,所以,又向量为单位向量,即,所以.故选:C7.函数的最大值为()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由诱导公式、辅助角公式化简解析式,然后结合三角函数的性质确定函数的最大值即可.【详解】.当时,函数取得最大值.故选:B8.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件结合正弦定理分析判断即可.【详解】当时,,则由正弦定理得,当时,由正弦定理得,所以,所以“”是“”的充要条件,故选:C9.已知,则的最小值为()A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由得出,进而结合图形得出最小值.【详解】因为,所以,,点在以点为圆心,半径为1的圆上,如下图所示:由图可知,当点与点不重合时,.当点与点重合时,.综上,的最小值为1.故选:A10.海洋中的波动是海水的重要运动形式之一.在外力的作用下,海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动,由于流体的连续性,必然带动其邻近质点,从而导致其运动状态在空间的传播.(节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社)某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移(米)与时间(秒)的关系近似满足,其中常数.经测定,在秒时该质点第一次到达波峰,在秒时该质点第三次到达波峰.在时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为()A.秒 B.2秒 C.秒 D.3秒【答案】C【解析】【分析】由正弦函数的性质得出解析式,再由得出总时长.【详解】解:因为秒时该质点第一次到达波峰,在秒时该质点第三次到达波峰.所以,即,当时,,,即,因为,所以.则,由得出或,.即,或,因为,所以.因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为.故选:C第二部分(非选择题共60分)二､填空题共5小题,每小题4分,共20分.11.在复平面内,复数对应的点的坐标是,则__________.【答案】【解析】【分析】先求出,再根据复数的除法运算求解即可.【详解】因为复数对应的点的坐标是,所以,则,故答案为:12.已知,且,则的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】设出点坐标,由列方程组可求出点坐标,进而可求的坐标.【详解】设,因为,所以,,又因为,所以,解得,所以.故答案为:13.在平面直角坐标系中,点,则的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】由题意,得,计算,,再利用三角形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意,可得,,,所以.故答案:.14.在中,,请给出一个的值,使得满足条件的三角形恰有两个,则的一个值是__________.【答案】均可,如【解析】【分析】根据余弦定理转化为关于的方程有两解可得的取值范围,从的范围中取值即可.【详解】由余弦定理可得,即有两解,所以有两解,所以,所以,解得,又由,所以实数的范围是.故答案为:均可,如15.已知函数,给出下列四个结论:①存在无数个零点；②在上有最大值；③若,则；④区间是的单调递减区间.其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②③【解析】【分析】解方程,可判断①；分析出函数在的最大值点在区间内,再利用最值定理可判断②；推导出,可判断③；利用特殊值法可判断④.【详解】对于①,由可得且,即函数的定义域为,令可得,则,且,故,所以,函数有无数个零点,①对；对于②,当时,,令,可得,解得,假设函数在上的最大值点为,则,因为函数在上单调递增,且,对任意的,且,则,所以,,则,所以,若在上存在最大值点,则,因为函数在上是一条连续不断的曲线,所以,函数在上存在最大值,故函数在上存在最大值,②对；对于③,对任意的,,因为,所以,若,则,③对；对于④,,,因为,即,故,故函数在上不可能单调递减,④错.故答案为:①②③.【点睛】关键点点睛:本题第②小问中函数的单调性不好判断,可分析出函数的最值点所在的区间,并分析出函数的图象是连续的,再结合最值定理来进行判断.三､解答题共4小题,共40分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系中,已知点,点满足.(1)当时,求点的坐标；(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由坐标运算得出点的坐标；(2)由向量垂直的坐标表示得出的值.【小问1详解】因点,所以.又因为点满足,所以.当时,,所以,所以点的坐标为.【小问2详解】由点,可得,因为,且,所以,所以.17.如图所示,已知中,为上一点,.(1)求；(2)若,求的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中,由正弦定理可得答案；(2)由(1)得.法1:由正弦定理、可得,再由余弦定理可得.法2:求出及,再由两角差的正弦展开式求出,在中由正弦定理可得答案.【小问1详解】在中,由正弦定理可得,所以,又因为,所以；【小问2详解】因为,所以,所以,由(1)结论,计算可得,法1:由正弦定理可知,又,所以,由余弦定理可得,化简整理得,解得.法2:因为且,所以,由题意可得,所以,所以,在中,由正弦定理可得,所以.18.已知函数.(1)求的值；(2)求的单调递增区间；(3)将函数图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,使得直线是函数图象的一条对称轴,求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由特殊值三角函数计算即可；(2)由正弦函数的单调性求解即可；(3)根据正弦函数的性质得出,,进而得出的最小值.【小问1详解】【小问2详解】因为,所以,所以因为的单调增区间为,所以,即所以的单调递增区间为.【小问3详解】由题意得,因为是函数图象的一条对称轴,所以,所以,又因为,所以的最小值为.19.设,对定义在上的函数,若存在常数,使得对任意恒成立,则称函数满足性质.(1)判断下列函数是否具有性质？①,②,③.(2)若函数具有性质,其中,求证:函数具有性质；(3)设函数具有性质,其中是奇函数,是偶函数.若,求的值.【答案】(1)①具有性质；②不具有性质；③具有性质(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)利用性质的定义判断；(2)利用性质的定义证明；(3)根据函数具有性质,得到,从而有,分别令,,再结合是奇函数,是偶函数,得到,然后令,得到,从而得到,然后利用求解.【小问1详