【学案】《1.1-周期变化》

高中数学精选资源2/2§1周期变化课程内容标准学科素养凝练了解三角函数的周期性，三角函数是一类最典型的周期函数.通过实例及具体函数，研究函数的周期性，提升数学抽象素养.一、周期函数一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．二、最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期.1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期变化． ()(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期变化． ()(3)我国每年夏季小麦的产量是周期变化的． ()答案(1)√(2)√(3)×2．(教材P3练习1改编)钟表的分针每小时转一圈，则它周期变化最小正周期为________.60分钟[因为分针每小时转一圈，且重复旋转，所以是周期变化，最小正周期为60分钟．]3．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________.2[观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.]探究一周期变化的判断[知能解读]周期变化的作用1．应用周期变化中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的；2．只要确定好周期变化中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内解决．判断下列现象是否为周期变化，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期变化．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期变化．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期变化．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有确定的规律，因此不是周期变化．[方法总结]周期变化的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．[训练1]判断下列现象是否为周期变化：(1)交通路口的红绿灯变化；(2)北京天安门广场的国旗每天日出时升旗，日落时降旗，每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)红绿灯按一定顺序有规律的变化，是周期变化．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期变化．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期变化．探究二周期性的应用2020年5月1日是星期五，问2020年10月1日是星期几？解按照公历记法，2020年5,7,8这三个月份都是31天，6、9月份各30天，因此从2020年5月1日到9月30日共有153天．因每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2020年5月1日再过154天恰好与5月1日都是星期五，这一天是2020年10月2日，因此2020年10月1日是星期四．[变式1]试确定自2020年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知，自2020年5月1日再过200天是星期二．[变式2]从2020年5月1日到2020年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2020年5月1日到2020年10月1日的154天中有22个完整的周期，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期一，22个星期五．[变式3]试确定自2020年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周五，7k＋3天后为星期一．[方法总结]应用周期性解决实际问题的两个要点提醒：计算两个日期的间隔时间时要注意几月有30天，几月有31天，二月有28天(或29天)．[训练2]受日月的引力影响，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日部分时间的浪高数据：t(时)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根据规定，当海浪高度不低于1m时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时段？有多长时间？解由题中表格可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．探究三周期函数的定义及应用[知能解读]常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f(x＋T)＝f(x)外，还有如下四种形式：(1)f(x＋a)＝－f(x)；(2)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)；(3)f(x－a)＝－eq\f(1,fx)；(4)f(x－a)＝f(x＋a)．以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解题流程：第一步泛读题目明确待求结论：证明f(x)是周期函数并求f(x)在x∈[2,4]上的解析式．第二步精读题目挖掘已知条件：f(x)是定义在R上的奇函数且f(x＋2)＝－f(x)．第三步建立联系寻找解题思路：利用f(x＋2)＝－f(x)求出函数的周期，并利用函数的周期求函数在x∈[2,4]上的解析式．第四步书写过程规范养成习惯．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]．∴4－x∈[0,2]．∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8.故当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.[方法总结]利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．[训练3]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7] B．[4,5