形形色色的函数模型课件高一上学期数学

4.5.2形形色色的函数模型

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画.对于一个实际问题，如何利用已有模型或者选择恰当的函数模型来刻画它呢？

新课引入环节一

例题练习，巩固理解

例3

某商用无人机公司从某年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台.

由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销量情况良好.为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.

公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人.

假如你是公司管理者，现有五个模型

供你估算以后几个月的产量，哪个模型最好?思考：对于以上五个模型，你将用什么方法做出模型的选择？解：在直角坐标系中依次描出体现基本数据的四个点:思考：题中所给的四个基础数据是否都需要参与求解函数关系？

如不需要，剩余的点有无作用？例，设模拟函数为

第一步，假设出模拟函数解析式；第二步，根据例3中的基本数据，将点的坐标代入解析式中；第三步，结合方程组，得出y关于x的函数解析式.将B，C两点的坐标代入函数.模型一：设模拟函数为

①将B，C两点的坐标代入函数

有

解得

所以

②将A，B两点的坐标代入函数有

解得

所以模型二：设模拟函数为

将A，B，C三点的坐标代入函数

有

解得

所以模型三：设模拟函数为

将A，B两点的坐标代入函数

有

解得

所以模型四：设模拟函数为

将A，B，C三点的坐标代入函数

有

解得

所以模型五：设模拟函数为

将A，D两点的坐标代入函数

有

解得

所以模型一：模型二：模型三：模型四：模型五：

思考：如何更直观的观察它们的变化情况？函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合商品产量的要求.为此，我们借助计算机软件可作出函数图象.请评判五个函数模型哪个更符合要求？评价：模型一中①的结论是，在不增加设备和工人的条件下，产量会每月提升0.1万元，即1000台，这是不太可能的.评价：模型二将x=4代入，计算出4月份的产量为1.3万台，比实际产量少700台；

而且由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降，这显然是不符合实际情况.评价：模型三将x=3及x=4代入函数解析式，分别得到y≈1.35及y=1.48，与实际产量差距较大.评价：模型四将x=4代入函数解析式，y=1.35，与第4个月的产量比较接近.评价：模型五将x=2及x=3代入函数解析式，分别得到y≈1.185及y≈1.293，与实际产量非常接近.上述例子中我们可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.比较五个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际情形，比如增产的趋势和可能性.所以在通过函数模型解决实际问题时，不应把方法简单地用“对”和“错”来区分，而是要看“合理”还是“不合理”，“优”还是“更优”.

例3在选择幂函数、指数函数和对数函数模型时，为什么要选择

的形式？

探究一分析：相比于标准的幂函数、指数函数和对数函数而言，题中所给的形式增加了系数和常数的介入，是便于对模型作微调，参数越多，就越能够调控函数模型，但是参数太多也不行，因为已知的数据量如果不够，就不能求出引入的所有参数，也就无法建立有效的模型.

是基于幂函数、指数函数和对数函数生成的比较简单的结构，如果实际问题比较复杂，还需要建立更复杂的函数模型.除了教科书中选择的五个函数，是否还可以用其他的函数进行拟合？

探究二分析：只要能够较好的拟合函数走势的函数都是可以的，如三次函数等.探究：用函数建立模型解决实际问题的基本步骤是怎样的？环节二

抽象概括，形成规则

实际问题①转化为数学问题数学模型②定性定量求解数学结论实际问题的解③回归实际问题1.从国家统计局网站可以了解到中国居民2014—2017年手机上网人数（如下表所示）：

环节三

课后练习，应用迁移必做题：年份2014201520162017手机上网人数/亿人5.576.26.957.53（1）描点画出手机上网人数随年份变化的大致图象；（2）试选择合适的函数类型建立数学模型，刻画手机上网人数随年份变化的规律，并预测2018年中国居民手机上网人数．2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．环节三

课后练习，应用迁移必做题：选做题：1.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销