人教版九年级数学上册全册教学

人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：驶向胜利的彼岸一元二次方程21.1一元二次方程学习目标1.了解一元二次方程的概念.应用一元二次方程概念解决一些简单题目.2.一元二次方程的一般形式（）及有关概念.3.会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念自学指导问题1：如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，则铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为，宽为得方程：整理得：.①.１００－２ｘ５０－２ｘ（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００４ｘ２－３００ｘ＋１４００＝０自学指导问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（x－1）x2－x－56＝0分析：全部比赛的场数为．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队各赛1场，所以全部比赛共场.列方程＝28.

化简整理得.②．２８探究１个(1)方程①②中未知数的个数各是多少？(2)它们最高次数分别是几次？２次整式一个二次归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的整式方程.整式

一2ax2abxbc1.一元二次方程的定义等号两边都是，只含有

个求知数（一元），并且求知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.自学检测1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x3－2x2＋5＝0；（2）x2＝1；（3）5x2－2x－＝x2－2x＋；（4）2（x＋1）2＝3（x＋1）；

(5）x2－2x＝x2＋1；（6）ax2＋bx＋c＝0解：（2）、（3）、（4）．2．将方程3x（x－1）＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得：3x2－3x＝5x＋10移项合并同类项，得：3x2－8x－10＝0其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.合作探究（一）小组合作1．求证：关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝（m－4）2＋1∵（m－4）2≥0∴（m－4）2＋1>0，即（m－4）2＋1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．合作探究（一）小组合作2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．合作探究(二）跟踪练习1．判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0(2)2(x2－1)＝3y(3)2x2－3x－1＝0(4)＝0(5)(x＋3)2＝(x－3)2(6)9x2＝5－4x解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.2．若x＝2是方程的一个根，求a的值.解：∵x＝2是方程的一个根∴，解之得：a＝．合作探究(二）跟踪练习3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：(1)4x2＝25；4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100；x2－2x－100＝0；(3)x＝(1－x)2；x2－3x＋1＝0.人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：驶向胜利的彼岸一元二次方程21.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法（一）学习目标学习目标1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能自学指导问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为dm，则一个正方体的表面积为dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

由此可得：根据平方根的意义，得即可以验证和是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为dm．x6x210·6x2=1500x2=25

即x1＝5，x2＝－5x＝±55－55探究对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4

方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝，x2

＝。探究

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋)2＝4，进行降次，得到，方程的根为x1＝，x2＝3

x＋3＝±2－1－5知识归纳归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即或，如果方程能化成或的形式，那么可得或．自学检测解下列方程：⑴2y2＝8⑵2(x－8)2＝50⑶(2x－1)2＋4＝0⑷4x2－4x＋1＝0解：⑴2y2＝8⑵2(x－8)2＝50

y2＝4(x－8)2＝25

y＝±2x－8＝±5∴y1＝2，y2＝－2x－8＝5或x－8＝－5∴x1＝13，x2＝－3⑶(2x－1)2＋4＝0⑷4x2－4x＋1＝0

(2x－1)2＝－4<0(2x－1)2＝0∴原方程无解2x－1＝0

∴x1＝x2＝．合作探究（一）小组合作1．用直接开平方法解下列方程：

(1)(3x＋1)2=7；(2)y2＋2y＋1=24；（3）9n2－24n＋16=11.解：(1)；(2)－1±2；(3).合作探究(二）跟踪练习

用直接开平方法解下列方程：

(1)3(x－1)2－6=0；(2)x2－4x＋4=5；

(3)9x2＋6x＋1=4；(4)36x2－1=0；

(5)4x2=81；(6)(x＋5)2=25；

(7)x2＋2x＋1=4.

解：(1)x1=1＋，x2=1－(2)x1=2＋，x2=2－；

(3)x1=－1，x2=；(4)x1=，x2=－；

(5)x1=，x2=－；(6)x1=0，x2=－10；

(7)x1=1，x2=－3.课堂小结本节课我收获了什么？1.用直接开平方解一元二次方程。2.理解“降次”思想。3.理解x2=p或(mx＋n)2=p(p≥0)为什么p≥0？当堂训练学习至此，请使用本课时自主学习部分练一练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：驶向胜利的彼岸一元二次方程21.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法（二）学习目标

1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程.课前准备16442±121．填空（1）x2－8x＋__＝（x－__）2；（2）9x2＋12x＋___＝（3x＋__）2；（3）x2＋px＋＝（x＋）2．2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是自学1：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16m2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2＋6x－16＝0．自学指导自学1：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？（x＋6）x（x＋6）＝16x2＋6x－16＝0．设场地的宽为xm，则长为m，根据矩形面积为16m2，得到方程，整理得到探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0？9解：移项得：x2＋6x＝16两边都加上即，使左边配成x2＋bx＋b2（）29(x＋3)2＝25x＋3＝±5（降次）x＋3＝5x＋3＝－52－8

的形式，得：

x2＋6x＋＝16＋左边写成平方形式，得：

开平方，得：

即或解一次方程，得：

x1＝，x2＝9归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．知识归纳自学2：解下列方程：

(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；

(3)4x2＋16x＋16＝9.自学指导自学2：解下列方程：

(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；

(3)4x2＋16x＋16＝9.

解：(1)x＝±；(2)x1＝－，x2＝；

(3)x1＝－，x2＝－.知识归纳归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．93111．填空：

(1)x2＋6x＋＝(x＋)2(2)x2－x＋＝(x－)2；

(3)4x2＋4x＋＝(2x＋)2.2．解下列方程（1）x2＋6x＋5＝0（2）2x2＋6x－2＝0（3）（1＋x）2＋2（1＋x）－4＝0自学检测解：（1）移项，得：x2＋6x＝－5

配方：x2＋6x＋32＝－5＋32（x＋3）2＝4

由此可得：x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5

自学检测（2）移项，得：2x2＋6x＝－2

二次项系数化为1，得：x2＋3x＝－1

配方x2＋3x＋（）2＝－1＋（）2+（x＋）2＝

由此可得x＋＝±，即x1＝－，x2＝－－（3）去括号，整理得：x2＋4x－1＝0

移项，得x2＋4x＝1

配方，得（x＋2）2＝5x＋2＝±，即x1＝－2，x2＝－－2合作探究（一）小组合作

如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题可列方程：（8－x）（6－x）＝××8×6

即：x2－14x＋24＝0（x－7）2＝25

x－7＝±5∴x1＝12，x2＝2x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半合作探究(二）跟踪练习1．用配方法解下列关于x的方程：

(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；

(3)x2－x－1＝0；(4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋，x2＝1－；

(2)x1＝2＋，x2=2－；

(3)x1＝＋，x2＝－；

(4)x1＝，x2＝－.合作探究(二）跟踪练习2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值.解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋＝0.∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝［2×(－3)］－2＝.课堂小结本节课我收获了什么？1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．当堂训练学习至此，请使用本课时自主学习部分练一练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：驶向胜利的彼岸一元二次方程21.2降次——解一元二次方程21.2.2公式法学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.预习导学自学指导问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)试推导它的两个根

x1＝，x2＝.探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0，方程没有实数根.预习导学

（1）x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式.（2）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.21（3）由求根公式可知，一元二次方程最多有个实数根，也可能有个实根或者没有实根.（4）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ＝b2－4ac.知识归纳自学检测

用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？（1）2x2－3x＝0 （2）3x2－2x＋1＝0（3）4x2＋x＋1＝0解：（1）x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根（2）x1＝x2＝；有两个相等的实数根（3）无实数根；合作探究（一）小组合作1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数D.没有实数根

B2.当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：（1）(2)(3)

3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.合作探究（一）小组合作证明：∵没有实数根对于方程x2＋mx＝1－2m，即，∵，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.合作探究(二）跟踪练习1.利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x2－3x－＝0；（2）16x2－24x＋9＝0；（3）x2－4x＋9＝0；（4）3x2＋10x＝2x2＋8x.解:（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.合作探究(二）跟踪练习2.用公式法解下列方程:（1）x2＋x－12＝0；（2）x2－x－＝0；（3）x2＋4x＋8＝2x＋11；（4）x(x－4)＝2－8x；（5）x2＋2x＝0；（6）x2＋2x＋10＝0.

解：（1）x1＝3，x2＝－4；

（2）x1＝，x2＝；

（3）x1＝1，x2＝－3；（4）x1＝－2＋，x2＝－2－；（5）x1＝0，x2＝－2；（6）无实数根.课堂小结本节课我收获了什么？

1．求根公式的推导过程.2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．

3．用判别式判定一元二次方程根的情况.

当堂训练学习至此，请使用本课时自主学习部分练一练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：驶向胜利的彼岸21.2.3因式分解法一元二次方程21.2降次——解一元二次方程学习目标1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.预习导学自学指导问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，则经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x－4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0 ①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

解：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：

x(10－4.9x)＝0于是得x＝0或10－4.9x＝0 ②∴x1＝0 x2＝

上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。预习导学自学指导知识归纳(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.x－1＝0x＋1＝0－11(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据.如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么或，即x＝或x＝.自学检测

1.说出下列方程的根：

(1)x(x－8)＝0(2)(3x＋1)(2x－5)＝0

解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝，x2＝.2.用因式分解法解下列方程：

(1)x2－4x＝0；(2)4x2－49＝0；

(3)5x2－20x＋20＝0.

解：(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝，x2＝－；

(3)x1＝x2＝2.合作探究（一）小组合作1．用因式分解法解下列方程：

(1)5x2－4x＝0(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；

(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝；

(2)x1＝，x2＝－；(3)x1＝－5，x2＝－2.2．用因式分解法解下列方程：

(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；

(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；(4)3x2－12x＝－12.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝，x2＝－2；

(3)x1＝，x2＝－；(4)x1＝x2＝2.合作探究(二）跟踪练习

1.用因式分解法解下列方程：

(1)x2＋x＝0；(2)x2－2x＝0；

(3)3x2－6x＝－3；(4)4x2－121＝0；

(5)(x－4)2＝(5－2x)2.

解：(1)x1＝0，x2＝－1(2)x1＝0，x2＝2；

(3)x1＝x2＝1；(4)x1＝，x2＝－；

(5)x1＝3，x2＝1.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.

则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.

解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去).

答：小圆形场地的半径为(5＋5)m.课堂小结本节课我收获了什么？00乘积2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程右边化为；

(2)将方程左边分解成两个一次因式的；

(3)令每个因式分别为，得两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．3．正确的因式分解是解题的关键．

当堂训练学习至此，请使用本课时自主学习部分练一练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：一元二次方程21.2.4一元二次方程根与系数的关系学习目标1.理解并掌握根与系数关系：

2.会用根的判别式及根与系数关系解题.，预习导学一、自学指导

自学1：完成下列表格

方程

x1

x2x1＋x2x1·x2x2－5x＋6＝0

2

3

5

6x2＋3x－10＝0

2

－5

－3

－10问题：你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律；两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项

②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q预习导学自学2：完成下列表方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－3x－2＝02－13x2－4x＋1＝01问题：上面发现的结论在这里成立吗？

不成立

请完善规律：

①用语言叙述发现的规律两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比

②ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系(韦达定理).预习导学ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝

x2＝

x1＋x2＝

-x1·x2＝

二、自学检测：

预习导学根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：

(1)x2－3x－1＝0(2)2x2＋3x－5＝0解：(1)x1＋x2＝3x1·x2＝－1

(2)x1＋x2＝－

x1·x2＝－

(3)x1＋x2＝6x1·x2＝0合作探究想一想一、小组合作：

1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：

(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：6(1)x1＋x2＝x1·x2＝－15(2)x1＋x2＝－73x1·x2＝－3(3)x1＋x2＝54x1·x2＝合作探究2.已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值.解：解：(2)19二、跟踪练习：

合作探究

1.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

(1)x2－3x＝15；(2)5x2－1＝4x2；

(3)x2－3x＋2＝10；(4)4x2－144＝0

(5)3x(x－1)＝2(x－1)；(6)(2x－1)2＝(3－x)2.解：(1)x1＋x2＝x1·x2＝3－15(2)x1＋x2＝0x1·x2＝－1(3)x1＋x2＝x1·x2＝－83(4)x1＋x2＝0x1·x2＝－36(5)x1＋x2＝x1·x2＝(6)x1＋x2＝－

x1·x2＝－课堂小结

不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值1.先化成一般形式，再确定a，b，c

2.当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系关系.当堂训练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(一)学习目标1.会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问题等）中的数量关系列一元二次方程并求解

2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理

3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键

，预习导学一、自学指导

自学1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则患流感的这一个人在第一轮中传染了人，第一轮后共有人患了流感②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有

人患了流感XX+1(X+1)(X+1)则：列方程(X+1)2=121解得X=10或X=－12（舍）即平均一个人传染了

个人.10

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？预习导学自学2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。分析：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6－x），则原两位数为10（6－x）＋x，新两位数为10x＋(6－x)。依题意可列方程：

[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008解得

x1＝2，x2＝4；∴原来的两位数为24或42二、自学检测：

预习导学

某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A．x（x＋1）＝2550B．x（x－1）＝2550C．2x（x＋1）＝2550D．x（x－1）＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出（x－1）张相片，全班共送出x（x－1）张相片，可列方程为x（x－1）＝2550，故选BB合作探究想一想一、小组合作：

1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91

即x2＋x－90＝0

解得x1＝9，x2＝－10（舍去）

故每个支干长出9个小分支

合作探究

2.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则方程为:二、跟踪练习：

合作探究1.两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是()A.2和4B.6和8C.4和6D.8和10C2.教材第48页第2题、第6题课堂小结

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”，即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”，即根据题中等量关系列方程；

(4)“解”，即求出所列方程的根；(5)“检验”，即验证是否符合题意；

(6)“答”，即回答题目中要解决的问题.

2.对于数字问题应注意数字的位置

当堂训练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(二)学习目标3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.，预习导学一、自学指导

自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001)分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为

元，两年后甲种药品成本为

元.5000（1-X)5000（1-X)2依题意，得

5000（1-X)2=3000解得：

x1≈0.23，x2≈－1.77根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.23预习导学②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，

列方程：6000(1－y)2＝3600解得：y1≈0.23，y2≈－1.77(舍).二、自学检测：

预习导学

某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为

元，5000（1＋x）12月份的营业额为

元，即

元。5000（1＋x）（1＋x）5000（1＋x）25000（1＋x）2＝7200由此就可列方程：合作探究想一想一、小组合作：

某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：

设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．

解：

设这种存款方式的年利率为x，则：

1000＋2000x•80%＋（1000＋2000x•80%）x·80%＝1320

整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0

解得：

答：所求的年利率是12．5%.二、跟踪练习：

合作探究青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg，2013年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：

设年平均增长率为x，则有7200(1＋x)2＝8460，解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍).

即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.课堂小结

1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义当堂训练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(三)学习目标

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.

，预习导学一、自学指导

自学：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a).探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试

二、自学检测：

预习导学

在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得

（2x＋6）(2x＋8)＝80.

解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为1分米合作探究一、小组合作：

如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144m2，求马路的宽.解：假设三条马路修在如图所示位置.设马路宽为x，则有(40－2x)(26－x)＝144×6

化简，得:x2－46x＋88＝0

解得：x1＝2，x2＝44由题意：40－2x＞0，26－x＞0，则x＜20.故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.

答：马路的宽为2m.二、跟踪练习：

合作探究

1.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精确到0.1cm)解：设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm.

根据题意，得

故3x＝1.8，2x＝1.2.答：横彩条宽为1.8cm，竖彩条宽为1.2cm.二、跟踪练习：

合作探究2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法

(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？

(1)设此长方形的宽为xcm，则长为(20－x)cm.

根据题意，得x(20－x)＝75

解得：x1＝5，x2＝15(舍去).

答：此长方形的宽是5cm.解：二、跟踪练习：

合作探究解：不能.由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.解：

S＝x(20－x)＝－x2＋20x.

由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知当x＝10时，S的值最大，最大面积为100cm2(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法

(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？课堂小结

用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.当堂训练人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：二次函数知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2。一次函数的定义是什么？ax2+bx+c=0形如y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0)的函数叫做x的一次函数(a≠0)二次函数的概念温馨提示：同桌交流，互相帮助！

试一试：探究问题1要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？

1设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．能用含x的代数式来表示y吗？2

试填下面的表3

x的值可以任意取？有限定范围吗？4

我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。

BCDAB的长ｘ（ｍ）１２３４５６７８９ＢＣ的长（ｍ）１２面积ｙ（ｍ２）４８Axx20-2xy=x(20-2x)(0﹤x﹤10)即：Y=-2x2+20x(0﹤x﹤10)1818321442161050848642432180﹤x﹤102探究问题2某商店将每商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？1

设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？2

怎样写出该关系式？

试一试：温馨提示：同桌交流，互相帮助！单件利润（元）每天销量（件）每天利润（y元)降价x元前降价x元后１００(１０-８)×１００10-81０-x-8(10-x-8)(100+100x)100+100xy=(10-x-8)(100+100x)即y=-100x2+100x+200 (0≤x≤2)每天利润=

单件利润×每天销量讨论得到的两个函数关系式有什么特点温馨提示：同桌交流，互相帮助！答(1)右边都是关于x的整式.(2)自变量x的最高次数是2.即都是自变量的二次整式！观察（１）Y=-2x2+20x(0﹤x﹤10)（２）y=-100x2+100x+200 (0≤x≤2)提问对比一次函数归纳二次函数的定义？概念引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数你知道吗

思考：1.

由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．驶向胜利的彼岸提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？

思考：2.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？驶向胜利的彼岸你知道吗联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0知识运用

例1:下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=3x-1()(2)y=3x2（)(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是驶向胜利的彼岸知识运用m2—2m-1=2 m+1

≠0

∴m=3例2:m取何值时，函数y=(m+1)x是二次函数？解:由题意得驶向胜利的彼岸练习1.已知直角三角形两条直角边长的和为10cm.（1）当它的一条直角边长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的一条直角边长为xcm,面积为，求S与x的函数关系式。驶向胜利的彼岸练习2.已知正方体的棱长为xcm,面积为，体积为。（1）分别写出S与x,V与x之间的函数关系式。（2）这两个函数中，哪一个是x的二次函数？小结拓展驶向胜利的彼岸

你认为今天这节课最需要掌握的是

________________。

初三(下)数学课本第4页习题27.1 1.2.3.4.独立作业知识的升华祝你成功！结束寄语生活是数学的源泉.下课了!再见探索是数学的生命线.人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：第二十六章二次函数26.1.1二次函数【学习目标】

1、结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；2、能够表示简单变量之间的二次函数关系；【学习重、难点】重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系.难点：理解二次函数的有关概念.【预习导学】一、自学指导1、自学1：自学课本P2-3页，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空。5分钟总结归纳：一般地，形如

（a,b,c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为

。现在我们已尝过的函数有

，

、

，其表达式分别是

、、。a、b、c有一次函数反比例函数二次函数【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟；D、；B、A、；C、1、下列函数中，是二次函数的有

2、二次函数中，二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

。3、半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为

点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义。A、B、C-120【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟探究1若是二次函数，则

。b≠2【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，则每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元（x>50），每月销售这种篮球获利y元。①求y与x之间的函数关系式；②超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价为多少元？②由题意得：化简得∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元.解：①（50<x<100）【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。8分钟A【点拨精讲】（2分钟）1、二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2、有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式。【课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟【当堂训练】10分钟人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：第二十六章二次函数26.1.2二次函数的图象【学习目标】

1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质；2、初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感；【学习重、难点】重点：描点法作出函数的图象。难点：根据图象认识和理解其性质。【预习导学】一、自学指导取值描点连线抛物线向上y轴（0，0）最低点y(0,0)向上小下低高大【预习导学】二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟1、教材P14页习题26.1第3、4题。【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟探究1yxO【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟探究2①求满足条件的m的值；②m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？③m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？已知函数是关于x的二次函数.【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。8分钟（）yxOAByxOCxOyDxOy【点拨精讲】（2分钟）【课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟【当堂训练】10分钟人教版版九年级数学上册公开课教学课件授课人：27.2.1二次函数的图象与性质(一)二次函数的定义：函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

叫做x的二次函数

思考：你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．练习：若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______探究１：二次函数的图象1：画出y=x2

的图象。

解：（1）列表x…-3-2-10123…y…9410149…以0为中心选取7个x值列表（2）描点（3）连线x…-3-2-10123…y…9410149…X0108642-55Y轴对称图形这是一条抛物线这是抛物线的顶点对称轴是y轴2：请同学们画出y=-x2

的图象。x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…3.探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。两个图象关于x轴对称。定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.

y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.8642-2-4-6-85yox探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.1.抛物线y=x2的图象开口向上,

抛物线y=-x2的图象开口向下.2.图象的顶点都在原点.y=x2的顶点是图象的最低点,

y=-x2的顶点是图象的最高点.8642-2-4-6-85yoX结论：二次函数y=ax2的图象与性质1.顶点都在原点;当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．3.还可以发现，｜a｜越大，则开口越小；｜a｜越小，则开口越大探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？y=-2x2x8642-2-4-6-85yoy=2x2当a＞0时，对称轴的左侧:y随x的增大而减小；对称轴的右侧:y随x的增大而增大。当a＜0时，对称轴的左侧:y随x的增大而增大；对称轴的右侧:y随x的增大而减小。6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点对称轴开口图象左侧右侧xyxya＞0a＜0(0,0)最低点(0,0)最高点y轴y轴向上向下增大增大减小增大增大减小6210增大增大(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。二次函数y=ax2的图象的性质(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。a>0a<o即:直线:x=0,(3)、增减性a＞0a<0y随x的增大而增大。在对称轴的左侧(x<0):y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(x>0):当a<0时当a＞0时，在对称轴的左侧(x<0):y随x的增大而增大。在对称轴的右侧(x>0):y随x的增大而减小。∴当x=0时,y最小值=o.∴当x=0时,y最大值=o.试一试：1、函数y=2x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

2、函数y=-3x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是（）A若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。B对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。C对任一个实数y，有两个x和它对应。D对任意实数x，都有y＞0xyoA例1、已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大y随x的增大而减小xyo练习一2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律1、已知y=（k+2）x是二次函数，且当x>0时，y随X增大而增大，