天津市河北区2025届高三上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河北区2025届高三上学期期中质量检测数学试卷第I卷（选择题共45分）参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么圆柱的侧面积公式圆锥的侧面积公式其中表示底面圆的半径表示母线的长一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，则或，故.故选：C.2.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则且，解得，所以推得出直线与直线平行，即充分性成立；由直线与直线平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.3.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为,且,所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.又,排除B.故选:A.4.某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为，所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为．故选：A．5.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以；因为，所以；因为，所以，所以.故选：B.6.如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆柱的高为，底面半径为，可知，则圆锥的母线长为，所以剩下几何体的表面积为.故选：B.7.已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设双曲线的右焦点Fc,0，过第一象限的渐近线方程为，当时，，即，又，因为M是线段的中点，所以，得，所以，即，所以C的渐近线方程为.故选：C.8.若函数的图象关于点对称，则的单调递增区间为()A. B.C. D.【答案】C【解析】，∵图象关于点对称，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函数的增区间为．故选：C．9.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，若时，由求导得，，故当时，f'x<0，当时，f所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，；若时，由求导得，，因，故恒有f'x>0，即在上单调递增，且当时，，当时，，即时，恒有.作出函数的大致图象如图所示.又由可得或，由图知有两个根，此时有2个零点；要使函数恰有5个不同的零点，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.【答案】【解析】因，故复数在复平面内对应点的坐标是.11.二项式的展开式中的常数项为__________.【答案】【解析】二项式的通项为，由可得，即得二项展开式中的常数项为.12.若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.【答案】.【解析】不妨设直线与轴和轴的交点分别为A，B，令，得，即；再令，得，即，从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，又因为，所以所求圆的半径为，从而以线段AB为直径的圆的方程是.13.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______.【答案】【解析】由题意，因为，所以，所以，所以函数在区间上的值域为.14.为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________.【答案】【解析】设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，则，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，则.15.已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________.【答案】【解析】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示：易知，同理可得，由重心性质可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；（2）因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；（3）由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π故,所以17.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.，设平面的法向量为，则取所以所以又因为平面，所以平面（2）设平面的法向量为则取设平面与平面的夹角为则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.（3），设点到平面的距离为，，所以点到平面的距离为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．（1）求的方程；（2）若的面积为，求的方程；（3）若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为．（2）易知的斜率不为0，设，联立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程为或．（3）由（2）可知，因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得．所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．19.已知函数在处取得极小值.（1）求值；（2）求函数在点处的切线方程；（3）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由，可得，由，解得，此时，时，单调递减，x∈0,+∞时，故是函数的极小值点，符合题意，所以.（2）由题可得：，在点1,f1处的切线方程为即（3）由恒成立，则恒成立，令，则，当时，，当x∈0,+∞时，，所以当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.20.已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求的单调区间；（2）若方程有两个不同的根．（i）求的取值范围；（ii）证明：．解：（1）由题意得，x∈0,+∞，则，由，解得．当时，单调递增，当时，单调递减；综上，在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减；（2）（i）由，得，设，由（1）得在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减，又，当时，gx>0，且当时，，所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是0,1．