内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案

（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）.已知全集U=R,集合A={x|2\＞4},B={x|（x-l）（x-3）＜0},则（"）0"（）A.(1,2)B.(1,2]C.A.(1,2)B.(1,2]C.(1,3)D.(to,2]A.30°B.60°C.150°A.6B.24C.1205.已知等差数列{Q〃}的前曾项和为％,且。A.30°B.60°C.150°A.6B.24C.1205.已知等差数列{Q〃}的前曾项和为％,且。2=4,。4=2,则$5=（）A.0B.10C.15D.30.已知复数z=m+D（i-1）（i为虚数单位）在更平面内对应的点在直线＞=2x上，则实数。的值5=60。,则C等于（.AA5C的内角的对边分别为5=60。,则C等于（D.30。或150。D.720.已知直线，：4》-3》+6=0和抛物线口y2=4x,P为C上的一点，且P到直线I的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积

A.3rr+9+2V'3 B.3n+6+2^3C.4tt+6+2v3 D.47r+6+4（3.从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入1个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（）A.46种 B.36种C.72种D.42种.已知双曲线C：匚一二=1（。>0/>0）的左焦点为尸，第二象限的点〃在双曲线crtrC的渐近线上，且|OM|=。，若直线M尸的斜率为2,则双曲线的渐近线方程为（）aA.y=±x B.y=±2xC.y=±3x D.y=±4xTOC\o"1-5"\h\z2n_1 321.已知数列｛%｝的通项公式是/= 其前几项和配=”，则项数n=“2n 64A.13 B.10 C.9 D.6（i\.已知/（x）是定义域为R的偶函数，且在。+8）单调递增，设〃?=/log2-〃?=/（7一°」）,p=/（log425）,则〃7,〃,〃的大小关系为（）A.m>p>n B.p>/?>m C.p>m>n D./?>p>m.已知函数=/—at—1在区皿-1,1）内存在极值点，且〃x）<0恰好有唯一整数解，则。的取值范围是（其中e为自然对数的底数,e=2.71828…）C. U（eTe） D.（e-l,e）2e-e）一/二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）.（1+X—展开式中的/的系数为.若向量。=（2,刈/=（-2,1）不共线，且（a+〃）_1（“一方），则〃必=TOC\o"1-5"\h\zs s.设等比数列｛Qn｝的前篦项和是1,若/=3,则设= .53 56.己知点力（0,1）,抛物线C：y2=ax（a>o）的焦点为匕连接凡4,与抛物线C相交于点M,延长凡4,与抛物线C的准线相交于点N,若/M|：|MN|=1：3,则实数a的值为.三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60分）.（本题满分12分）27rA/1BC的内角力，B,C的对边分别为a,b,,已知2bsi〃C=acosC+ccosA,B=—,c=^3.3（I）求角C；（2）若点E满足庇=2反，求8E的长..（本题满分12分）如图，在三棱锥P-4BC中,P41底面4BC,48=2/0=4/84。=120°,。为BC的中点（1）求证：AD1PB-（2）若二面角力-PB-C的大小为45、求三棱锥P-4BC的体积..（本题满分12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过Mg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包黑重Jg《单位：上/(0,53,2k(2,3k(3,4k14,5k包熏件数"43d30，15a8a4。公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如卜.:揽件数小[0,100)d[100；200)[200,300)[300；400)[400,500]<天数F30f12^6Q以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在［100,400）的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值：（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每口利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）.（本题满分12分）Jv2 泛已知椭圆C：”十3=1（。＞例的离心率为二左、右顶点分别为A,B,点M是椭圆C上异于A,B的一点，直线AM与y轴交于点P.（1）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范闱；（2）设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且AQIIBM,求证：NPFQ为定值..（本题满分12分）己知函数/（x）=xlnx-a¥+l（a（1）讨论/（x）在（Lko）上的零点个数；（2）当时，若存在xe（L+s）,使〃x）＜（e—1）（。一3）,求实数。的取值范围.（。为自然对数的底数，其值为......）（二）选考题（共1。分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）.【选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：psiM9=2acosd（a＞0）,已知过点。（一2,一4）的直线/的参数方程为Jx=-2+,直线/与曲线C分别交于M，N两点、.y=-4+2r(1)写出曲线C和直线/的普通方程；(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列，求。的值..［选修4-5：不等式选讲］(10分)设不等式+|x+2|<4的解集为M.⑴求集合M：(2)已知a,b€M,求证：|a-b|<(l—ab).参考答案一、选择题二、填空题13.30 14.-31613.30 14.-316请三、解答题(1)由题设及正弦定理得=sinAcosC+sECcos/l,又sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin(n-B)=sinB,所以2si%Bsi〃C=sinB.由于工0,则siM.C=g.n又因为OvCVq,JTT所以C=£.6bc(2)由正弦定理易知一方=—7=2/，解得b=3.sinBsmC又因为疝=2戌?，所以4E=^C=|b,即4E=2.在A/1BC中，因为B=y,C=g所以3 6 671所以在中，力=—,AB=^/3,AE=2由余弦定理得BE=AB2+AE2-2ABAEcos^=所以BE=L(1)在△/IBC中，由余弦定理得BC2=4+16—2x2x4xcos120o=28,则因为。为BC的中点，则90=CD=丫7因为疝=1麻+砌，则疝2=1(AP+的2=会届2+m2+2加.疝')=-(4+16+2x2x4xcos1200)=3,所以40=丫8.因为+/d2=4+3=7=B/）2,则力Bl/W.因为P4J■底面4BC,则/MJ.71D,所以力DJ■平面P4B,从而4D1PB.（2）分别以直线/以AD9/P为“轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设P4=a,则点8（2。。），D（0淄,0）,P（0,0。），所以前=（-2,强0）,BP=（-2,0,a）.设平面PBC的法向量为m=（叼孙则修：器二;，即｛二?玄？秋二/，2 2/3取％=再，则y=2,z=—所以m=（板,2,-^-）.因为八二（0L0）为平面P/1B的法向量,|m-n|_|m-n|_y/2

|m|・|川2则|cos〈皿?1〉|=cos45Q=—,即2_窗所以77豆一万,解得.2=12,所以P/1=q=2技1+/所以VpfBc=-xSaabcxP71=-x-x2x4xsml200x2书=4.484（1）样本中包裹件数在［100,400）内的天数为48,频率为寿=三，6054可估计概率为＜未来3天中，包裹件数在［100,400）间的天数X服从二项分布,即X〜故所求概率为P=6@2；=^；（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包惠重量（单位：kg）/2口3n5-p快递费（单位:元）Q1g15。2g25。30。包募件数〃43口3皿15d加故样本中每件快递收取的费用的平均值为_1x=x（10x43+15x30+20x15+25x8+30x4）=15（元）,故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.1（3）根据题意及（2）,揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15x3=5（元）,

将题目中的天数转化为频率，得包禀件数范围0~100口101200。201〜300。301〜400。401—500^包禀件数（近似处理〉。50C150^250P350小450^天数/6小6d3OP12卢频率。0」。0.2。0.143若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每口揽件数情况如下:包禀件数（近似处理）P5ap15Qq250。350q450P实际揽件数F50p15Qq250。350q450P频率。O.WO.W0.5。0.2^Q.1Q50x0.1-150x0.1-250x0.54-350x0.2-450x0.1=260^故公司平均每口利润的期望值为260x5-3X100=1000（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每口揽件数情况如下:包禀件数《近似处理）/5a150。250中350。450。实际揽件数z50〃150，25皿3004300~频率。Q.1Qg。&0.P之50x0.1-150x0.1-250x0.5-300x0.2^300x0.1=235^故公司平均每口利润的期望值为235x5-2x100=975（元）因975＜1000,故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.（I）由题意可得c?=a2-2, =£-=2,c=隹，.■.椭圆的方程为+仁=1,TOC\o"1-5"\h\za2 4 2设P（0,m）,由点P在椭圆C的内部，得-隹＜m＜隹，又••・A（-2,0）,・・・直线AM的斜率kAM=?J=]£（-y，y）,又M为椭圆C上异于A,B的一点，蚀 J2・・・IcamE（ ,o）u（o,—）,\o"CurrentDocument"2 2x22（n）由题意F（42,0）,M（Xo,yo）,其中Xo，±2,则-+，=1,4 2直线AM的方程为丫二二;（x+2）,令x=0,得点P的坐标为（0,口二），x0+2 %+2tkBM=Por=kAQ=Por,二直线AQ的方程为丫=—^二（X+2）,》0-2 x0-2 %-2TOC\o"1-5"\h\z2yo 2yo 2yo令x=0,得点Q的坐标为（0, -）,由而二（一避，——pn=（-d， -）＞%一/ %+/y x0-zFpIpQ,即NPFQ=90°,-- 4/2FpIpQ,即NPFQ=90°,-fpV（?=2+^--= -A—=°，々・4 %-4故NPFQ为定值21.(1)由/(x)=xlnx-o¥+l=0得4=lnx+1,令g(x)=lnx+」，X .\因此讨论了(X)在(1，帝)上的零点个数，即是讨论直线＞'=。与曲线y=g(x)的交点个数,1IY_1「g'(x)= 『二,g'(x)＞。在(1，+°°)上恒成立，Xr厂故g(x)=lnx+)在(L+oo)上单调递增,g(x)e(L+s),又g(x)连续不断，所以当时，/(x)在(L+8)上无零点；当。＞1时，f(X)在(1,+8)上存在一个零点.(2)当。＞1时，由(1)得/(X)在(1,包)上存在一个零点，由/'(%)=山工+1—4=。得工=中-1,由(1)可得/(X)在(l,e"T)上单调递减，在上单调递增；所以/(')』=/(产)=1—又存在xe(L+s)，使f(x)＜(e—1)(。一3)成立，所以，只需l-e“T«e—l)(a—3)成立，即，一］+(e—l)(a—3)—1＞0不等式成立,令h(x)=e