吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.己知,,,则()A. B. C. D.2.的展开式中的系数为()A. B. C. D.3.若复数满足,则(其中为虚数单位)的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.44.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.335.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.6.已知集合,则()A. B. C. D.7.关于函数在区间的单调性,下列叙述正确的是()A.单调递增 B.单调递减 C.先递减后递增 D.先递增后递减8.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H9.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.10.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()A. B. C. D.11.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()A. B.C. D.12.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).14.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.15.已知,,则与的夹角为.16.如图,已知,,为的中点,为以为直径的圆上一动点,则的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知a>0,证明:1.18.(12分)已知,且满足,证明:.19.(12分)在中,内角的边长分别为,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面积,求和的值.20.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,∠,是边长为2的正三角形,,为线段的中点.(1)求证:平面平面;(2)若为线段上一点,当二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.22.(10分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意的,当时,都有恒成立,求最大的整数.(参考数据:)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.2、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.3、B【解析】

根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,再根据复数的几何意义即可确定,即可得的最大值.【详解】由知,复数对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,表示复数对应的点与点间的距离,又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用,属于基础题.4、C【解析】

依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、A【解析】

设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.6、C【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出A∩B.【详解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故选C.【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.7、C【解析】

先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8、C【解析】

由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.9、C【解析】

先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.10、D【解析】

推导出函数的图象关于直线对称,由题意得出,进而可求得实数的值,并对的值进行检验,即可得出结果.【详解】,则,,,所以,函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为,则该函数的零点必成对出现,不合题意.所以,,即,解得或.①当时,令,得,作出函数与函数的图象如下图所示:此时,函数与函数的图象有三个交点,不合乎题意;②当时,,,当且仅当时,等号成立,则函数有且只有一个零点.综上所述,.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,考查函数图象对称性的应用,解答的关键就是推导出,在求出参数后要对参数的值进行检验,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.11、B【解析】

根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【详解】解:已知函数,其中,,其图像关于直线对称,对满足的,,有,∴.再根据其图像关于直线对称,可得,.∴,∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,,故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.12、C【解析】

先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).14、【解析】

设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.【详解】由题意,如图所示,设,则,又由,,所以为的中点,为的三等分点,则,,所以.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.15、【解析】

根据已知条件,去括号得:,16、【解析】

建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示:则点,,,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,,其中,因为,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】

利用分析法,证明a即可.【详解】证明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要证明1,只要证明a1(a)1﹣4(a)+4,只要证明:a,∵a1,∴原不等式成立.【点睛】本题考查不等式的证明,着重考查分析法的运用,考查推理论证能力,属于中档题.18、证明见解析【解析】

将化简可得,由柯西不等式可得证明.【详解】解:因为,,所以,又,所以,当且仅当时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用,相对不难,注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.19、(1);(2).【解析】

(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理计算即可得到所求值;

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式,化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可得a,b的方程组,解方程即可得到所求值.【详解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,以及三角函数的恒等变换,考查化简整理的运算能力,属于中档题.20、(1);(2)证明见详解.【解析】

(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.21、(1)见解析;(2).【解析】

(1)先证明,可证平面,再由可证平面,即得证;(2)以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,设,求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值为,可求解,转化即得解.【详解】(1)证明:因为是正三角形,为线段的中点,所以.因为是菱形,所以.因为,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系.则.于是,,.设面的一个法向量,由得令,则,即.设,易得,.设面的一个法向量,由得令,则,,即.依题意,即,令,则,即,即.所以.【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合,考查了面面垂直的判断,二面角的向量求解,三棱锥的体积等知识点,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.22、(1)(2)2【解析】

(1)先求得切点坐标,利用导数求得切线的斜率,由此求得切线方程.(2)对分成,两种情况进行分类讨论.当时,将不等式转化为,构造函数,利用导数求得的最小值(设为)的取值范围,由的得在上恒成立,结合一

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