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文档简介

江苏省靖江市刘国钧中学2025届高考数学一模试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是定义在上的奇函数,且当时,.若,则的解集是()A. B.C. D.2.如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:),则该几何体的表面积为()A. B.C. D.3.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:①若,,,则;②若,,则;③若,,,则;④若,,,则其中正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④4.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i5.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.36.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.7.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()A.12个月的PMI值不低于50%的频率为B.12个月的PMI值的平均值低于50%C.12个月的PMI值的众数为49.4%D.12个月的PMI值的中位数为50.3%8.设点,,不共线,则“”是“”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以再加1;如果它是偶数,则将它除以;如此循环,最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为,则输出i的值为()A. B. C. D.10.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.411.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,aβ,bα,则“ab“是“αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知集合,,则集合的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.14.如图,直三棱柱中,,,,P是的中点,则三棱锥的体积为________.15.某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛,则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________.16.已知函数,曲线与直线相交,若存在相邻两个交点间的距离为,则可取到的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,上顶点为,离心率为,直线交轴于点,交椭圆于,两点,直线,分别交轴于点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求证:为定值.18.(12分)已知函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;(2)已知数列满足:(ⅰ)对任意的;(ⅱ)对任意的,,且.①若,求数列是等比数列的充要条件.②求证:数列是等比数列,其中.20.(12分)已知函数(I)若讨论的单调性;(Ⅱ)若,且对于函数的图象上两点,存在,使得函数的图象在处的切线.求证:.21.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.22.(10分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和,进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数,.当时,,,为奇函数,,由得:或;综上所述:若,则的解集为.故选:.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式;易错点是忽略奇函数在处有意义时,的情况.2、C【解析】

由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,据此可计算出答案.【详解】由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,该几何体的表面积.故选:C【点睛】本题主要考查了三视图的知识,几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.3、D【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①;根据空间面面平行的判定定理可判断②;根据线面平行的判定定理可判断③;根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①,若,,,,两平面相交,但不一定垂直,故①错误;对于②,若,,则,故②正确;对于③,若,,,当,则与不平行,故③错误;对于④,若,,,则,故④正确;故选:D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,属于基础题.4、B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故选:.【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.5、C【解析】

对于①中,根据指数幂的运算性质和不等式的性质,可判定值正确的;对于②中,构造新函数,利用导数得到函数为单调递增函数,进而得到,即可判定是错误的;对于③中,构造新函数,利用导数求得函数的最大值为,进而得到,即可判定是正确的.【详解】由题意,对于①中,由,可得,根据不等式的性质,可得成立,所以是正确的;对于②中,设函数,则,所以函数为单调递增函数,因为,则又由,所以,即,所以②不正确;对于③中,设函数,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,即,即,所以是正确的.故选:C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质,以及导数在函数中的综合应用,其中解答中根据题意,合理构造新函数,利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.6、C【解析】

将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.7、D【解析】

根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.8、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算,结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点,,不共线,则“”;故“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,属于基础题.9、B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步,即可得出输出结果.【详解】输入,不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数不成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;成立,跳出循环,输出i的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.10、B【解析】

设数列的公差为.由,成等比数列,列关于的方程组,即求公差.【详解】设数列的公差为,①.成等比数列,②,解①②可得.故选:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.11、D【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解:a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α与β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a与b异面,∴a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查面面平行的判定与性质,属于基础题.12、D【解析】

转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得,,集合的真子集的个数为个.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.14、【解析】

证明平面,于是,利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】平面,平面,,又.平面,是的中点,.

故答案为:【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式,属于基础题.15、【解析】

从7人中选出2人则总数有,符合条件数有,后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有,则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件,∴故答案为:【点睛】组合数与概率的基本运用,熟悉组合数公式16、4【解析】

由于曲线与直线相交,存在相邻两个交点间的距离为,所以函数的周期,可得到的取值范围,再由解出的两类不同的值,然后列方程求出,再结合的取值范围可得的最大值.【详解】,可得,由,则或,即或,由题意得,所以,则或,所以可取到的最大值为4.故答案为:4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解,熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ),证明见解析.【解析】

(Ⅰ)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的方程;(Ⅱ)设点,,点,,易求直线的方程为:,令得,,同理可得,所以,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理代入上式,化简即可得到.【详解】(Ⅰ)解:由题意可知:,解得,椭圆的方程为:;(Ⅱ)证:设点,,点,,联立方程,消去得:,,①,点,,,直线的方程为:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,为定值.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解;关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理化简三角形面积得到定值;考查计算能力与推理能力,属于中档题.18、(1)增区间为,减区间为;(2).【解析】

(1)将代入函数的解析式,利用导数可得出函数的单调区间;(2)求函数的导数,分类讨论的范围,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最值可判断是否恒成立,可得实数的取值范围.【详解】(1)当时,,则,当时,,则,此时,函数为减函数;当时,,则,此时,函数为增函数.所以,函数的增区间为,减区间为;(2),则,.①当时,即当时,,由,得,此时,函数为增函数;由,得,此时,函数为减函数.则,不合乎题意;②当时,即时,.不妨设,其中,令,则或.(i)当时,,当时,,此时,函数为增函数;当时,,此时,函数为减函数;当时,,此时,函数为增函数.此时,而,构造函数,,则,所以,函数在区间上单调递增,则,即当时,,所以,.,符合题意;②当时,,函数在上为增函数,,符合题意;③当时,同理可得函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,此时,则,解得.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,正确求导和分类讨论是关键,属于难题.19、(1);(2)①;②证明见解析.【解析】

(1)由条件可得,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,运用已知条件和等比数列的性质,即可得到所求充要条件;②当,,,由等比数列的定义和不等式的性质,化简变形,即可得到所求结论.【详解】解:(1),,且为非零常数,,,可得,可得数列的首项为,公差为的等差数列,可得,前项和为;(2)①若,可令,,且,即,,,,对任意的,,可得,可得,,数列是等比数列,则,,可得,,即,又,即有,即,数列是等比数列的充要条件为;②证明:对任意的,,,,,当,,,可得,即以为首项、为公比的等比数列;同理可得以为首项、为公比的等比数列;对任意的,,可得,即有,所以对,,,可得,,即且,则,可令,故数列,,,,,,,,,是以为首项,为公比的等比数列,其中.【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法和推理、运算能力,属于难题.20、(1)见解析(2)见证明【解析】

(1)对函数求导,分别讨论,以及,即可得出结果;(2)根据题意,由导数几何意义得到,将证明转化为证明即可,再令,设,用导数方法判断出的单调性,进而可得出结论成立.【详解】(1)解:易得,函数的定义域为,,令,得或.①当时,时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为.②当时,时,,函数单调递减;或时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为,.③当时,时,,函数单调递增;此时,的减区间为.综上,当时,的减区间为,增区间为:当时,的减区间为,增区间为.;当时,增区间为.(

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