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文档简介

2025届重庆第一中学高考冲刺数学模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步”(整数部分)及诸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简,又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例如:及时,如图:记为每个序列中最后一列数之和,则为()A.147 B.294 C.882 D.17642.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.3.已知为定义在上的奇函数,且满足当时,,则()A. B. C. D.4.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为()A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A. B. C. D.7.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.1608.复数的共轭复数为()A. B. C. D.9.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.10.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm312.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在三棱锥P-ABC中,,,,三个侧面与底面所成的角均为,三棱锥的内切球的表面积为_________.14.设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______.15.若,,则___________.16.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(为实常数).(1)讨论函数在上的单调性;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面积的最大值.19.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.20.(12分)记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.(1)若,求的前项和;(2)证明:的“极差数列”仍是;(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.21.(12分)已知函数(,),.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求证:对于任意,.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据题目所给的步骤进行计算,由此求得的值.【详解】依题意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选:A【点睛】本小题主要考查合情推理,考查中国古代数学文化,属于基础题.2、A【解析】

设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.3、C【解析】

由题设条件,可得函数的周期是,再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值,即可得到结论.【详解】由题意,,则函数的周期是,所以,,又函数为上的奇函数,且当时,,所以,.故选:C.【点睛】本题考查函数的周期性,由题设得函数的周期是解答本题的关键,属于基础题.4、B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.5、B【解析】

根据三角函数定义得到,故,再利用和差公式得到答案.【详解】∵角的终边过点,∴,.∴.故选:.【点睛】本题考查了三角函数定义,和差公式,意在考查学生的计算能力.6、B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选B点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.7、A【解析】

求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.8、D【解析】

直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.9、C【解析】

根据表示出线段长度,由勾股定理,解出每条线段的长度,再由勾股定理构造出关系,求出离心率.【详解】设,则由椭圆的定义,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率,是求椭圆离心率的一个常用方法,通过几何关系,构造出关系,得到离心率.属于中档题.10、D【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.11、B【解析】试题分析:该几何体上面是长方体,下面是四棱柱;长方体的体积,四棱柱的底面是梯形,体积为,因此总的体积.考点:三视图和几何体的体积.12、B【解析】

化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先确定顶点在底面的射影,再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高,利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱锥的体积的三倍即可解决.【详解】设顶点在底面上的射影为H,H是三角形ABC的内心,内切圆半径.三个侧面与底面所成的角均为,,,的高,,设内切球的半径为R,∴,内切球表面积.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥内切球的表面积问题,考查学生空间想象能力,本题解题关键是找到内切球的半径,是一道中档题.14、【解析】

先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【详解】解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而.故答案为.【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.15、【解析】

因为,所以,又,所以,则,所以.16、【解析】

由于,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

(1)分类讨论的值,利用导数证明单调性即可;(2)利用导数分别得出,,时,的最小值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1),.当即时,,,此时,在上单调递增;当即时,时,,在上单调递减;时,,在上单调递增;当即时,,,此时,在上单调递减;(2)当时,因为在上单调递增,所以的最小值为,所以当时,在上单调递减,在上单调递增所以的最小值为.因为,所以,.所以,所以.当时,在上单调递减所以的最小值为因为,所以,所以,综上,.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题,属于中档题.18、(1);(2)【解析】

(1)根据正弦定理化简得到,故,得到答案.(2)计算,再利用面积公式计算得到答案.【详解】(1),则,即,故,,故.(2),故,故.当时等号成立.,故,,故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理,面积公式,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.19、(1);(2)从而的分布列为012;(3).【解析】

(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件,则,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.(2)由题,知的可能取值分别为0,1,2,,,从而的分布列为012.(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为,所以,所以事件“”的概率为.20、(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】

(1)由是递增数列,得,由此能求出的前项和.(2)推导出,,由此能证明的“极差数列”仍是.(3)证当数列是等差数列时,设其公差为,,是一个单调递增数列,从而,,由,,,分类讨论,能证明若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【详解】(1)解:∵无穷数列的前项中最大值为,最小值为,,,是递增数列,∴,∴的前项和.(2)证明:∵,,∴,∴,∵,∴,∴的“极差数列”仍是(3)证明:当数列是等差数列时,设其公差为,,根据,的定义,得:,,且两个不等式中至少有一个取等号,当时,必有,∴,∴是一个单调递增数列,∴,,∴,∴,∴是等差数列,当时,则必有,∴,∴是一个单调递减数列,∴,,∴,∴.∴是等差数列,当时,,∵,中必有一个为0,根据上式,一个为0,为一个必为0,∴,,∴数列是常数数列,则数列是等差数列.综上,若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查等差数列的证明,考查数列的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.21、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求导得到,讨论和两种情况,得到答案.(Ⅱ)变换得到,设,求,令,故在单调递增,存在使得,,计算得到答案.【详解】(Ⅰ)(),当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减.(Ⅱ)(),即,().令(),则,令,,故在单调递增,注意到,,于是存在使得,可知在单调递增,在单调递减.∴.综上知,.【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.22、(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】

(1)根据导数的运算法则

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