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文档简介

江苏省南通市如东县、徐州市丰县2025届高三考前热身数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.2.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.3.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.4.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加5.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.6.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.57.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知数列中,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.9.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.210.函数的图象可能是()A. B. C. D.11.在平行四边形中,若则()A. B. C. D.12.设集合,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.14.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.15.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上,且,,则__________.16.两光滑的曲线相切,那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示,一列圆(an>0,rn>0,n=1,2…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=___,rn=______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)18.(12分)已知均为正实数,函数的最小值为.证明:(1);(2).19.(12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分线与交于点D,与的外接圆交于点E(异于点A),,求的值.20.(12分)已知a>0,证明:1.21.(12分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题2、D【解析】

与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.3、A【解析】

根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意,得,故,故,,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.4、D【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.5、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.6、A【解析】

由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.7、D【解析】

设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.8、B【解析】

先根据题意,对原式进行化简可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立转化为恒成立,再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题,即由累加法可得:即对于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用,属于综合性较强的题目,解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数,属于难题.9、B【解析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.10、A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.11、C【解析】

由,,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,

平行四边形中,,

,,,

因为,

所以

,

,所以,故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则,属于中档题.向量的运算有两种方法:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).12、A【解析】

解出集合,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人.故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.14、【解析】

根据图示分析出、、的坐标表示,然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知:,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算,难度较易.已知,若,则有.15、【解析】由题意可得,该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为,由题意可得:,据此可得:,则球的表面积:,结合解得:.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.16、【解析】

第一空:将圆与联立,利用计算即可;第二空:找到两外切的圆的圆心与半径的关系,再将与联立,得到,与结合可得为等差数列,进而可得.【详解】当r1=1时,圆,与联立消去得,则,解得;由图可知当时,①,将与联立消去得,则,整理得,代入①得,整理得,则.故答案为:;.【点睛】本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题,关键是找到圆心和半径的关系,建立递推式,由递推式求通项公式,综合性较强,是一道难度较大的题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)将代入函数解析式可得,构造函数,求得并令,由导函数符号判断函数单调性并求得最大值,由即可证明恒成立,即不等式得证.(2)对函数求导,变形后讨论当时的函数单调情况:当时,可知满足题意;将不等式化简后构造函数,利用导函数求得极值点与函数的单调性,从而求得最小值为,分别依次代入检验的符号,即可确定整数的最大值;当时不满足题意,因为求整数的最大值,所以时无需再讨论.【详解】(1)证明:当时代入可得,令,,则,令解得,当时,所以在单调递增,当时,所以在单调递减,所以,则,即成立.(2)函数则,若时,当时,,则在时单调递减,所以,即当时成立;所以此时需满足的整数解即可,将不等式化简可得,令则令解得,当时,即在内单调递减,当时,即在内单调递增,所以当时取得最小值,则,,,所以此时满足的整数的最大值为;当时,在时,此时,与题意矛盾,所以不成立.因为求整数的最大值,所以时无需再讨论,综上所述,当时,整数的最大值为.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用,导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用,构造函数法求最值,并判断函数值法符号,综合性强,属于难题.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值,再运用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到结论,注意等号成立的条件.【详解】(1)由题意,则函数,又函数的最小值为,即,由柯西不等式得,当且仅当时取“=”.故.(2)由题意,利用基本不等式可得,,,(以上三式当且仅当时同时取“=”)由(1)知,,所以,将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.19、(1);(2)【解析】

(1)由,利用正弦定理转化整理为,再利用余弦定理求解.(2)根据,利用两角和的余弦得到,利用数形结合,设,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【详解】(1)因为,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,从而.所以,.不妨设,O为外接圆圆心则AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.20、证明见解析【解析】

利用分析法,证明a即可.【详解】证明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要证明1,只要证明a1(a)1﹣4(a)+4,只要证明:a,∵a1,∴原不等式成立.【点睛】本题考查不等式的证明,着重考查分析法的运用,考查推理论证能力,属于中档题.21、(1)x2=4y.(2).【解析】试题解析:(Ⅰ)设点P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求导y′=,因为直线PQ的斜率为1,所以

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