2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月考试数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B={1,2,3,4}，则A∩B=A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,4} D.{4}2.已知(1+i)z=2+4i，则|z|=(

)A.10 B.2 C.10 3.已知a=log32，b=log43，c=0.51.2，比较A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c4.已知向量a=(2,1)，b=(1,−3)，(ka−bA.−94 B.94 C.5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若1a1+A.78 B.74 C.76.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(xA.(0,4) B.(0,+∞) C.(3,4) D.(2,3)7.已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)A.13 B.17 C.18.已知x>0，y>0，且ex=xA.y>e2 B.y2>ex+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，A.a16=8

B.若S9=S10，则d=43

C.若d=−2，则Sn的最大值为S10.已知f(x)=2x3−3A.当a=1时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)

B.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin2x)

C.若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b=2

D.若f(x)存在极值点x011.设定义在R上的可导函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，满足g(x)−f(1−x)=1，f′(x)=g′(x+3)，且g(x+1)为奇函数，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=0 B.g(x)的图象关于直线x=2对称

C.f(x)的一个周期是4 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足a3=5，a2n=2an+1，2an+113.函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(4x−x2)14.若正实数a，b满足a(lnb−lna+a)≥bea−1，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c−a)(b+c+a)=bc.

(1)求A；

(2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx2−x+2x+(x−1)3.

(1)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；

(2)17.(本小题15分)

已知数列{an}，{bn}，an=(−1)n+2n，bn=an+1−λan(λ>0)，且18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x+1)e2−ax+1，g(x)=(x+1)axe2+(1−a)x+1.

(1)当a<0时，讨论f(x)的零点个数；

(2)19.(本小题17分)

若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”.

(1)判断函数f(x)=1x是否是区间[1,+∞)上的“1−利普希兹条件函数”？并说明理由；

(2)已知函数f(x)=x3是区间[0,a](a>0)上的“答案和解析1.【正确答案】D

【分析】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．

先解一元二次不等式，确定集合A，再根据交集的定义求两个集合的交集．

解：因为x2−2x−3>0⇒(x−3)(x+1)>0⇒x>3或x<−1，

所以A=(−∞,−1)∪(3,+∞)，

又B={1,2,3,4}，所以A∩B={4}.

2.【正确答案】C

解：由1+i)z=2+4i，得z=2+4i1+i=(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=3+i，

则|z|=3.【正确答案】D

【分析】本题主要考查数值大小的比较，是基础题．

利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较a，b的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较a，c大小，即可求解．

解：a−b=ln2ln3−ln3ln4=ln2⋅ln4−(ln3)2ln3⋅ln4，

因为ln2>0，ln4>0，

所以ln2+ln4>2ln2⋅ln4，4.【正确答案】B

解：a=(2,1)，b=(1,−3)，

则ka−b=(2k−1,k+3)，a+b=(3,−2)，

(ka−b)⊥(5.【正确答案】B

【分析】本题主要考查等比数列的性质及其前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．

根据题意可得1a1+1

解：∵{an}是等比数列，

∴1a1+1a3=a1+6.【正确答案】C

【分析】本题考查了利用函数的单调性解不等式的问题，属于中档题．

首先根据赋值法结合已知条件可将所求的不等式转化为f(2x)>f(8(x−3），分析条件可知函数在(0,+∞)上为增函数，利用函数的单调性可解不等式．

解：由f(xy)=f(x)+f(y)，可知f(4)=f(2)+f(2)=23，得到f(2)=13，从而f(8)=1，

因此f(2x)−f(x−3)>1可变为f(2x)>f(8)+f(x−3)，

即f(2x)>f(8(x−3），

因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(x1)−f(x2)](x7.【正确答案】B

【分析】本题考查了正弦和角公式，考查了同角三角函数关系及正切和角公式，属中档题．

利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan(α+β)=3tanα

解：因为sinβ=sin(α+β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα，

又2sinβ=cos(α+β)sinα，

所以2sin(α+β)cosα−2cos(α+β)sinα=cos(α+β)sinα，

8.【正确答案】B

【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属于较难题．

对于选项A，构造函数f(x)=ex−x2(x>0)，利用导数研究其单调性，进而判断选项A的正误；对于选项B，将不等式y2>ex+2等价于ex−x2−x2−1>0，构造函数ℎ(x)=ex−x2

解：对于选项A，因为ex=x2+lny，

所以lny=ex−x2，

令f(x)=ex−x2(x>0)，则f′(x)=ex−2x，

令g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex−2，

当0<x<ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>ln2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

故f′(x)min=f′(ln2)=eln2−2ln2=2−ln4>0，即f(x)单调递增，

所以f(x)>f(0)=1，

所以lny>1，即y>e，故A不正确；

对于选项B，不等式y2>ex+2等价于2lny>x+2，即lny>x2+1，

即ex−x2>x2+1，即ex−x2−x2−1>0.

令ℎ(x)=ex−x2−x2−1>09.【正确答案】ABD

解：由2a15+a18=24可得2(a1+14d)+a1+17d=24，故a1+15d=8，所以a16=8，故A正确，

由S9=S10可得a10=0=a16−6d，故d=43，故B正确，

若d=−2，则a20=a16+4d=0，且{an}单调递减，故Sn的最大值为10.【正确答案】ABD

A.a=1时，f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，f(x)在(−∞,0)递增，(0,1)递减，(1,+∞)递增，

∴{B.由(1)知：f(x)在(0,1)递减，当x∈(0,π)时，0<sin2x<C.因为f(1−x)=2−f(x)，所以f(x)关于(12,1)对称，则f(12D.由题意知：f′(x0)=6x02−6x0+1−a=0，①

又由f(x0)=f(x11.【正确答案】BCD

【分析】本题主要考查抽象函数的奇偶性，周期函数，函数的对称性，属于中档题．

利用抽象函数及导数的运算判断函数g′(x)的图象关于点(2,0)对称，从而可得g(x)的图象关于x=2对称，所以g(x)是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为g(1)=g(3)=0，且g(2)=−g(0)，所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，所以k=12025g(k)=506×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=g(1)=0

解：因为g(x+1)为奇函数，所以g(x+1)=−g(−x+1)，

所以g(x)的图象关于(1,0)中心对称，

g(x+1)=−g(−x+1)两边求导得：g′(x+1)=g′(−x+1)，

所以g′(x)的图象关于x=1对称，

因为g(x)−f(1−x)=1，所以g′(x)+f′(1−x)=0；

所以g′(1−x)+f′(x)=0，又f′(x)=g′(x+3)，所以g′(1−x)+g′(x+3)=0，

所以函数g′(x)的图象关于点(2,0)对称；

所以g(x)的图象关于x=2对称，故B正确；

所以g(x+2)=g(2−x)，即g(−x+1)=g(x+3)，

又g(x+1)=−g(−x+1)，所以g(x+1)=−g(x+3)，即g(x)=−g(x+2)，

所以g(x)=g(x+4)，所以g(x)是周期函数，且4是一个周期，

又因为g(x)−f(1−x)=1，所以f(x)=g(1−x)−1，

所以f(x)是周期函数，且4是一个周期，故C正确；

因为g(x+1)为奇函数，所以g(x)过(1,0)，所以g(1)=0，

令x=0，代入f(x)=g(1−x)−1，可得f(0)=g(1)−1=−1，故A错误；

令x=0代入g(−x+1)=g(x+3)，可得g(1)=g(3)=0，

令x=1，代入g(x+1)=−g(−x+1)，可得g(2)=−g(0)，

又因为g(x)的周期为4，所以g(0)=g(4)，所以g(2)+g(4)=0，

所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，

所以k=12025g(k)=506×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(2025)=g(506×4+1)=g(1)=0，故D正确．12.【正确答案】n2【分析】本题主要考查了数列递推关系的应用，还考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．

根据题意2an+1=an+a

解：由2an+1=an+an+2，所以an+1−an=an+2−an+1，所以数列{an}为等差数列，

并设其公差为d，首项为a1，又因为13.【正确答案】(0,2)

【分析】本题考查反函数的求法及对数函数的性质，属于基础题目．

欲求函数y=f(4x−x2)的递增区间，可先函数y=f(x)的解析式，由已知得y=f(x)的图象与y=2x

解：先求y=2x的反函数，为y=log2x，

∴f(x)=log2x，f(4x−x2)=log2(4x−x2).

令u=4x−x2，则u>014.【正确答案】e4【分析】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

由不等式a(lnb−lna+a)≥bea−1变形为ln(baea−1

解：因为a(lnb−lna+a)≥bea−1，

所以lnb−lna+a≥baea−1，

所以lnba+lnea−1+1≥baea−1，即ln(baea−1)−baea−1+1≥0，

令t=baea−1，则有lnt−t+1≥0(t>0)，

设f(t)=lnt−t+1，

只需证明f(t)min≥0，

f′(t)=1t−1，

令f′(t)=0得t=1，

所以当0<t<1时，f′(t)>0，f(t)单调递增，

当t>1时，f′(t)<0，f(t)单调递减，

所以f(t)max=f(1)=0，即lnt−t+1≤0，

又因为lnt−t+1≥0，

所以lnt−t+1=0，当且仅当t=115.【正确答案】(1)

b+c−ab+c+a=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a(2)法①：如图在

△ACD

中，由余弦定理C=3+16−23×4×在

△ACD

中由正弦定理

CDsin∠DAC=ADsinC

，因为

0<C<π3

，故

在

△ABC

中

sinB=法②：同解法①

CD=7

，在

△ACD

中由正弦定理

即

712又因为

∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2

，即

cosB+法③同上

CD=7

，在直角

△ABD

中

BD=由(1)问知

a2=b2+c2+bc

，所以

c2+3+72法④如图由(1)知

A=2π3

，则

因为

S△ABC12×4csin2π3=12×3c+1在

△ABC

中，由正弦定理

asinA=bsinB

，即

本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.

(1)整理等式后利用余弦定理求出cosA，得出A；

(2)法①：利用正余弦定理及两角和与差的三角函数公式进行求解即可；法②：同解法①

CD=716.【正确答案】解：(1)证明：函数f(x)=lnx2−x+2x+(x−1)3，定义域为(0,2)，

f(x)+f(2−x)=lnx2−x+2x+(x−1)3+ln2−xx+2(2−x)+(1−x)3

=lnx2−x⋅2−xx+[2x+2(2−x)]+[(x−1)3+(1−x)3]

=0+4+0=4，

所以曲线y=f(x)关于点(1,2)对称．

(2)f′(x)=1x+12−x+2+3(x−1)2=2x(2−x)+2+3(x−1)2，

因为x∈(0,2)，2x(2−x)>0，所以f′(x)=2x(2−x)+2+3(x−1)2>0，

所以f(x)在定义域(0,2)上单调递增．

(方法一)(1)由函数f(x)的定义域(0,2)，计算f(x)+f(2−x)的值判断对称中心；

(2)利用导数判断f(x)的单调性，结合函数对称性列不等式求实数m的取值范围．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想与运算求解能力，属于中档题．17.【正确答案】解：(1)由an=(−1)n+2n，bn=an+1−λan(λ>0)，可得b1=a2−λa1=5−λ，

b2=a3−λa2=7−5λ，b3=a4−λa3=17−7λ，

由{bn}为等比数列，可得b22=b1b3，即(7−5λ)2=(5−λ)(17−7λ)，

本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

(1)求得b1，b2，b3，再由等比数列的中项性质，解方程可得所求；

(2)求得bn，讨论n为奇数或偶数，求得18.【正确答案】解：(1)f′(x)=e2−ax−a(x+1)e2−ax=e2−ax(−ax−a+1)，

令f′(x)=0，得x=1−aa，

因为a<0，

所以−a>0，1−aa<0，

所以在(−∞,1−aa)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1−aa,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在区间(1−aa,+∞)上单调递增，

所以f(x)≥f(1−aa)=(1−aa+1)e2−a⋅1−aa+1=1ae1+a+1，

设ℎ(a)=1ae1+a+1，a<0，

则ℎ′(a)=−1a2e1+a+1ae1+a=e1+a⋅a−1a2，

因为a<0，

所以ℎ′(a)<0，

所以ℎ(a)在区间(−∞,0)上单调递减，

又因为ℎ(−1)=0，

所以当a<−1时，1ae1+a+1>0，则f(x)>0，无零点，

当a=−1时，1ae1+a+1=0，f(x)有1个零点，

当−1<a<0时，1ae1+a+1<0，

又f(0)=e2+1>0，

当x趋近于−∞时，f(x