2024-2025学年广东省肇庆市德庆县高三上学期12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省肇庆市德庆县高三上学期12月联考数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于（）A.B.C.D.2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.3.在△ABC中，点D在边AB上，．记，则 ()A． B．C．D．4.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（）A. B. C.D.5．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．6.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（）A．10B．20C．25D．507.已知，则（

）A． B． C． D．8．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（

）A． B．的最小正周期C．有4个零点 D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数，．下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图是函数（，，）的部分图像，则（

）A．的最小正周期为B．是的函数的一条对称轴C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（

）A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBNC．三棱锥P-MBN的体积为D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等比数列的前项和，若，，则____13.曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为__________14.已知若函数有两个零点，则的取值范围为________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cosB(bcosC＋ccosB)．(1)求B；(2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最小值．16.(本小题满分15分)如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且.（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．17.(本小题满分15分)已知函数.（1）求的极值；（2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围.18.(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,an－bn，n为偶数，）求数列{bn}的前项的和．19.(本小题满分17分)记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.(1)证明:函数与不存在“S点”;(2)若函数与存在“S点”，求实数的值(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【正确答案】A解析：集合，则。2.【正确答案】B【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.3.【正确答案】D解析：因点D在边AB上，，所以，即，所以．4.【正确答案】B【详解】对于A:，故A错误；对于B:，又定义域为全体实数，它关于原点对称，且，即函数是定义域为的偶函数，当时，单调递增，满足题意.对于C:，故不是偶函数，故C错误；对于D:，故D错误；5.【正确答案】A由圆柱侧面积，解得，因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，则由，所以6.【正确答案】C解：由得，即，由基本不等式得，当且时，等号成立。7.【正确答案】C【详解】由，得，即，所以，所以，所以.8.【正确答案】D对于A：由题意可得：，解得，故A正确；对于B：∵是偶函数，则，则，又∵为奇函数，则，可得，∴fx+4=−fx+2=−−fx=fx，则的最小正周期，故B正确；对C：令，则，注意到此时，分别作出的图象，由图象可知：有4个交点，故有4个零点，故C正确；对D：∵，则，可得，故D不正确.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.【正确答案】BC【详解】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；由可得，因为，所以，即，B正确；因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.故选：BC10.【正确答案】AD【详解】由图像可知，，，即，故A正确；，此时，又在图像上，，解得，，，，，当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：不为奇函数，故C错误；令，解得，当时，，不合题意时，；时，；时，；又因为函数在上有且仅有两个零点，解得，故D正确.故选：AD.11.【正确答案】ABC【详解】如图，在正方体中，连接，，因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；连接，，，因为，所以，故选项C正确；分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.答案：解析：设等比数列公比为，由已知得：，∴∴,所以13.答案：解析：依题意，y′＝1x+2x2，所以tan所以cos2α+π2＝－sin2α＝－2sinα14.【正确答案】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，由图可知或.所以的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：(1)由正弦定理得........................1分sinA＝2cosB(sinBcosC＋sinCcosB)＝2cosBsinA，.........................3分因为sinA≠0，所以cosB＝eq\f(1,2)，.............................................4分又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)..............................................5分(2)因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝eq\f(π,6)，.............................................6分又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)a·2·sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)c·2·sineq\f(π,6)，.............................................8分化简得eq\f(\r(3),2)ac＝a＋c，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(\r(3),2)，............................................10分所以a＋c＝eq\f(2,\r(3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c）)(a＋c)＝eq\f(2,\r(3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)＋\f(a,c)＋1）≥eq\f(2,\r(3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋2\r(\f(c,a)·\f(a,c））＝eq\f(8\r(3),3)..............................12分当且仅当eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)时，等号成立，即a＋c的最小值为eq\f(8\r(3),3)..............................................13分16.解：（1）设，连接.因为侧面是菱形，所以，.............1分又因为，所以.....................2分又，.....................3分所以，.....................4分又，所以......................5分(2)因为，所以，由(1)知，则....................6分设.如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，....................7分则，，，，因为，易得.，，....................10分（或者不求的坐标，利用也可得出的坐标）设是面的一个法向量，则即，可取...................12分设是面的一个法向量，则即，可取...................14分，所以二面角的余弦值为...................15分17.解：（1）的定义域为....................1分当时，恒成立，此时单调递增，无极值；...................2分当时，令，得....................3分故当时，单调递减；当时，单调递增，...................5分此时在处取到极小值，无极大值....................6分（2）方法一：对任意时，恒成立，即恒成立....................7分令，则..................9分令，则，...................10分即在区间上单调递减，又，...................11分所以当时，，即，此时单调递增；...................12分当时，，即，此时单调递减，...................13分所以....................14分所以，即的取值范围为....................15分方法二：由（1）知，当时，在区间上单调递增....................7分因为，所以不符合题意；...................8分当时，当时单调递减，当时单调递增.对任意时，恒成立，即，即....................10分令在区间上单调递增.又所以；...................12分当时，在区间上单调递减...................13分所以，符合题意；...................14分综上，的取值范围为....................15分18.解析：(1)证明：当n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0...................1分由题意Sn＝2an－n＋1①得：则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②，...................2分②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，...................3分即an＋1＝2an＋1，...................4分所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2....................5分又因为a1＋1＝1，...................6分所以{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列．...................7分(2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n－1－1，...................9分所以bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1－1，n为奇数，,2n－1－1－bn，n为偶数，）...................10分且b1＝a2＝22-1－1＝1，