重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列图形是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．反比例函数y=8A．(−2，4) B．(−4，2) C．3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，OC，OB，若∠BAC=35°，则∠BOC的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．75°4．将抛物线y=(x−1)A．y=x2+3C．y=(x−2)2+35．若关于x的一元二次方程x2+mx−n=0有一个根为x=2，则代数式A．−4 B．4 C．10 D．126．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x…−10123…y…1510767…A．15 B．10 C．7 D．67．一次函数y=kx+k(k≠0)的图象与反比例函数y=kA． B．C． D．8．如图，AB是⊙O的切线，点C是切点，连接OA，OB，若∠OAB=45°，AC=3，BC=6，则OB的长度是（）

A．32 B．35 C．89．如图，在△ABC中，AC=BC，点P是AB边上任意一点，将△ACP绕点C逆时针旋转得到△BCQ，点P的对应点为点Q，连接PQ，若∠CPQ=70°，则∠CBQ的度数是（）A．80° B．75° C．70° D．65°10．对于n个互不相等的实数，先将每两个数求差，再把这些差的绝对值相加求和，这样的运算称为对这n个实数的“差绝对值运算”，例如，对于2，3，6进行“差绝对值运算”，得到：|2−3|+|3−6|+|2−6|=8．下列说法：①对−1，2，5，6的“差绝对值运算”的结果是24；②对−2，a，72的“差绝对值运算”的结果的最小值是11；③A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．11．抛物线y=-（x-2）2+1的顶点坐标是．12．点M(2，5)关于原点的对称点N的坐标是13．长安汽车公司10月份营业额为125亿元，12月份营业额为180亿元，已知10、11月份的营业额月平均增长率相同，设该公司10月到12月营业额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是．14．一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是．15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABO的顶点O在原点，直角边OB在x轴上，∠ABO=90°，反比例函数y=kx(x>0，k>0)的图象分别交OA，BA边于点C，D，连接OD，若AD=2BD，S△AOD=1616．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AD⊥BD，AD=OD，以O为圆心，OD长为半径画弧分别交对角线AC于点E，F．若BD=6，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．若关于x的一元二次方程x2+2x+a−1=0有实数根，且关于y的分式方程a+y1−y18．一个四位自然数M，若它的千位数字与十位数字的差为3，百位数字与个位数字的差为2，则称M为“接二连三数”，则最大的“接二连三数”为；已知“接二连三数”M能被9整除，将其千位数字与百位数字之和记为P，十位数字与个位数字之差记为Q，当PQ为整数时，满足条件的M的最小值为三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．解下列方程；（1）x2+2x−4=0； （2）20．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD．（1）请用尺规完成基本作图：作BD的垂直平分线MN，交BD于点O，交AB于点M，交CD于点N（保留作图痕迹，并标上字母，不写作法）；（2）已知：四边形ABCD是平行四边形，MN垂直平分线BD，交BD于点O，交AB于点M，交CD于点N．求证：AM=CN．请补全下面的证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠MBO=▲．∵MN是BD的垂直平分线，∴▲．在△BOM和△DON中，∠MBO=∠NDOBO=DO∴△BMO≌△DNO(ASA)，∴BM=▲，∴AB−BM=CD−DN，∴AM=CN．21．如图，二次函数y=x2+2x−8（1）求B点的坐标；（2）求△ACP的面积．22．现有四张正面分别写有−3，1，2，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上并洗匀．（1）若从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数字恰好是2的概率是；（2）若先从中随机抽取1张卡片后不放回，再从余下的3张中随机抽取1张，求抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表的方法进行说明）．23．春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过38元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．（1）若每天的销售量为200副，则每副春联的售价为多少元？（2）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？24．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3．动点P从点A出发，沿着折线A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x（其中0<x<7），连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题：图1图2（1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）已知函数y1=12x(x>0)的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当y25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；（3）将该抛物线沿x轴向右平移52个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线y'的对称轴交x轴于点M，点N是直线AC上一点，在平面内确定一点K，使得以C，M，N，K26．在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，∠AEC=120°．图1图2图3（1）如图1，若AD⊥BC，CE=6，AE=3DE，求△ADC的面积；（2）如图2，连接BE，若∠CBE=60°，AE=CE，点G为AB的中点，连接GE，求证：BC=BE+2GE；（3）如图3，若△ABC是等边三角形，BC=9，D为直线BC上一点，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AK，连接DK，M为线段BC上一点，BC=3BM，P为直线AB上一点，分别连接PM，PK，请直接写出PK+MP的最小值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：

A：，是中心对称图形，符合题意；

B：，是轴对称图形，不符合题意；

C：，是轴对称图形，不符合题意；

D：，是轴对称图形，不符合题意；故答案为：A.

【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵2×4=8，

∴反比例函数y=8x的图象一定经过的点是故答案为：D.

【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠BAC=35°，

∴∠BOC=2∠BAC=70°，故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，从而求解.4．【答案】B【解析】【解答】解：将抛物线y=(x−1)2+3向下平移1个单位后得y=故答案为：B.

【分析】根据二次函数图象的几何变换规律：上加下减，左加右减进行变换即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵x=2是关于x的一元二次方程x2+mx−n=0一个根，

∴2故答案为：A.

【分析】根据一元二次方程根的定义将x=2代入方程并整理即可求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：根据表格可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1+32=2，

∴x=4和x=0时对应的函数值相等，故答案为：B.

【分析】根据表格信息求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性求得x=0时与x=4时对应的y的值相等，从而求解.7．【答案】A【解析】【解答】解：当k>0时，一次函数y=kx+k(k≠0)经过一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；

当k<0时，一次函数y=kx+k(k≠0)经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限；

四个选项中只有A符合题意，故答案为：A.

【分析】分k>0；k<0两种情况进行讨论得到一次函数和反比例函数经过的象限，进行逐一判断即可求解.8．【答案】B【解析】【解答】解：连接AC，如图，

∵AB是⊙O的切线，点C是切点，

∴OC⊥AB，

∴∠ACO=∠BCO=90°，

∵∠OAB=45°，

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴OC=AC=3，

由勾股定理可得：OB=32

【分析】连接AC，由切线的性质得到∠ACO=∠BCO=90°，结合已知条件判断△AOC为等腰直角三角形，得到OC=AC=3，最后利用勾股定理即可求解.9．【答案】C【解析】【解答】解：由旋转的性质可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，∠A=∠CBQ，

∴∠CPQ=∠CQP=70°，∠ACB=∠PCQ，

∴∠PCQ=180-∠CPQ-∠CQP=40°,

∴∠ACB=40°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBQ=70°，故答案为：C.

【分析】利用旋转的性质求出∠PCQ，∠ACB的度数再根据等腰三角形的性质即可求解.10．【答案】C【解析】【解答】解：①由题意可得-1-2+-1-5+-1-6+2-5+2-6+5-6=3+6+7+3+4+1=24，故①正确，符合题意；

②由题意可得-2-a+-2-72+a-72=a+2+112+a-72，

∵a+2故答案为：C.

【分析】根据“差绝对值运算”的定义进行逐一判断即可求解.11．【答案】（2，1）【解析】【解答】解：由抛物线y=-（x-2）2+1可得顶点坐标是（2，1），故答案为：（2，1）.

【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求解.12．【答案】(−2【解析】【解答】解：点M(2，5)关于原点的对称点N的坐标是故答案为：(−2，

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标互为相反数，从而求解.13．【答案】125【解析】【解答】解：设该公司10月到12月营业额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程125(1+x)故答案为：125(1+x)

【分析】设该公司10月到12月营业额平均月增长率为x，根据12月份营业额=10月份营业额×（1平均增长率）2，代入数据即可求解.14．【答案】4【解析】【解答】解：列表如下：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）由表格可知，从袋子中随机摸出两个小球可能会出现9种等可能的结果，其中两球都是红色的有4种结果，

∴两次摸出的球都是红球的概率是49，

故答案为：

【分析】列出表格得到袋子中随机摸出两个小球可能会出现9种等可能的结果，其中两球都是红色的有4种结果，利用概率公式代入数据进行计算即可求解.15．【答案】16【解析】【解答】解：设OB=m，

∵∠ABO=90°,点D在反比例函数y=kx(x>0，k>0)的图象上，

∴D(m，km)，

∴BD=km，

∵AD=2BD，故答案为，16.【分析】设OB=m，得到D(m，km)，进而得到BD=km16．【答案】9−【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∴OD=12BD=3,

∵AD⊥BD，AD=OD，

∴∠AOD=45°,

∴阴影部分的面积为故答案为：9−9

【分析】根据平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质得到∠AOD=45°,结合图形得到阴影部分的面积为2(S17．【答案】-1【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a−1=0有实数根，

∴∆=22-4×1×（a-1）≥0，

解得：a≤2，

解分式方程a+y1−y+3=1y−1，得y=a+42，

∵关于y的分式方程a+y1−y+3=1y−1的解是正数，

∴a+4故答案为：-1.

【分析】先根据根的判别式得到∆=22-4×1×（a-1）≥0，解得a≤2，解分式方程得到y=18．【答案】9967；8856【解析】【解答】解：由题意可得最大的“接二连三数”为9976，设四位数字千位为x，百位为y，则十位为x-3，个位为y-2，

∴M=xy（x-3）（y-2）能被9整除且是“接二连三数”，

∴1010x+101y-329=112x+12y-4+2x+2y+49属于整数，

∵3≤x≤9,2≤y≤9,

∴7≤x+y+2≤9≤20,

∴x+y+2=9或18，

∴x+y=7或16，

当x+y=7，即x=7-y时，

PQ=x+yx-3-（y-2）=7x-y-1=76-2y=72（3-2y），故答案为：9765，8856，.【分析】设四位数字千位为x，百位为y，则十位为x-3，个位为y-2，根据定义即可求得最大的“接二连三数”为9976，由条件3≤x≤9,2≤y≤9,得到7≤x+y+2≤9≤20,进而得到x+y+2=9或18，x+y=7或16，利用分类讨论：当x+y=7，即x=7-y时；当x+y=16，即x=16-y时，得到符合题意的x、y的值，从而求解.19．【答案】（1）解：a=1，b=2，c=−4，Δ=b∴x=−2±∴x1=−1+（2）解：移项得，2(因式分解得，(x−1∴(x−1∴x−1=0或3−x=0，∴x1=1，【解析】【分析】（1）先利用根的判别式得到Δ=20>0，由求根公式即可求解；

（2）根据移项、因式分解求解即可.20．【答案】（1）解：如图，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠MBO=∠ODN．∵MN是BD的垂直平分线，∴BO=DO．在△BOM和△DON中，∠MBO=∠NDOBO=DO∴△BMO≌△DNO(ASA)，∴BM=DN，∴AB−BM=CD−DN，∴AM=CN．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可求解；

（2）根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质完成填空即可求解.21．【答案】（1）解：令y=0，则x2+2x−8=0，解得x1∴A(−4，0)，（2）解：该抛物线对称轴为x=−b将x=−1代入y=x2+2x−8∴P(−1在y=x2+2x−8中，当x=0∴C(0连接OP，由（1）可知，A(−4，∴S===6．【解析】【分析】（1）直接令y=0得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解；

（2）先求的对称轴为直线x=-1，进而求得顶点坐标和点C的坐标，连接OP，根据S△ACP22．【答案】（1）1（2）解：两张卡片分别记为第1张和第2张，可以用下表列举出所有可能出现的结果．第2张第1张−3125−3(−3(−3(−31(1(1(12(2(2(25(5(5(5由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中两张卡片上的数字之和为偶数的有6种，所以P=6答：抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率是12【解析】【解答】解：（1）由题意可得抽取的卡片上的数字恰好是2的概率为14，

【分析】（1）根据总共有4张卡片，数字为2的只有1张，利用概率公式即可求解；

23．【答案】（1）解：设每副的售价为a元，由题意得：250−解得a=30答：每副春联的售价为30元；（2）解：设每副的售价为x元，日销售利润为W元，W==(x−20)(500−10x)=−10=−10(x−35)∵−10<0，25≤x≤38，∴当x=35时，W取得最大值2250，答：当每副的售价定为35元时，日销售利润最大，最大利润是2250元．【解析】【分析】（1）设每副的售价为a元，根据日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副且每天的销售量为200副，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求解；

（2）设每副的售价为x元，日销售利润为W元，根据利润=单个商品的利润×销量得到W关于x的二次函数，通过配方利用二次函数的性质即可求解.24．【答案】（1）解：y=3（2）解：如图该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值，当x=4时，函数取得最大值6．（3）x【解析】【解答】解：（1）由题意得当点P在AB上运动时，解析式为y=32x（0<x≤4）,当点P在BC上运动时，解析式为y=14-2x（4<x<7）,

∴y关于x的函数关系式为y=32x(25．【答案】（1）解：由题意得：a−b+4=616a−4b+4=0，解得：a=−1∴该抛物线的函数表达式为y=−x（2）解：在y=−x当x=0时，y=4，∴C(由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y=x+4，设P(t，−t∴PD=y∵−1<0，∴当t=−2时，∴PD有最大值为4，则点P(（3）解：满足条件的点K坐标为：(236，176由y=−x2−3x+4则新抛物线的对称轴为x=1，∴M(由（2）可知C(0设N(∴CNNM当MN=CN时，2m解得：m=−17∴N坐标为(−176，7【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得a、b的值，即可求解；

（2）令x=0，先求，得点C的坐标，从而得到直线AC的表达式，设P(t，−t2−3t+4)(−4<t<0)，D(t，26．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，又∵∠AEC=120°，∴∠DCE=∠AEC−∠ADC=30°，∵在Rt△DEC中，CE=6，∴DE=1∴DC=C又∵AE=3DE，∴AE=9，∴DA=AE+DE=12，∴S（2）证明：延长EG到点F，使GF=EG，连接AF，在BC上截取BH=BE，连接EH，如图所示：∵G为AB的中点，∴AG=BG，∴在△BEG和△AFG中，AG=BG∴△BEG≌△AFG(SAS)，∴AF=BE，∠FAG=∠EBG，∴∠FAG+∠GAE=∠EBG+∠GAE，即