重庆市北碚区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

重庆市北碚区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．若二次根式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤22．下列二次根式不为最简二次根式的是（）A．2 B．3 C．6 D．123．用配方法解方程x2A．(x−2)2=1 B．(x+2)2=1 C．4．如图，以点O为位似中心，将四边形OABC放大到原来的3倍，得到四边形ODEF，若四边形OABC的面积为1，则四边形ODEF的面积是（）A．3 B．6 C．8 D．95．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC：A．125 B．512 C．12136．估计12×(A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间7．已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+4x+A．m=0 B．m=−1 C．m=1 D．m=±18．如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD=BD=3，则AC的长度是（）A．23 B．33 C．439．如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，点O为对角线AC的中点，BE⊥CD于点E，若∠DBE=45°，∠COE=α，则A．45°+α B．90°−α C．3α D．135°−3α10．已知两个二次根式：x+1，第一次操作：将x+1与x的和记为M1，差记为N第二次操作：将M1与N1的和记为M2第三次操作：将M2与N2的和记为M3下列说法：①当x=1时，N2+N4③M2n+1⋅N其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．化简：8=12．在一个布袋里装着标号分别为1，2，3的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为a，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，则a、b使二次根式13．某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为38.4元．已知每次降价的百分率均为x，根据题意，可列方程为14．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，点F在AE上，且∠ABF=∠EAD，AB=2，BC=3，CE=1，则点A到BF的距离是．15．如图，在矩形ABCD中，点O是AD的中点，以O为圆心，OA长为半径画弧，交BC于点E．若AB=3，BC=6，则图中阴影部分的面积是．16．已知关于x的方程(m−3)x2+(m−11)x−8=0的根都是整数，且m满足等式7−mm−2=17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AB、BC上的点，将△BDE沿DE翻折至△ABC所在的平面内，得△FDE，DF、BC相交于点G．若BC=8，BD=AC=6，18．如果一个三位自然数abc的各数位上的数字均不为0，且使得关于x的方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数441是方程4x2+4x+1=0的“等根数”．则关于x的方程ax2+bx+c=0的最小“等根数”是；如果m是关于x的方程ax2三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）(2+1)(2−1)+(2−1)2；20．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F．（1）用直尺和圆规，作∠ADC的平分线交BC于点H，交AC于点G（只保留作图痕迹）．（2）在（1）所作的图中，若CH=2BH，试说明CG=2GF．请根据以下思路完成填空：证明：在▱ABCD中，∠ABC=∠ADC，∴∠ADH=∠DHC，∵BE平分∠ABC，DH平分∠ADC，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC=∠ADH，∴▲，∴BE∥DH，∴CGGF∵CH=2BH，∴CG=2GF．21．某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为x，共分为三组：合格4≤x＜6，中等6≤x＜8，优等x≥8），下面给出了部分信息：抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：4，抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是：8，抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表年级七年级八年级平均数66中位数b7众数8a方差22“优等”所占百分比40%50%抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，m=；（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？22．已知关于x的方程x2（1）求证：对于任何实数m，该方程总有两个实数根；（2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求m的取值范围．23．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？24．为了满足市民的需求，某市在一公园外围开辟了两条步道，如图：①A−C−D，②A−B−D．经勘测，点B在点A的正东方向300米处，点C在点A东北方向，点D在点C的正东方向，且在点B的北偏东60°方向，BD=400米．（参考数据：2≈1（1）求点B到CD的距离；（2）由于时间原因，小贝决定选择一条较短步道锻炼，请计算说明小贝应该选择步道①还是步道②？（结果精确到1米）25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，E是CA延长线上一点，且AE=AC．

（1）如图1，若BC=4，AC=2，求（2）如图2，点F是DE的中点，求证：BD=2AF．26．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为△ABC外一点，AC和BD相交于点E，CE=2AE．（1）如图1，若CD⊥BC，∠ACB=60°，（2）如图2，若∠ACD=∠ACB，猜想线段BC，（3）如图3，在（1）的条件下，将△CDE绕点C旋转得到△CD'E'，连结BE'，点P是

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵x−2在实数范围内有意义，∴x-2≥0，求得x≥2，

∴x的取值范围是x≥2故答案为：B.

【分析】根据二次根式有意义的条件得x-2≥0，然后根据一元一次不等式的解法求出x的取值范围即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A.2，是最简二次根式，不符合题意，A错误；B.3，是最简二次根式，不符合题意，B错误；C.6，是最简二次根式，不符合题意，C错误；D.12=2故答案为：D．【分析】本题考查二次根式的定义.根据最简二次根式的定义：二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，D选项中：12=3．【答案】C【解析】【解答】解：用配方法解方程x2−4x+1=0可得：故答案为：C.【分析】首先移项，可得x2-4x=-1，然后给方程两边同时加上4，结合完全平方公式化简即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将四边形OABC放大到原来的3倍，∴OC：OF=1：3，∴∵四边形OABC的面积为1，∴四边形ODEF的面积是9，故答案为：D．【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为OC：OF=1：3，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为1：9，据此可求出答案．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∴设BC=12k,则AC=A∴tanA=BC故答案为：A．【分析】本题考查勾股定理，正切的定义.根据题意，设BC=12k,AB=13k，利用勾股定理可求出AC=5k，利用正切函数的定义可求出6．【答案】C【解析】【解答】解：12==6+6∵∴2<∴8<6+6∴8<12故答案为：C．【分析】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小．利用二次根式的混合运算法则可求出根式的结果为：原式=6+6，利用算术平方根的定义可估算无理数6的大小，据此可求出6+7．【答案】B【解析】【解答】解：把x=0代入(m−1)x得m2解得m=±1，∵m−1≠0，∴m=−1，故答案为：B．【分析】本题考查方程根的定义.根据方程根的定义先把x=0代入方程，可求出m的值.再根据一元二次方程二次项系数不等于0，可得m−1≠0，综合可求出m的值.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，AD=BD=3，∴BC=BD=3，∠ACB=90°，AB=AD+BD=6，∴AC=A故答案为：B．【分析】本题考查圆切线的性质定理，切线长定理，勾股定理.根据圆切线长定理，可得BC=BD=3，根据切线性质可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出AC的长度．9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，∵BE⊥CD，∴∠BED=∠BEF=90°，∵DE=EF∴△DBE≌△FBE(SAS)，∴BD=BF,∵∠DBE=45°，∴∠FBE=45°，∴∠DBF=90°，∠FBE=∠DBE=∠BDF=∠BFD=45°，∴BE=DE=EF；∵∠DBF=90°，∠ABC=90°，∴∠CBF=90°−∠DBC=∠ABD，∵AB=CB∴△BAD≌△BCF(SAS)，∴∠ADB=∠CFB，∵∠CFB=45°，∴∠ADB=45°，∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°，∴AD∥BE，∴∠CAD=∠CME，∵∠COE=α，∠CME=∠COE+∠HEG=∠HEG+α∴∠CAD=∠HEG+α；过点A作AH⊥BE于点H，延长EO交AH于点G，则四边形ADEH是矩形，∴AH=DE=BE=EF，AH∥DC，∴∠OAG=∠OCE,∵∠OGA=∠OEC∴△AOG≌△COE(ASA)，∴AG=CE，∵BA=BC∴△BAH≌△CBE(HL)，∴BH=CE，∴BH=AG，∴BE−BH=AH−AG，∴HG=HE，∴△GHE是等腰直角三角形，∴∠HEG=45°，∴∠CAD=∠COE+∠HEG=45°+α，故答案为：A．【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质，过点A作AH⊥BE于点H，延长EO交AH于点G，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，根据已知条件可证明△AOG≌△COE(ASA)，△DBE≌△FBE(SAS)，△BAD≌△BCF(SAS)，△BAH≌△CBE(HL)，利用全等三角形的性质可推出等腰直角三角形GHE，进而得出∠HEG=45°，利用角的运算可求出∠CAD=∠CME=∠COE+∠HEG=45°+α.10．【答案】D【解析】【解答】解：①当x=1时，M1=2M2=2M3=22M4=22…按照此规律：N2=2，N4=4，∴N2+N②M1=x+1M2=x+1M3=2x+1M4=2x+1…按照此规律可得：M2n=2nx+1，N∴M12=2③根据以上规律可知，M2n+1=2∴M===22n，故综上分析可知，正确的有3个，故D正确．故答案为：D．【分析】本题考查二次根式的混合运算．①根据题意得出N2=2，N4=4，N6=8，N8=16，然后相加即可；②根据题意得出一般规律：M2n=2nx+1，N11．【答案】2【解析】【解答】解：8=2故答案为：2【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果．12．【答案】1【解析】【解答】解：所有机会均等的结果列表如下：ba123123213312由列表可知一共有6种等可能结果，其中使二次根式a+b的值为有理数有2种等可能结果，∴使二次根式a+b的值为有理数的概率P=2故答案为：13【分析】本题考查简单概率的计算.通过列表可列出所有等可能结果，进而找出使二次根式a+b的值为有理数的所有情况，再根据概率公式进行计算可求出答案．13．【答案】60【解析】【解答】解：根据题意，得60(1−x)故答案为：60(1−x)【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题．根据增长率问题计算公式：增长前的量×（1+14．【答案】2【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BF于H点，过点E作EG⊥AD于G点，在▱ABCD中，∵AE⊥CD∴∠BAF=∠AED=90°∵DE=CD−CE=AB−CE=2−1=1AD=BC=3∴AE=SEG=又∵∠ABF=∠EAD∴ΔABFAH∴AHAH=2故答案为：2【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质.过点A作AH⊥BF于H点，过点E作EG⊥AD于G点，根据平行四边形的性质，再利用勾股定理可求出AE=22，根据等面积法，利用三角形的面积可求出EG=2315．【答案】9【解析】【解答】解：连接OE，在矩形ABCD中，∵点O是AD的中点，AB=3，BC=6，∴OA=OE=AB=3，∴OE⊥ADS阴故答案为：94【分析】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式.连接OE，根据矩形的性质和已知条件可推出OE⊥AD，再根据S阴16．【答案】19【解析】【解答】解：∵7−mm−2∴7−m≥0,解得2<m≤7；∵m是整数，故m=3,当m−3=0时，即m=3，方程变形为−8x−8=0，解得x=−1，是整数解，符合题意，故m=3；当m−3≠0时，∵(m−3)x∴[(m−3)x−8](x+1)=0，解得x1=−1，∵方程的根都是整数，m=3,∴m=4,综上所述，符合题意的m值为m=3,∴3+4+5+7=19，故答案为：19．【分析】本题考查分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义.先根据根式有意义的条件可推出：m=3,17．【答案】9【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=8，BD=AC=6,∴AB=AC2∴BGBC∴BG8∴BG=24设GE=x，则BE=EF=BG−GE=245−x∴GF=DF−DG=6−18∴(12解得x=9故答案为：95【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，折叠的性质.先利用勾股定理可求出AB，利用相似三角形的性质可求出BG,DG.设GE=x，则BE=EF=BG−GE=BG−x，根据勾股定理可列出方程18．【答案】121；882【解析】【解答】解：∵abc是方程ax∴Δ=b∴b2即b=2ac∵abc为最小“等根数”，∴a=1，b=2，∴c=1，∴最小“等根数”为121，故答案为：121；∵b2∴F(m)G(m)∵F(m)G(m)∴6aca−c∴当a=9时，c=6或3，此时4ac=216或108，∵b2∴不符，舍去；当a=8时，c=5或2，此时4ac=160或64，由b2≤9∴c=2，∴b=2ac∴a=8，b=8，c=2，∴m的最大值是882，故答案为：882．【分析】本题考查新定义运算，一元二次方程根的判别式.先根据一元二次方程根的判别式可求出b=2ac，再“等根数”的定义可找出a，b，c的值；先通过因式分解可得F(m)G(m)=a−c+6aca−c，再根据题意可求出6aca−c是整数，通过分类讨论可求出19．【答案】（1）解：(==2+2−2=4−22（2）解：2cos30°+si=2×==1【解析】【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，整式的乘除计算，特殊角的三角函数混合运算．（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，再利用根式运算性质，合并同类型可求出答案；（2）根据特殊角的三角函数值，先进行代换，再利用根式的运算性质，合并同类项可求出答案．20．【答案】（1）解：根据题意，画图如下：则AH即为所求．（2）证明：在▱ABCD中，∠ABC=∠ADC，∴∠ADH=∠DHC，∵BE平分∠ABC，DH平分∠ADC，∴∠EBC=12∠ABC∴∠EBC=∠ADH，∴∠EBH=∠DHC，∴BE∥DH，∴CG∵CH=2BH，∴CG=2GF．【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质；（1）根据尺规作图的基本步骤：先作出角平分线DH，标注交点可画出图形；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质可推出∠EBH=∠DHC，进而证明BE∥DH，再根据平行线分线段成比例定理可得CGGF21．【答案】（1）8；6.（2）解：八年级的更好些，理由是：平均数相同，但八年级的优等率高．（3）根据题意，得40%×800=320人，故320+360=680(人)，答：两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有680人．【解析】【解答】解：（1）∵抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：4,∴中位数是6+72故b=6.∵m%=1−50%−20%=30%∴中等的人数为：20%×10=2(人)，合格的人数为：30%故8出现的次数最多，4次，故a=8，故答案为：8；6.【分析】本题考查扇形统计图，圆心角的计算，中位数，众数的计算，样本估计总体.

(1)根据众数的定义：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据，据此可求出a的值；根据中位数的定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可求出b的值；根据扇形统计图的意义可确定m值；(2)利用平均数统计特征量比较，可进行判断；(3)根据题意先求出七年级，八年级的优等人数，再相加可求出答案.22．【答案】（1）证明：Δ=====∵(m−6)∴对于任何实数m，该方程总有两个实数根（2）解：xx=x=x1=1<m−4<3∴5<m<7.【解析】【分析】本题考查一元二次方程根据的判定别式、三角形的三边关系.（1）先求出Δ=(m-6)2，再根据平方具有非负性可说明（2）先利用一元二次方程的求根公式求出两个根，再根据三角形的三边关系可得不等式1<m−4<3，解不等式可求出实数m的取值范围.23．【答案】（1）解：设每个小家电销售定价为x元，则销量为180+10(52−x)=700−10x（个），依题意得700−10x=260，解得x=44，52−44=8，答：应降价8元；（2）解：由题意，得(x−40整理得：x解得x1=50，使顾客得到实惠，售价为50元．【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用．（1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解一元一次方程可求出答案；（2）根据题意可得等量关系：总利润=24．【答案】（1）解：如图，作出点B的正北方向，交CD于点E，∵点B在点A的正东方向300米处，点D在点C的正东方向，∴CD∥AB∴∠BED=∠EBA=90°，∵BD=400米，∠EBD=60°，且cos∠EBD=∴BE=200(m)，答：点B到CD的距离为200米．（2）解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，∵CD∥AB，∴矩形CFBE．∴CE=FB=AB−AF，CF=BE=200，∵AB=300，∠CAF=45°，∴AF=CF=200(m)，CE=FB=AB−AF=100(m)，∴AC=AF2∴DE=2003∴步道①长为：AC+CD=AC+CE+DE=2002+100+2003≈200×1.∵700＜728，故选步道②．【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，方位角的计算．（1）作出点B的正北方向，交CD于点E，已知CD∥AB，利用平行线的性质可推出∠BED=90°，再根据余弦的定义可得：BE400（2）过点C作CF⊥AB于点F，根据CD∥AB可证明四边形CFBE为矩形，进而推出CE=FB=AB−AF，利用勾股定理可求出AC的长，利用正弦的定义可求出DE的长，利用线段的运算可求出步道①长和步道②长，据此可判断出结论．25．【答案】（1）解：取AC的中点M，连接DM，∵点D是AB的中点，BC=4，AC=2，∴DM∥BC，DM=1∴∠DME=∠C=90°，∵AE=AC，∴AE=AC=2，∴DE=D（2）证明：延长AF到点N，使得AF=FN，则AN=2AF，连接DN，∵点F是DE的中点，∴DF=EF，∵FD=FE∠NFD=∠AFE∴△FDN≌△FEA(SAS)，∴DN=EA，∠FDN=∠FEA，∴DN=EA，连接CD，∵AE=AC，∴DN=AC，∴四边形ACDN是平行四边形，∴AN=CD=2AF，∵点D是AB的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=1∴BD=2AF．【解析】【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的特征量，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．（1）取AC的中点M，连接DM，利用三角形中位线定理可求出DM和AM，再利用勾股定理可求出DE；（2）延长AF到点N，使得AF=FN，则AN=2AF，连接DN，CD，利用中点的定义和已知条件可证明△FDN≌△FEA(SAS)，利用全等三角形的性质结合已知条件可推出DN=AC，DN∥AC，进而证明四边形ACDN是平行四边形，