2025年九年级中考数学解答题重难点专项突破 课件 开放探究题

解答题重难点开放探究题类型1

条件开放型

（1）根据图象直接写出y1，y2的大小关系，并通过计算加以验证.

（2）结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求k的值.条件①：四边形OCED的面积为2；条件②：BE＝2AE.

类型2

结论开放型【例2】如图1，AB是☉O的直径，点C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA＝∠B.（1）证明：如图，连接OC.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠B＋∠ACO＝90°.∵∠B＝∠ECA，∴∠ECA＋∠ACO＝90°，∴∠ECO＝90°，∴EC⊥OC.∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线.（1）求证：CE是☉O的切线；（2）如图2，若∠B＝30°，请写出三个你认为正确的结论（注：不另外添加辅助线）.（2）解：①AB＝2AC；②∠E＝30°；③EA＝AC.（答案不唯一）

类型1

条件开放型1.（1）方法选择如图1，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC.求证：BD＝AD＋CD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…；小军认为可用补短法证明：延长DC至点E，使得CE＝AD…；请你选择一种方法证明.解：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°.选择截长法证明：如图1－1，在BD上截取DM＝AD，连接AM.∵∠ADB＝∠ACB＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∠AMB＝120°.又∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠BDC＋∠ADB＝120°.图1－1∵∠ABM＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC，AB＝AC，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM＋DM＝CD＋AD.选择补短法证明：如图1－2，延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＝∠BCE.又∵AB＝BC，AD＝CE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∠EBC＝∠ABD.图1－2∵∠ABD＋∠DBC＝60°，∴∠EBC＋∠DBC＝60°，∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AD＋CD.（2）类比探究如图2，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接AC，BD，BC是☉O的直径，AB＝AC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.

图2－1

解：（3）BD的长为7.类型2

结论开放型2.（2023·洪江模拟）如图，四边形ABCD是正方形，CD＝4，点E是AB延长线上的一点，M是线段AB上一动点（不与点A，B重合），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N.（1）如图1，求证：MD＝MN；（1）证明：如图1－1，在AD上取AH＝AM，连接HM.解：∵AD＝AB，AH＝AM，∴HD＝MB，∠AHM＝∠AMH＝45°，∴∠DHM＝180°－45°＝135°.∵NB平分∠CBE，∴∠NBE＝45°，∴∠NBM＝180°－45°＝135°，∴∠DHM＝∠NBM.∵∠DMN＝90°，∴∠DMA＋∠NMB＝90°.∵∠HDM＋∠DMA＝90°，∴∠HDM＝∠NMB，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴MD＝MN.（2）如图2，若BM＝1，在AD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求AP的长；（2）如图2－1，过点N作NK⊥AB交AB的延长线于点K，NJ⊥BC于点J.由题意，知AM＝3.∵∠DMN＝90°，NK⊥AB，∴∠DMA＋∠NMK＝90°，∠NMK＋∠MNK＝90°，∴∠DMA＝∠MNK.∵∠DAM＝∠MKN，DM＝MN，∴△DMA≌△MNK（AAS），∴NK＝AM＝3.易证四边形BKNJ为正方形，∴JN＝BJ＝NK＝3.∵四边形MNCP是平行四边形，∴易得△CJN≌△PAM，∴AP＝CJ＝4－3＝1.（3）如图3，连接DN交BC于点F，将△DFC绕点D顺时针方向旋转90°得△DGA，连接FM.以下两个结论：①FM为定值；②MN平分∠FMB.其中只有一个结论是正确的，选择正确结论并加以证明.（3）结论②是正确的.证明如下：由旋转的性质，得△DGA≌△DFC，∴GD＝DF，∠GDA＝∠CDF.∵∠MDN＝45°，∴∠CDF＋∠ADM＝45°，∴∠GDA＋∠ADM＝45°，