2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.3 因式分解 能力培优训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.3因式分解能力培优训练(含答案)14.3因式分解专题一因式分解1．下列分解因式正确的是（）A．3x2－6x=x(x－6)B．－a2+b2=(b+a)(b－a)C．4x2－y2=(4x－y)(4x+y)D．4x2－2xy+y2=(2x－y)22．分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．专题二在实数范围内分解因式4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在实数范围内分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．专题三因式分解的应用7．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（） A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．状元笔记【知识要点】1．因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．【温馨提示】1．分解因式的对象必须是多项式，如把分解成就不是分解因式，因为不是多项式．2．分解因式的结果必须是积的形式，如就不是分解因式，因为结果不是积的形式．【方法技巧】1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如．2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．参考答案1．B解析：A中，3x2－6x=3x(x－2)，故A错误；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正确；C中，4x2－y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C错误；D中，4x2－2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误．综上所述，选B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2+2)(x+)(x－)解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2+2)(x+)(x－)．5．解：(1)3x2－16=(x+4)(x－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)2=(x+)2(x－)2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－2)=x(x+)(x－)；(2)x4－6x2+9=(x2－3)2=(x+)2(x－)2．7．B解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故选B．8．2013解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2)答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．14.3因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y答案：C点拨：A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解．2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3 D．3a2b2答案：D点拨：在多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D.3．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2＝6xy(2x－3y－4x2y2)；(2)5x2－15x＋5＝5(x2－3x＋1)；(3)－27a2b＋9ab2－18ab＝－9ab(3a－b＋2)；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.6．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．7．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．【例6】把下列各式分解因式：(1)18x2y－50y3；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.解：(1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)＝2y(3x＋5y)(3x－5y)；(2)ax3y＋axy3－2ax2y2＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.【例7】下列各式能用完全平方公式分解因式的是()．①4x2－4xy－y2；②x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(1,25)；③－1－a－eq\f(a2,4)；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y2前面是“－”号，不能用完全平方公式分解．⑤中中间项有a、b的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．答案：C8．运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力和实践能力．这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．【例8】如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2＋4ab＋3b2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．图(1)图(2)解：因为拼成一个面积等于a2＋4ab＋3b2的大长方形，就要用一个边长为a的正方形、3个边长为b的正方形和4个边长分别为a，b的长方形，可以拼成如图(2)所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a＋b)和(a＋3b)．由面积可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．§14.3.1提公因式法一.精心选一选1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）。A.(x+3)(x－3)=x²－9B.x²+1=x(x+eq\f(1,x))C.3x²－3x+1=3x(x－1)+1D.a²－2ab+b²=(a－b)²2多项式－6a²b+18a²b³x+24ab2y的公因式是（)A.mx+my和x+yB.3a(x+y)和2y+2xC.3a－3b和6（b－a)D.－2a－2b和a²－ab4.下列各多项式因式分解错误的是（）A.(a－b)³－(b－a)=（a－b)2(a－b－1)B.x(a－b－c)－y(b+c－a)=(a－b－c)(x+y)C.P(m－n)3－Pq(n－m)3=P(m－n)3(1+q)D.(a－2b)(7a+b)－2(2b－a)2=(a－2b)(5a+5b)5.将多项式（3a－4b)(7a－8b)－(11a－12b)(8b－7a)分解因式正确的结果是（）A.8(7a－8b)(a－b)B.2(7a－8b)²C.8(7a－8b)(b－a)D.－2(7a－8b)²6已知多项式3x²－mx+n分解因是的结果为(3x+2)(x－1)，则m,n的值分别为（）A.m=1n=－2B.m－1n=－2Cm=2n=－2D.m=－2n=－27.多项式（m+1）(m－1)+（m－1）提取公因式（m－1）后，另一个因式为（）A.m+1B.2mC.2D.m+28.a是有理数，则整式a²（a²－2）－2a²+4的值（）A.不是负数B.恒为正数C.恒为负数D.不等于0

二.细心填一填9.分解因式3x(x－2)－(2－x)=10.利用因式分解计算：3.68×15.7－31.4+15.7×0.32=11.分解因式：（x+y)²－x－y=12.已知a+b=9ab=7则a²b+ab²=13.观察下列各式：①abx－adx②2x²y+6xy²③8m³－4m²+1④(p+q)x²y－5x²(p+q)+6(p+q)²⑤(x+y)(x－y)－4b(y+x)－4ab其中可以用提取公因式法分解的因式(）。（填序号）14.若xm=5xn=6叫xm－xm+2n=15.不解方程组2x+y=6则7y(x－3y)2－2(3y－x)3=x－3y=116.计算20142－2014×2013+1=17.分解因式－7m(m－n)3+21mn(n－m)2=18.若(2x)n－81=(4x2+9)(2x+3)(2x－3）则n=三、解答题：19.分解因式①－49a2bc－14ab2c+7ab②(2a+b)(2a－3b)－8a(2a+b)试说明817－279－913必能被45整除已知△ABC的三边长a，b，c满足a²－bc－ab+ac=0求证△ABC为等腰三角形22.先化简.在求值:30x²(y+4)－15x(y+4),其中x=2，y=－223.已知：m²=n+2n²=m+2(m≠n)求m³－2mn+n3的值。

参考答案一．1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.D8.A二．9.(x－2)(3x+1)10.31.411.(x+y)(x+y－1)12.6313.①②④14.－17515.316.201517.－7m(m－n)2(m－4n)18.4三．19.①原式=－7ab(7ac+2bc－1)②原式=（2a+b）(2a－3b－8a)=(2a+b)(－6a－3b)=－3(2a+b)220.解：817－279－913=（34）7－（33）9－（32）13=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×45∴817－279－913能被45整除。21.证明：∵a2－bc－ab+ac=0∴(a－b)(a+c)=0∵a,b为△ABC三边∴a+c＞0，则a－b=0,即a=b∴△ABC为等腰三角形22.解：原式=15x(y+4)(2x－1)当x=2,y=－2时原式=15×2×(－2+4)(2×2－1)=18023.解：∵m2=n+2n2=m+2∴m3=mn+2mn3=mn+2n∴m3+n3=2mn+2（m+n）∴m3－2mn+n3=2(m+n)而m2－n2=(n+2)－(m+2)=n－m∵m≠n∴m－n≠0∴m+n=－1∴m3－2mn+n3=－1×2=－214.3.2公式法－运用平方差分解因式一.精心选一选1.下列多项式能用平方差公式分解的因式有（）（1）a2+b2(2)x2－y2(3)－m2+n2(4)－a2b2(5)－a6+4A.2个B.3个C.4个D.5个2下列因式分解正确的是（）A.9a2+4b2=(9a+4b)(9a－4b)B.－s2－t2=(－s+t)(－s－t)C.m2+(－n)2=(m+n)(m－n)D.－9+4y2=(3+2y)(2y－3)3.对于任整数n.多项式（4n+5）2－9都能（）A.被6整除B.被7整除C.被8整除D、被6或8整除4.将多项式xn+3－xn+1分解因式，结果是（）A.xn（x3－x）B.xn(x3－1)C.xn+1(x2－1）D.Xn+1(x+1)（x－1）5.在边长为a的正方形中挖去一个边为b的小正方形（a>b）(如图甲），把余下的部分拼成一个长方形(如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a－b)2=a2－2ab+b2C.a2+b2=(a+b)(a－b)D.(a+2b）(a－b)=a2+ab－2b26.下列分解因式中错误是（）A.a2－1=(a+1)(a－1)B.1－4b2=(1+2b)(1－