2021-2022学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用32第3课时利用导数解决与函数有关的问题学案新人教A版选择性必修2

第3课时利用导数解决与函数有关的问题关键能力·合作学习类型一函数的图象问题(数学运算、逻辑推理)角度1作函数的大致图象【典例】如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．【思路导引】可先求导，判断函数的单调性，进而得出函数的变化趋势．【解析】f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞).由f′(x)＜0得－2＜x＜3，所以函数f(x)的单调递减区间是(－2，3).由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.所以结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)的大致图象如图所示(答案不唯一).当实数a变化时，方程f(x)＝a有几解？【解析】方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，(1)当a＞60或a＜－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．角度2由函数零点求参数值或范围【典例】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同零点，求实数a的取值范围．【思路导引】求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同零点，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．【解析】令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同零点，所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．由已知应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋a>0，,－2＋a<0，))解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2).1．由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点、最值等．2．与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题，确定参数的取值范围．【补偿训练】若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解析】由ax＝x知x＞0，故x·lna－lnx＝0⇒lna＝eq\f(lnx,x)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝eq\f(1,e)，即lna＜eq\f(1,e)，即a＜．画出函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝x的图象(图略)，结合图象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则a＞1.综上可知，实数a的取值范围为(1，).类型二实际生活中的最值问题(数学建模、数学运算)【典例】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．四步内容理解题意条件：①蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．②侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元.结论：(1)求函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性及其最大值．思路探求(1)先求出高h，再求V(r)；(2)先求导，研究函数的单调性，再求最值．书写表达(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3).由h>0，且r>0可得0<r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0，5eq\r(3)).(2)由(1)知V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)(0<r<5eq\r(3))，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5eq\r(3))上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．题后反思解题的关键是由题意列出函数解析式，注意实际意义对自变量的制约，求出定义域后在定义域内讨论函数的最值．1．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义．2．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．1．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．【解析】由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，其速度应定为40.答案：402．某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N＝8300－170M－M2，则该批材料零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．【解析】设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N(M－20)＝－M3－150M2＋11700M则y′＝－3M2－300M令y′＝0得M＝30或M＝－130(舍去)，当M∈(0，30)时，y′＞0，当M∈(30，＋∞)时，y′＜0，因此当M＝30时，y有最大值，ymax＝23000.答案：30230003．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．【解析】(1)设日销售量为eq\f(k,ex)，则eq\f(k,e40)＝10，所以k＝10e40，则日销售量为eq\f(10e40,ex)件．则日利润L(x)＝(x－30－a)eq\f(10e40,ex)＝10e40eq\f(x－30－a,ex).答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40eq\f(x－30－a,ex).(2)L′(x)＝10e40eq\f(31＋a－x,ex).①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，当35＜x＜41时，L′(x)＜0.所以当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5；②当4＜a≤5时，35<a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a.综合上述得L(x)max＝答：当2≤a≤4，每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润L(x)最大，最大值为10e9－a.类型三利用导数研究函数的问题(数学运算、逻辑推理)角度1恒成立问题【典例】已知函数f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)<m恒成立，则实数m的取值范围为________．【思路导引】可先求出f(x)的最大值，再求实数m的取值范围．【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0得，x＝1或x＝－eq\f(2,3).所以当x∈[－1，2]时，f(x)max＝7，因此m>7.答案：m>7将本例中的条件“f(x)<m”变为“f(x)>m”，结果如何？【解析】由上面的解法可知，所以当x∈[－1，2]时，f(x)min＝eq\f(7,2)，因此m<eq\f(7,2).角度2证明问题【典例】已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【证明】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝eq\f(x－1,x)＋lnx－1＝lnx－eq\f(1,x).因为y＝lnx在(0，＋∞)内单调递增，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)内单调递减，所以f′(x)单调递增．又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝eq\f(ln4－1,2)＞0，故存在唯一的x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α.由α>x0>1得eq\f(1,α)＜1＜x0.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)－1))lneq\f(1,α)－eq\f(1,α)－1＝eq\f(f（α）,α)＝0，故eq\f(1,α)是f(x)＝0在(0，x0)上的唯一实根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，即大于函数f(x)值域的上界；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min，即小于函数f(x)值域的下界．1．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(xA.ex1f(x2)＞ex2f(xB.ex1f(x2)＜ex2f(xC.ex1f(x2)＝ex2f(xD.ex1f(x2)与ex2f(x【解析】选A.构造函数g(x)＝eq\f(f（x）,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′（x）－f（x）,ex)＞0，所以函数g(x)单调递增，因为x1＜x2，所以g(x1)＜g(x2)，即eq\f(f（x1）,ex1)＜eq\f(f（x2）,ex2)，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1).2．已知函数f(x)＝eq\f(a,x2)＋2lnx，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】由f(x)＝eq\f(a,x2)＋2lnx得f′(x)＝eq\f(2（x2－a）,x3)，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－eq\r(a)(舍去)或x＝eq\r(a).当0<x<eq\r(a)时，f′(x)<0；当x>eq\r(a)时，f′(x)>0.故x＝eq\r(a)是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(eq\r(a))＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.答案：[e，＋∞)课堂检测·素养达标1．已知函数f(x)＝2x－ln|x|，则f(x)的大致图象为()【解析】选A.当x＜0时，f(x)＝2x－ln(－x)，f′(x)＝2－eq\f(1,－x)·(－1)＝2－eq\f(1,x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，则B，D错误；当x＞0时，f(x)＝2x－lnx，f′(x)＝2－eq\f(1,x)＝eq\f(2x－1,x)，则f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))单调递增，所以A正确．2．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是()A.(－2，2)B．[－2，2)C.(－2，2]D．[－2，2]【解析】选A.令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是()A.[－2，2]B．[0，2]C.[－2，0]D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】选A.方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，所以函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，所以m∈[－2，2].4．(教材二次开发：练习改编)某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为_____