高考数学二轮专题复习与测试专题强化练（八）概率与统计

专题强化练(八)概率与统计1．(2023·汕头龙湖区三模)从属于区间[2，9]的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为()A.eq\f(6,7) B.eq\f(5,7)C.eq\f(9,14) D.eq\f(11,14)解析：区间[2，9]的整数共有8个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有4个；设事件A：从属于区间[2，9]的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，由P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,14)得P(A)＝1－P(A)＝eq\f(11,14).故选D.答案：D2．(2023·广东模拟)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为()A.eq\f(855,857) B.eq\f(857,1000)C.eq\f(171,200) D.eq\f(9,10)解析：根据题意，记事件A1＝放入水果分选机的苹果为大果，事件A2＝放入水果分选机的苹果为小果，记事件B＝水果分选机筛选的苹果为“大果”，P(A1)＝eq\f(9,10)，P(A2)＝eq\f(1,10)，P(B|A1)＝1－5%＝eq\f(19,20)，P(B|A2)＝2%＝eq\f(1,50)，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(9,10)×eq\f(19,20)＋eq\f(1,10)×eq\f(1,50)＝eq\f(857,1000)，则P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝eq\f(9,10)×eq\f(19,20)＝eq\f(855,1000)，故P(A1|B)＝eq\f(P（A1B）,P（B）)＝eq\f(\f(855,1000),\f(857,1000))＝eq\f(855,857).故选A.答案：A3．(2023·佛山模拟)已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)解析：设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A，“第三张为奇数”为事件B，故所求的概率P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3))＝eq\f(1,2).故选C.答案：C4．(2023·广州天河区三模)已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为x1，x2，…，xn，其平均数和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))，s2.记总的样本平均数为eq\o(ω,\s\up6(－))，则eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝()A．s2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2 B．ns2＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2C．s2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2 D．ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2解析：因为样本数据的x1，x2，…，xn的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)xi，方差是s2＝eq\f(1,n)[(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，所以eq\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)＝neq\o(x,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝ns2，所以eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝eq\i\su(i＝1,n,)[(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))]2＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋2eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))＋eq\i\su(i＝1,n,)(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝ns2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))(eq\i\su(i＝1,n,)xi－eq\i\su(i＝1,n,)eq\o(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))(neq\o(x,\s\up6(－))－neq\o(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(ω,\s\up6(－)))2.故选D.答案：D5．(2023·广东一模)如图所示是中国2012—2021年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是()A．2012—2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量C．2012—2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆D．2012—2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差解析：由条形图可知2012－2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，所以选项A正确；由条形图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项B正确；2012－2021年中国汽车出口量由小到大排列为72.3，73，89.7，92，99，104，108，115，121.5，212，因此第60百分位数是eq\f(104＋108,2)＝106，所以选项C正确；由条形图可知2012－2021年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此2012－2021年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项D不正确，故选D.答案：D6．(2023·佛山一模)已知事件A，B，C的概率均不为0，则P(A)＝P(B)的充要条件是()A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)B．P(A∪C)＝P(B∪C)C．P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)D．P(AC)＝P(BC)解析：对于A，因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只能得到P(A∩B)＝0，并不能得到P(A)＝P(B)，故A错误；对于C，因为P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)－P(AB)，P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(B)－P(AB)，又P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－))B)，所以P(A)＝P(B)，故C正确；对于B，因为P(A∪C)＝P(A)＋P(C)－P(A∩C)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(B∩C)，由P(A∪C)＝P(B∪C)，只能得到P(A)－P(A∩C)＝P(B)－P(B∩C)，由于不能确定A，B，C是否相互独立，故无法确定P(A)＝P(B)，故B错误；对于D，由于不能确定A，B，C是否相互独立，若A，B，C相互独立，则P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，则由P(AC)＝P(BC)可得P(A)＝P(B)，故由P(AC)＝P(BC)无法确定P(A)＝P(B)，故D错误；故选C.答案：C7．(2023·佛山顺德区一模)国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件B：该家庭最多有一个男孩；事件C：该家庭最多有一个女孩．则下列说法正确的是()A．事件B与事件C互斥但不对立B．事件A与事件B互斥且对立C．事件B与事件C相互独立D．事件A与事件B相互独立解析：对于A，事件B：该家庭最多有一个男孩，即一个男孩两个女孩或三个女孩，事件C：该家庭最多有一个女孩，即一个女孩两个男孩或三个男孩，不能同时发生，也不能同时不发生，故B与C是互斥且对立事件，故A错误；对于B，因为事件A与事件B能同时发生，所以不是互斥事件，故B错误；对于C，因为P(B)＝P(C)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(BC)＝0，所以P(BC)≠P(B)P(C)，所以B与C不是相互独立事件，故C错误；对于D，由题意可知，P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B独立，故D正确．故选D.答案：D8．(2023·茂名模拟)甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2.若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为()A．0.36 B．0.49C．0.51 D．0.75解析：甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2.甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，由乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，乙至少赢甲一局的概率为：p＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.故选C.答案：C9．(多选题)(2023·广州海珠区校级三模)如图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(单位：辆)，则()A．a的值为0.004B．估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135C．估计这100家销售商新能源汽车销量的80%分位数为212.5D．若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销售在[200，300]内的销售商应抽取5家解析：由频率分布直方图可知，50×0.002＋50×0.003＋50a＋50×0.006＋50×a＋50×0.001＝1，得：a＝0.004，故A正确；(25×0.002＋75×0.003＋125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001)×50＝150，故B错误；设80%百分位数x，易得x∈[200，250)，则50×0.002＋50×0.003＋50×0.004＋50×0.006＋(x－200)×0.004＝0.8，解得：x＝212.5，故C正确；则销量在[200，300]的频率为50×0.004＋50×0.001＝0.25，所以抽取的20家，则销量在[200，300]内的销售商为20×eq\f(1,4)＝5(家)，故D正确．故选ACD.答案：ACD10．(多选题)(2023·佛山一模)中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特．恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数＝eq\f(食物支出金额,总支出金额)×100%”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数解析：对于A，从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A选项正确；对于B，农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%～32%之间，其余年份均大于32%，且2012、2013这两年大于(等于)34%，故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B选项错误；对于C，城镇居民恩格尔系数从小到大排列(所对应的年份)前5位分别为2019、2018、2017、2021、2020，因为10×45%＝4.5，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C选项正确；对于D，由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D选项错误．故选AC.答案：AC11．(多选题)(2023·广州模拟)已知eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是()A．P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1B．P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))|B)＝1C．若A，B互斥，则P(AB)＝P(A)P(B)D．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)解析：对于A，由对立事件定义可知P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，选项A正确；对于B，P(A|B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))|B)＝eq\f(P（AB）＋P（eq\o(A,\s\up6(－))B）,P（B）)＝eq\f(P（B）,P（B）)＝1，选项B正确；对于C，A，B互斥，P(AB)＝0，P(A)>0，P(B)>0，P(AB)≠P(A)P(B)，故选项C错误；对于D，A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝P(A)，故选项D正确．故选ABD.答案：ABD12．(多选题)(2023·广州天河区三模)甲乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为eq\f(1,2).若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)，则()A．P(2)＝eq\f(5,16)B．P(3)＝eq\f(11,16)C．P(n)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(Ceq\o\al(n,2n),22n))D．P(n)的最小值为eq\f(1,4)解析：由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢n＋1局，P(n)＝(eq\f(1,2))2n(Ceq\o\al(n＋1,2n)＋Ceq\o\al(n＋2,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n))，因为Ceq\o\al(0,2n)＋Ceq\o\al(1,2n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n)＋Ceq\o\al(n,2n)＋Ceq\o\al(n＋1,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n)＝22n，所以P(n)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(2,4),22n＋1)，故C正确；P(2)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(2,4),25)＝eq\f(5,16)，故A正确；P(3)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(3,6),27)＝eq\f(11,32)，故B错误；当n＝1时，P(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(Ceq\o\al(1,2),23)＝eq\f(1,4)，由A知P(2)>P(1)，所以P(n)的最大值不是eq\f(1,4)，故D错误．故选AC.答案：AC13．(多选题)(2023·清远清新区模拟)将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则()A．“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为对立事件B．“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥但不对立事件C．甲得到A卡片的概率为eq\f(1,4)D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为eq\f(1,2)解析：将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，对于A，“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥而不对立事件，故A错误；对于B，“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥但不对立事件，故B正确；对于C，甲得到A卡片的概率为P＝eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，故C正确；对于D，甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为P＝eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＋eq\f(1×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故D正确．故选BCD.答案：BCD14．(2023·东莞模拟)