2023年中考数学真题分项汇编专题24 圆的有关位置关系（共45题）（解析版）

专题24因的有关位置关系（45题）

一、单选题

1.（2023•四川眉山・统考中考真题）如图，AB切0。于点B,连接。4交于点C,交于点

D,连接。力，若NO8=25。，则NA的度数为（）

【答案】C

【分析】如图，连接。8,证明乙440=90。，/。。8=25。，可得/4。。=2/川）。=50。，从而可得//4=40。.

VA3切OO于点&

ZABO=90°,

VBD//OA,ZOCD=25°,

:.ZCDB=25°,

・•.NBOC=2NBDC=5U。,

：.乙4=40。；

故选:C.

【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性

质是解本题的关键.

2.12023・重庆•统考中考真题）如图，AC是。的切线，3为切点，连接OAOC.若ZA=30。，AB=2区

8C=3,则OC的长度是（）

o

ABC

A.3B.2GC.V13D.6

【答案】C

【分析】根据切线的性质及正切的定义得到。8=2,再根据勾股定理得到OC=JI5.

【详解】解：连接OB,

•••AC是（。的切线，8为切点，

•••0AJ.4C,

VZA=30°,AB=26

:.在RiOA8中，OB=ABtanZA=2x/3x—=2,

3

,:BC=3,

・•・在孜-O8g，QC=dOB?+BC2=屈,

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键.

3.（2023.重庆•统考中考真题）如图，48为。的直径，直线。。与《。相切于点C,连接AC,若乙48=50。,

则/8AC的度数为（）

2

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得N"O=90°,从而可得NOC4=40。，再根据等腰三角形的

性质即可得.

【详解】解：如图，连接OC,

「直线8与Q相切,

.\OCA.CD,

.•./。6=90。，

ZACD=50°,

.\ZOCA=40°,

.OA=OC,

:.ZBAC=Z(XJA=4QP,

故选:B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.

4.（2023•湖北武汉・统考中考真题）如图，在四边形A8CO中，A人。_L<5,以。为圆心，A。为半

A/?I

径的弧恰好与8c相切，切点为E.若党=2则sinC的值是（）

3

C.

4D-T

【答案】B

【分析】作CEim延长线于“点，连接根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求

解在RtZkDEC和最终得到OE,即可根据正弦函数的定义求解.

【详解】解：如图所示，作延长线于尸点，连接OE,

*：AD±AB,AB//CD,

・•・ZMD=ZADC=ZF=90°,

・•・四边形AOC尸为矩形，AF=DC,AD=FC,

JAB为。的切线，

由题意，跖为。。的切线，

ADEIBC,AB=BE,

・・AB1

•=—,

CD3

・,•设AA=4E=a,CD=3a,CE=x,

则8尸=4尸一A8=C£>—A8=2«,BC=BE+CE=a+x,

在RtADEC中，DE2-CD2CE2-9a2x2，

在RtABFC中，FC2=HC2-BF：=(a+x)2一(2〃『，

•・•DE=DA=FC,

9a2-x2=+x)2-(2a)2,

解得：工=2〃或x=—M（不合题意，舍去）,

CE=2a,

；・DE=JCD2-CE?=也"-=瓜，

DC3a3

故选:B.

【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运

用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键.

4

5.（2023•四川泸州・统考中考真题）如图，在RtaABC中，NC=90。，点。在斜边A8上，以AD为直径的

半圆。与相切于点E,与AC相交于点尸，连接OE.若AC=8,BC=6,则OE的长是（）

8

D.

3

【答案】B

【分析】连接OE,AE,首先根据勾股定理求出〃==]0,然后证明出.ACASBEO,利用

相似三角形的性质得到。石晋四争证明出..小sm利用相似三角形的性质求出由孚

AE,

VZC=9O°,AC=8,BC=6,

•*-AB=VAC2+BC2=10»

•・•以八。为直径的半圆O与BC相切于点E,

：・OE1BC,

•・•ZC=90°,

・•・/C=NOEB=90。,

:.AC//OE,

；・ZA=NEOB,

・•・BCA^.BEO,

.OEOBBEOE\Q-OEBE

••==,即llH=--------=,

ACAB68106

.nr40女尸10

93

10Q

・•.CE=CB-BE=6--=-t

33

AE=VAC2+CE2=IVio,

,:NO£B=90。,

NOED+NDEB=9()。,

,/20DE+Z.EAD=90°,40DE=ZOED,

&AD=NDEB,

又丁=

JDBES-EBA,

・・匹二丝，即产立

AEAB号m10

・•・解得。E=生叵

故选:B.

【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，

解题的关键是熟练掌握以上知识点.

二、填空题

6.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，点A是。外一点，A3,AC分别与8。相切于点8,C,点。

在BQC上，已知NA=50。，则/。的度数是.

【答案】65°

【分析】连接CO,80,根据切线的性质得出NACO=NABO=90。，根据四边形内角和得出NCOB=130。,

根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：如图C0,80,

6

A

1)

VAB,AC分别与CO相切于点B,C,

，ZACO=ZABO=90°,

•/ZA=5O°,

・•・ACOB=36()°-9()°-9()°-5()°=13()°,

,:BC=BC，

・•.ND=L/BOC=65。,

2

故答案为：65°.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得NCO8=130°是解题的关键.

7.12023•黑龙江・统考中考真题)如图，A8是CO的直径，Q4切于点A,尸。交CO于点C,连接3C,

若/8=28。，则NP=

【答案】34

【分析】首先根据等边对等先得到/B=NOCB=28。，然后利用外角的性质得到40C=NB+N0CB=56。,

利用切线的性质得到NQ4P=90°,最后利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：VZi5=28n,OB=OC,

・•・ZB=ZOCB=28°,

AZAOC=ZB+NOCB=56°,

•・・R4切。。于点A,

ZCMP=90°,

・•・Z.P=180°-^OAP-ZAOP=34°.

故答案为：34.

【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

8.12023•湖南•统考中考真题）如图，八。是。的直径，人8是2。的弦，BC与O相切于点3,连接。8,

若ZABC=65。，则/8O。的大小为.

【答案】50°

【分析】证明NQ8C=90。，可得/。8£>=90。-65。=25。，结合08=04,证明NA=NOB4=25。，再利用

三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：:Be与O相切干点8,

:.ZOBC=90°,

<ZABC=65°,

NOBD=90°-65°=25°,

,:OB=OA,

乙4=NQ8A=25。，

，ZBOD=2x25°=50°,

故答案为:500

【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质

是解本题的关犍.

9.12023•山东滨州・统考中考真题）如图，R4/8分别与（O相切于A8两点，且NAQB=56。.若点C是O

上异于点A3的一点，则/AC8的大小为.

【答案】62。或118。

【分析】根据切线的性质得到NP4O=NPBO=90。，根据四边形内角和为360。，得出/AOB,然后根据圆

周角定埋即可求解.

8

【详解】解：如图所示，连接AC8C,当点C在优弧A8上时，

・・•PAPB分别与〔O相切于AB两点

・•・"AO=々50=90°,

•・•ZAPB=56°.

Z4OB=360°-90°-90°-56°=124°

AB=AB

，ZAC£?=-ZAOB=62°,

2

当点。'在48上时，

•・•四边形ACBC是圆内接四边形，

・•・ZC=18O°-ZC=118°,

故答案为：62。或118。.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题

的关键.

10.（2023•浙江宁波・统考中考真题）如图，在中，ZC=90°,七为A8边上一点，以AE为直径的

半限IO与BC相切于点。，连接人。，BE=3、BD=3«.p是八8边上的动点，当为等腰三角形时,

人尸的长为_____________

【答案】2月或6

【分析】连接。。，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD的长，勾股定理求出AC和AO的

长，分4P=AD和"二尸。两种情况进行求解即可.

【详解】解:连接O。，

H

,/以AE为直径的半圆0与相切于点。，

：・ODA.BC,OA=OE=OD,

・\NOO6=90°

设O4=OE=OD=r,则。3=QE+8E=3+r,

在RtZ\ODA中：OD2+BD2=OB\即：r+（3>/5）：=（3+r）2,

解得：r=6,

OA=OE=OD=6,

:.OB=9»AB=15,AE=12,

YNC=NODB=90。,

:.OD//AC,

,OBDB93

••==-=一,

OADC62

,/DB=35

・•・CD=2亚,

BC=DB+CD=5>/5,

：•AC7AB—BC2=10,

・•・AD=XIAC2+CD2=2X/30；

•・•△4»为等腰三角形，

当AD=AP时，AP=2回，

当期时，

•：OA=OD,

...点产与点。重合，

/.AP=OA=6,

10

不存在PD=AD的情况；

综上：的长为2回或6.

故答案为：2而或6.

【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义.熟练掌握切线的性

质，等腰三角形的定义，确定点尸的位置，是解题的关键.

11.（2023・河南•统考中考真题）如图，必与0。相切于点A,PO交GO于点B,点C在小上，且C8=C4.若

【答案】y

【分析】连接OC，证明,Q4C会。8C,设C8=C4=x,则PC二一C4=12-x,再证明，244PBC,

列出比例式计算即可.

【详解】如图，连接OC,

•・•力与,。相切于点A,

A

OA=OB

♦:,CA=CB,

oc=oc

・•・OAC^OBC,

・•・NOAC=NOBC=90。,

NPAO=NPBC=90。,

,/ZP=ZP,

PAO^PBC,

.POAO

PCBC

V0A=5,PA=\2,

-**PO=J52+。=13,

设CB=C4=x,贝IJPC=E—C4=12—x,

.135

12-xx

解得x=¥，

故C4的长为与，

故答案为：学.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练

掌握性质是解题的关键.

12.（2023•湖北•统考中考真题）如图，在二43c中，ZACB=70°，AABC的内切圆O与AB8。分别相切

于点。，E,连接OEAO的延长线交OE于点尸，则4W7）=.

【答案】35°

【分析】如图所示，连接OEOD,OB,设08、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出

408=125。，再由切线长定理得到进而推出OB是。石的垂直平分线，即/。”产=90。，则

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

12

【详解】解：如图所示，连接OEOD,OB,设08、DE交于H,

。是ABC的内切圆，

A0A.08分别是/C4B、NC84的角平分线，

••・N0A8」NC48NOBA’/CBA,

22

•；乙4c8=70。，

，ZC4B+/CBA=1800-4cB=110°,

・•・/048+/OBA=-/CBA+-ZCAB=55°,

22

・•・乙AOB=180°-ZOAB-NOBA=125°,

()0hiAB,BC分别相切于点O，E，

:.BD=BE,

乂;OD=OE,

・•・OB是OE的垂直平分线，

：・OBtDE,即NO"/7=90。，

・•・ZAFD=ZAOH-/OHF=35°,

故答案为：35。.

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角

形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

13.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在RtZXABC中，4cA=90。,4c=8,8。=6.以点。为圆心，「为

半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，/•的值为

B

【答案】y

【分析】根据勾股定理，得人8=病不=1（），根据切线的性质，得到圆的半径等于人A边上的高，根据直

角三角形的面积不变性计算即可.

【详解】VZACB=90°,AC=8,5C=6,

・•・AB=^82+62=10»

根据切线的性质，得到圆的半径等于A8边上的高，

：.-ABxr=-ACxBC,

22

.ACxBC8x624

..r=-------------=-------=—,

AB105

24

故答案为：—.

【点睛】本题考杳了勾股定理，切线的性质，熟练掌提勾股东理，切线的性质是解撅的关键.

14.（2023•山东烟台•统考中考真题）如图，在直角坐标系中，，4与x轴相切于点仇C3为A的宜径，点C

在函数），=々4>0/>0）的图象上，。为》轴上一点，-48的面积为6,则攵的值为.

X

【答案】24

【分析］设则OB=",AC=A,则AC=：8C=与，根据三角形的面积公式得出

Ia）a22a

Sg,=；AC・O8=6，列出方程求解即可•

【详解】解：设c（a，：），

•・•0A与x轴相切于点3,

・•・8C_Lx轴，

・•・。8=氏AC=V，则点D到AC的距离为“，

a

•・・C8为；，A的直径，

14

・•・AC=-BC=—,

22a

.ock_k

••SACD=-=7=6

22a4

解得：攵=24,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径

外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征.

15.（2023・四川•统考中考真题）如图，ZACB=45°,半径为2的GO与角的两边相切，点，是上任意

一点,过点尸向角的两边作垂线，垂足分别为E,扛设f=PE+&PF，则/的取值范围是.

【答案】2N/2</<2X/2+4

【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得CO=D〃=2夜+2,再求得，=PE+PQ=EQ，

分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：设。与NAC3两边的切点分别为力、G,连接OG、。。，延长。。交C8于点从

•・•ZACB=45°,

/.NO”C=45。，

0”=&0G=2&，

:,CD=DH=2丘+2,

如图，延长EP交C8于点Q,

A

同理PQ=&P尸，

•：[=PE+4iPF，

t—PE+PQ—EQ,

当EQ与（O相切时，£Q有最大或最小值，

连接OP,

:。、E都是切点，

・•・NODE=NDEP=/OPE=90°,

・•・四边形斡是矩形，

•：OD=OP，

・•・四边形OOEP是正方形，

・•・/的最大值为£Q=CE=CO+OE=2x/5+4；

如图，

综上，/的取值范围是2&KY2我+4.

故答案为：2&KY2&+4.

【点睛】本题考查/切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得“EQ是解题的关键.

16.（2U23・湖南岳阳•统考中考真题）如图，在0。中，AA为直径，8。为弦，点C为30的中力、，以也C'为

16

切点的切线与A5的延长线交于点E.

⑵若等《则亲——•

【答案】2兀；1

【分析】（I）连接0c。。，根据点。为3。的中点，根据已知条件得出NBO/）=120。，然后根据弧长公式

即可求解；

（2）连接OC,根据垂径定理的推论得匣OCJLBD,EC；罡O的切线，则OC'_LEC,得出EC〃8。，根据

PB1

平行线分线段成比例得出瓦=屋设吁火则叱6小勾股定理求得ECJ进而即可求解.

▼【详解】解：（1）如图，连接OCOQ,

EC

丁点。为8。的中点，

・・•BC=CD，

又；ZA=30°,

・・•Z.BOC=NCOD=2Z4=60°，

:.N4OD=120。，

••・AB=6,

・・•OB=』A3=3,

2

-I=—X7tx3=27r.

故答案为：2兀.

(2)解：如图，连接0C,

.•点。为80的中点，

***BC=CD，

・•・0C1BD,

,：比是。。的切线，

，0C1EC,

:.EC//BD

•CFEB

••春一丽’

・・CF1

•=一,

AF3

.EB1

••=一，

AB3

设EB=2a,则AB-6a,BO=3。,EO=EB+BO=5a,

,,EC=VECf—CO1=V52—32ci—4a»AE=2a+6a=8a，

.CE4a1

••-------——.

AESa2

故答案为：y.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，

综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

17.(2023・上海•统考中考真题)在二45c中A〃=7,8C=3,/C=90。，点。在边AC上，点E在6延长线

上，且8=。石，如果过点A,0E过点。，若B与OE有公共点，那么LE半径r的取值范围是.

【答案】Vio<r<2Vio

【分析】先画出图形，连接跖，利用勾股定理可得8£=j9+4/，AC=2x/l0,从而可得JTS<rK2何,

再根据与1归有公共点可得一个关于「的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：由题意画出图形如卜.：连接班;，

18

E

.)8过点A,且AB=7,

二•e8的半径为7,

史过点。，它的半径为，且CD=DE,

:.CE=CD+DE=2r,

BC=3,NC=90。，

:.BE^BC+CE?=：9+4>,AC7ABi-BC?=2而，

。在边AC上，点上在。延长线上,

CD<ACr<2V10

,即

CE>AC2r>2V10'

.•而C「42加,

B与。石有公共点，

79+4r2<7+r®

AB-DE<BE<AB+DE,即〈

7-r<x/9+4r2®

不等式①可化为3——14-40WO，

20

解方程3r-14-40=0得：r=-2Hltr=y.

画出函数丁=3，-14「-40的大致图象如下:

y

o20X

3

由函数图象可知，当）TO时，-2<r<y,

70

即不等式①的解集为-2«七三，

20

同理可得：不等式②的解集为/*22或「4-丁，

则不等式组的解集为2W种20，

X-V10<r<2>/i（）,

半径厂的取值范围是屈<r<2V10，

故答案为：Vio<r<2>/io.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立

不等式组是解题关键.

三、解答题

18.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，A8是的直径，C是。上一点，过点C作O的切线C。,

交A8的延长线于点O,过点A作AEJ.CD于点E.

20

(1)若N"C=25。，求NACO的度数.

(2)若08=2,80=1,求CE的长.

【答案】(1)115。

(2)CE=|>/5

【分析】(1)根据三角形的外角的性质，44Cr>=NAEC+NE4C即可求解.

(2)根据CD是］。的切线，可得N(7CD=90",在R【ZXO8中.勾股定理求得S>=6，根据OC〃AE,

可得名=丝，进而即可求解•

CEOA

【详解】(1)解：lAELCD于点E,

・•・ZAEC=90°,

・•.ZACD=ZAEC+ZE4C=90°+25°=115°.

(2);。。是O的切线，。。是1O的半径,

ZOCD=90°.

在RtZXOC。中,

•・•0C=OB=2,0D=OB+BD=3,

•**CD=^ODT-OC2=石•

ZOCD=Z4EC=90°,

:.OC//AE

.•总=吗即

CEOACE2

：.CE=-yf5.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

19.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，。是/WC的外接圆，AO是：0的直径，”是A。延长线

上一点，连接CD3,且NOCF=NC4O.

⑴求证：CF是。。的切线；

3

（2）若直径AO=10,cos8=—,求尸。的长.

5

【答案】（1）详见解析

c90

⑵彳

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；

⑵根据已知条件可知-/C4用C,再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段

FQ的长度.

【详解】（1）证明：连接0C，

•••A。是。。的直径，

JZACD=90°,

Z4DC+ZC4D=90°,

乂'：OC=OD,

：,AADC=ZOCD,

又；NDCF=/CAD,

JZDCF+ZOCD=90°,

即OC_LRT,

・・・广。是。的切线；

(2)解：V=Z4DC,cos^=p

22

cosZ.ADC=—,

5

3CD

■:在RAS中，cosZADC=-=—,AD=10,

5AD

3

CD=ADcosZADC=10x1=6,

•**AC=ylAD2-CD2=8*

.CD3

••,

AC4

♦:乙FCD=/FAC,ZF=ZF,

，一FCnFAC,

.CDFC_FD3

**AC-E4-7c-4,

设F£)=3x,则fT=4x,AF=3x+l(),

又•：FC2=FI)FA,

即(4X)2=3X(3X+I0),

30

解得x(取正值)，

・•・FD=3x吟,

【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切

的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键.

2().(2023•江西・统考中考真题)如图，在中，人5=4,ZC=64°,以A8为直径的O与AC相交于

点D,E为ABO上一点，且/包七二位.

(1)求8£的长；

(2)若/七4。=76。，求证：C8为的切线.

【答案】(】)与乃

(2)见解析

【分析】(1)如图所示，连接0E,先求出OE=O8=Q4=2,再由圆周角定理得到NAQE=2NAOE=80。,

进而求出NBOE=l(X)°,再根据弧长公式进行求解即可；

(2)如图所示，连接先由三角形内角和定理得到NA£D=64。，则由圆周角定理可得

ZABD=ZAED=64°,再由84是《O的直径，得到/4。8=90。，进而求事/84C=26。，进一步推出

48c=90。，由此即可证明8c是《。的切线.

【详解】(1)解：如图所示，连接OE，

:A8是。的直径，且A8=4，

：,OE=OB=OA=2,

为ABD上一点，KZADE=40P,

・•・ZAOE=2ZADE=80°,

・\ABOE=180°-Z/1OE=100°,

（2）证明：如图所示，连接8。，

,/Z.EAD=76°,ZADE-40。，

・•・ZAED=1800-ZEAD-ZADE=64°,

:./ABD=ZAED=64°,

•「AB是。的直径，

・•・ZADB=90°,

・•・NBAC=90°-ZABD=26°,

,/ZC=64",

・•・ZABC=1800-ZC-ABAC=90。，即ABIBC.

•・・。8是O的半径，

・•・BC是（。的切线.

24

E.

B

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是

解题的关键.

21.（2023.江苏连云港.统考中考真题）如图，在》8。中，AI3=AC,以A3为直径的0。交边AC于点O,

连接4。，过点C作。上〃48.

（1）清用无刻度的直尺和圆规作图：过点4作。的切线，交CE于点尸；（不写作法，保留作图痕迹，标明

字母）

⑵在（I）的条件下，求证：BD=BF.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据尺规作图，过点A作A8的垂线，交CE于点F,即可求解；

（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明N8OC=/3"C,根据平行线的性质以及等

腰三角形的性质得出8CD=N8b,进而证明.B6&BCF（AAS）,即可得证.

【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示.

E

(2)VAB=AC,

ZABC=ZACB.

又・・・CE〃A8,

・•・ZABC=ZBCF,

・•・ZBCF=ZACB.

•・•点。在以AB为直径的圆上,

/.ZAO8=90。，

/.ZBDC=90°.

又・・・M为。。的切线，

・•・ZABF=90°.

'：CE//AB,

・•・ZBFC+Z4BF=I80°,

・•・ZBFC=90°,

/BDC=NBFC.

:在△BCD和△8C7?中，

/BCD=NBCF、

NBDC=NBFC,

BC=BC,

・•・3C£>93b(AAS).

JBD=BF.

【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

22.(2023•辽宁•统考中考真题)如图，八3是〈O的直径，点C,E在O上，N63=2NE4氏点F在线段A4

的延长线上，且NAFE=ZABC.

(I)求证：EF与O相切；

4

(2)若3b=l,sin/A/^=m，求8c的长.

26

【答案】（1）见解析

（2）«C=y

【分析】（1）利用圆周角定理得到NEO8=2/E4B,结合已知推出=,再证明△0FESZV1BC,

推出NOE/=NC=90。，即可证明结论成立；

（2）设：。半径为心则O/=4+1,在RIZX。所中，利用正弦函数求得半径的长，再在RlAABC中，解

直角三角形即可求解.

【详解】（1）证明：连接0E,

'：BE=BE，工/EOB=2/EAB,

,：ZC4B=2ZE4B,

:.KAB=NEOR,

IA8是OO的直径,

・•・ZC=90°,

,?ZAFE=ZABC,

・•・MOFES4ABC,

・•・ZOEF=ZC=90°,

•••。£：为（O半径，

・・・E尸与QO相切;

（2）解：设O半径为x,则OF=x+l,

4

VZAFE=ZABC,sinZAFE=~,

4

/.sinZ.ABC=—,

4

在Rt^OE/中，ZOEF=90°,sinZAFE=-,

・・・丝，，即上,，

OF5x+15

解得x=4,

经检验，x=4是所列方程的解,

・•・。半径为4,则AC=8,

4

在Rt2\A8C中，ZC=90°,sinZABC=-,A8=8,

32

AC=ABsinZABC=—,

5

।----------------74

・•・BC=yjAB2-AC2

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，

熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关铤.

23.（2023.山东东营•统考中考真题）如图，在人BC中，AB=AC,以A8为直径的O交BC于点、D,DE1AC,

垂足为E.

（2）若NC=30。，CD=2上,求BO的长.

【答案】（1）见解析

.4

（2）§乃

【分析】（1）如图：OD,然后根据等边对等角可得ZB=ZODB、NB=NC即NODB=ZC,再根据OD//AC

可得NO£>£=/DEC,进而得到ZODE=900即可证明结论：

（2）如图：连接A。，有圆周角定理可得4O/8C,再解宜角三角形可得AC=4,进而得到

OB=2A8=：AC=2,然后说明NBQ£>=120。，最后根据弧长公式即可解答.

22

【详解】（1）证明：如图：连接。。

V()B=OD,

28

:.4=/0DB,

*/AB=AC,

・•・ZB=NC,

:./ODB=NC,

：,OD//AC,

・•./ODE=NDEC0

'：DEJ.AC,

ZDEC=9(r,

・•・NODE=90。，

•・・。。是。的半径，

，DE是O的切线.

(2)解：加图：连接入D

:A8是O的直径,

:.AD1BC,

在RlADC4«,ZC=30°,CD=28,

cos30°=—

AC

:.AC=4,

：.OB=-AB=-AC=2,

22

,/ZC=30°,

/B=NODB=30。,

Z«OD=120°,

.,120x^x2=4

••/0八=—兀.

BD1803

【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活

运用相关知识是解答本题的关键.

24.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，AA是的直径，。是G。上一点过点C作CD_LA8于点E,

交CO于点。，点尸是48延长线上一点，连接CT,AD,/FCD=2NDAF.

⑴求证：CF是。切线;

?

（2）若AF=10,sinF=-,求C。的长.

【答案】（】）见解析

⑵在

3

【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出NCO8=2ND4F,利用已知条件进行等量转换即可求出

4C0B=/FCD,最后利用C0_LA3可证明NR7D+NOCE=90°,从而证明CF是O切线.

（2）根据互余的两个角相等，利用sin/2可求出CmF=O斐F=2[,设参数表示出OE和。C,再根据勾股

3CFOC3

定理用参数表示出CE和所，最后利用A/：=10即可求出参数的值，从而求出CE长度，即可求8的长.

【详解】（1）解：连接OC,OD,如图所示，

CDA.AB,A8为（。的直径,

BC=BD，

:.NC()B=/BOD,

二NBOD=2/DAF,

NCOB=2NDAF,

.NFCD=2/DAF,

:.NC0B=4FCD,

CDLAB,

:.ZCOB+ZOCE=90°,

:.ZFCD+ZOCE=90°,

30

:.OCLCF,

.•.。尸是1。切线.

（2）解：连接OC,如图所示,

rtl(1)得，OCA.CF,

CE1AB,

NOCF=NCEF=期,

:.NF=NOCE.

口2

sinr=—,

3

CEOE_2

'~CF~~OC~3'

设。E=2x则OC=OA=3x,

・•・在RtOCE中，CE=VOC2-OE2=V9x2-4x2=45.x»

.AF=10,

/.AF=AO+OE+EF=3x+2x+2-x=10,

4

：.x=—,

3

/.CE=x/5x=.

.CELAB,

:.CE=ED=-CD.

2

,d.

3

故答案为：坞.

3

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于

利用参数表达线段长度.

25.（2023・湖南常德・统考中考真题）如图，四边形A8CO是O的内接四边形，人4是直径，C是80的中

点，过点。作CE_LAO交八。的延长线于点E.

（2）若8C=6,AC=8,求。旦。后的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）EC=y,DE=y

【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，

（2）先由“直径所对的圆周角是直角"，证ABC是直角三角形，用勾股定理求出AB长，再通过三角形相似

即可求解.

【详解】（1）连接OC

•・・C为60的中点，

-CD=BCf

・•・Z1=Z2,

又；办=",

32

・・・/2=/3,

/.Z1=Z3,

・\AE//OC.

又1,CE_LAE,

：.CE±OC,0c为半径，

・・.CE为，。的切线，

(2);A3为，：O直径，

・•・ZACB=90°,

BC-6,AC-8,

；・AB=10,

又：N1=N2,ZA£C=ZACB=90°,

・•・AECsACB,

.ECACEC8

..-----=------,BMJn------=一,

CBAB610

-”24

..EC=一,

5

,:CD=CB，

:.CD=BC=6,

在RtZkDEC中，由勾股定理得：

DE=dCD2—CE?=/2一传、=£.

【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

相美性质与判定是解题的关键.

26.(2023•内蒙古通辽•统考中考真题)如图，人B为。的直径，。，E是上的两点，延长A4至点C,

连接CD,&DC=ZA,

(1)求证：AACAADCB；

(2)求证：CD是。的切线;

3

(3)若tanE=]AC=10,求的半径.

5

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)30的半径为3.2

【分析】(1)利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；

(2)连接OO,由圆周角定理得出408=90。，证出OOJ_C乃，由切线的判定可得出结论；

(3)由相似三角形的性质得出段=2=当=3,由比例线段求出C。和的长，可求出A8的长，则

ACCDDA5

可得出答案.

【详解】(1)证明：VZACD=ZDCB,NBDC=ZA,

・•・/CWDCBx

・•・ZAD5=90°,

:.ZA+ZABD=90°,

OB=OD,

:.ZABD=N0DB,

'：ZBDC=ZA,

/BDC+N8B=90°,

；・Z0DC=90°,

：・0DICD,

•・・。。是。的半径，

・,.CO是。的切线；

3

(3)解：VZA£)B=90°,tanE=-,N4=H

34

.BD3

・・---=—，

AD5

•：_ACD^DCB,

.CDBCBD3

••--=---=---=一,

ACCDDA5

•・•AC=10,

ig

/.CD=6,BC=——=3.6,

5

/.AB=/\C-BC=10-3.6=6.4.

:.OO的半径为3.2.

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题

目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

27.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点。，A,8均在格点上，。4=3,

A/?=2,以。为圆心，04为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线AC,且AC=4（点。在4的上方）；

②连接OC,交CO于点。；

③连接80,与4c交于点£

⑴求证：8D为。的切线；

（2）求AE的长度.

【答案】（1）画图见解析，证明见解析

3

（2）AE=1

（分析］（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到OC=&W+AC2=5,然后证明出,-AOC与。O8（SAS）,

得到NO4C=NOD8=90。，即可证明出BO为。的切线：

（2）首先根据全等三角形的性质得到8O=AC=4,然后证明HIVBAESVBQO,利用相似三角形的性质求

解即可.

：4。是1。的切线,

・・・OA_LAC,

・；0A=3,AC=4,

；・OC=y]OA2+AC2=5,

V0A=3,AB=2,

：,OB=OA+AB=5,

：.OB=OC、

又：8=3=3,ZAOC=NDOB,

・•・_A0&DOB(SAS),

ZOAC=ZODB=90°,

：-ODlBD,

•・•点。在OO上，

:.B。为OO的切线：

(2)•'AOCKDOB,

:.BD=AC=4,

•；ZABE=ZDHO,ZBAE=ZBDO,

NBAE^NBDO,

.AEAB0nAE2

ODBD34

3

・•・解得AE=5.