九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-第05讲反比例函数（9种题型）（原卷版）

第05讲反比例函数（9种题型）【知识梳理】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．四．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．五．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．六．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．七．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．八．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．九．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【考点剖析】一．反比例函数的定义（共2小题）1．（2022秋•包河区期中）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．2．（2022秋•蜀山区校级月考）若函数是反比例函数，则m的值是．二．反比例函数的图象（共2小题）3．（2023•蜀山区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B． C． D．4．（2023•南陵县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．三．反比例函数的性质（共5小题）5．（2023•无为市一模）下列关于反比例函数y＝的描述中，正确的是（）A．图象在第二、四象限 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．点（﹣1，3）在反比例函数的图象上 D．当x＜1时，y＞36．（2022秋•宣城期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是．7．（2022秋•池州期末）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（）A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤28．（2023•合肥一模）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝﹣x2﹣1 D．9．（2023•芜湖模拟）已知函数，（k＞0）．当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则k＝．四．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）10．（2023•雨山区一模）如图，点P为反比例函数y＝上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（）A． B． C． D．11．（2023•南谯区校级一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为．12．（2023•杜集区校级模拟）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共5小题）13．（2022秋•宁国市期末）反比例函数y＝﹣图象经过的点是（）A．（1，12） B．（﹣2，﹣6） C．（3，4） D．（﹣，24）14．（2023•安徽二模）已知两点A（2m，p），B（m，q）都在反比例函数的图象上，则下列结论成立的是（）A．p＝2q B．q＝2p C．p＝m D．q＝2m15．（2023•蚌山区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是．16．（2023•合肥模拟）如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝60°，点B的坐标为（﹣2，0），若反比例函数y＝经过点A．则k＝．​17．（2023•合肥模拟）如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，点B和点D分别在x轴和y轴的正半轴上，点C位于第一象限，其中反比例函数的图象与边CB、CD分别交于点E、F，若AF＝EF且AF⊥EF，则＝．六．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）18．（2022秋•宣州区期末）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是．19．（2023•合肥一模）如图，矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为（1，2）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求矩形ABCD的面积．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题）20．（2023•砀山县二模）若一次函数y＝2x﹣5的图象与反比例函数的图象交于点（1，m），则k的值为（）A．﹣3 B． C． D．321．（2023•花山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图象于点B，若BC＝2OA，则b的值为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．322．（2023•蜀山区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝x的图象交于点A，反比例函数图象上一点B绕原点O逆时针旋转45°至点B'，且AB′＝OB′，如果△OAB′的面积是1，则k＝．23．（2023•全椒县一模）反比例函数与一次函数y＝x+m的图象交于点C（a，1）和点D（b，4），一次函数y＝x+m的图象分别与x，y轴交于点A（﹣5，0）和点B．当x＜0时，不等式的解集为．24．（2023•宣州区三模）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点坐标为（﹣2，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）已知M（m，0），若△ABM的面积为10，求m的值．25．（2023•合肥二模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，4），B（n，﹣1）．（1）求a，b，k的值；（2）观察图形，直接写出不等式的解集；（3）延长BO交反比例函数图形于点P，求△PAO的面积．八．反比例函数的应用（共4小题）26．（2023•舒城县二模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：Pa）与它的受力面积（单位：m2）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（）第1次第2次第3次第4次…受力面积（m2）0.10.20.30.4…压强（Pa）1000500300250…A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次27．（2023•合肥一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A．B． C． D．28．（2023•安徽一模）如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．桌面所受压强p（Pa）100200400800受力面积S（m2）210.50.25（1）根据如表数据，求桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式；（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．29．（2022秋•宣城期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（%）与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”y≥36，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通．（1）求该二次函数的解析式和k的值；（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由．九．反比例函数综合题（共2小题）30．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（5，0），C（﹣3，4），点B在反例函数的图象上，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线相交于B、D两点，且D点的横坐标为﹣1．（1）求一次函数的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）直接写出的解集．31．（2023•蜀山区校级一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）求n和k的值；（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023•定远县校级模拟）已知正比例函数y＝ax与反比例函数的图象交于点A（m，n），则这个函数图象的另一个交点为（）A．（b，a） B．（﹣a，b） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）2．（2023•涡阳县二模）如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数图象，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A． B． C． D．3．（2023•安徽一模）已知一次函数y＝kx+b，反比例函数y＝（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图象的是（）A． B． C． D．4．（2023•亳州模拟）如图，已知点A为反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为1，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．（2023•阜阳三模）如图，点A、C为反比例函数（k≠0）图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为6时，k的值为（）A．﹣16 B．8 C．﹣8 D．﹣126．（2023•芜湖模拟）在反比例函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＝1 D．m≠17．（2023•蜀山区校级模拟）已知，点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数（k＞0）的图象上，则以下结论正确的是（）A．若x1＜x2，则y1＞y2 B．若x1x2＜0，则y1y2＞0 C．若x1+x2＝0，则y1+y2＝0 D．若x1x2＞0且x1＜x2，则y1＜y28．（2023•长丰县模拟）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．9．（2022秋•蜀山区校级期末）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k＝（）A．4 B．6 C．8 D．1010．（2022秋•宣城期末）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，6），D的坐标为（3，2），反比例函数的图象与矩形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．3≤k≤12 B．2≤k≤18 C．3＜k＜12 D．2＜k＜18二．填空题（共8小题）11．（2023•南陵县二模）双曲线经过点（﹣2，3），则k＝．12．（2022秋•蒙城县期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．13．（2022秋•庐阳区校级期中）请你写出一个函数，使得当自变量x＜0时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是．14．（2023•金安区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB＝EF．反比例函数的图象经过点B，则阴影部分面积为．15．（2023•涡阳县二模）如图，点A、B分别是线段OB与反比例函数，交点，其中OA＝2AB，则k的值为．16．（2023•瑶海区校级一模）如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝mx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k的值是．17．（2023•全椒县二模）如图，A为双曲线上一点，B为x轴正半轴上一点，线段AB的中点C恰好在双曲线上，若△OAC的面积为8，则k的值为．18．（2023•黄山二模）如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为．三．解答题（共7小题）19．（2023•萧县一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p（kPa）与气体体积V（mL）满足反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求反比例函数的表达式．（2）当气体体积为60mL时，气体的压强为kPa．（3）若注射器内气体的压强不能超过5