北师大版数学七年级上册章节复习讲义（导图+知识点+新题拔高卷）-第3章《整式及其加减》知识讲练（教师版）

2023-2024学年北师大版数学七年级上册章节知识讲练知识点01:代数式诸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．细节剖析：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．知识点02:整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．细节剖析：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．细节剖析：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．细节剖析：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．知识点03:整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．细节剖析：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．细节剖析：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．知识点04:探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•丰宁县期末）代数式﹣2x的意义可以是（）A．﹣2与x的和 B．﹣2与x的差 C．﹣2与x的积 D．﹣2与x的商解：代数式﹣2x的意义是﹣2与x的积．故选：C．2．（2分）（2022秋•梁山县期末）按如图所示的运算程序，若开始输入x的值为343，则第2022次输出的结果为（）A．7 B．1 C．343 D．49解：第1次输入x＝343≠1，输出49，第2次输入x＝49≠1，输出7，第3次输入x＝7≠1，输出1，第4次输入x＝1，输出7，第5次输入x＝7≠1，输出1，第6次输入x＝1，输出7，按此规律，第2022次输出为7，故选：A．3．（2分）（2022秋•祁阳县期末）下列运算结果正确的是（）A．5x4﹣3x3＝2x B．3mn+4＝7mn C．﹣a2b+b2a＝0 D．2a5+7a5＝9a5解；A、5x4与3x3不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；B、3mn与4不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；C、﹣a2b与b2a不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；D、2a5+7a5＝9a5正确，故选项符合题意．故选：D．4．（2分）（2022秋•东宝区期末）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（）A．3（x+2）+x2 B．x（x+3）+6 C．x2+5 D．（x+3）（x+2）﹣2x解：阴影部分的面积S＝x2+3（2+x）＝x（x+3）+3×2＝（x+3）（x+2）﹣2x，故选：C．5．（2分）（2022秋•海兴县期末）如图，已知用若干个完全一样的“▲”去设计图案，第1个图案中有9个“▲”，第2个图案中有15个“▲”，第3个图案中有21个“▲”，…按此规律排列下去，则第100个图案中“▲”的个数为（）A．609 B．603 C．600 D．597解：第1个图案中有9个“▲”，9＝3×3，第2个图案中有15个“▲”，15＝3×5，第3个图案中有21个“▲”，21＝3×7，…，∴第n个图案中有3（2n+1）＝（6n+3）个，当n＝100时，6n+3＝600+3＝603，故选：B．6．（2分）（2023•巧家县二模）观察下列代数式：1﹣x2，2+x3，3﹣x4，4+x5，……，根据其中的规律可得第2023个式子是（）A．2022﹣x2023 B．2022+x2023 C．2023﹣x2024 D．2023+x2024解：代数式的前项为1，2，3，4，……，n，代数式的后项为﹣x2，+x3，﹣x4，+x5，……（﹣1）nxn+1，第n个式子是代数式是n+（﹣1）nxn+1，第2023个式子是代数式是2023﹣x2024．故选：C．7．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期末）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果a1，b1，c1称为一次操作．下列说法：①若a＝3，b＝﹣1，c＝2，则a1b1c1三个数中最小的数是﹣2；②若a＝x，b＝2，c＝7，且a1b1c1中最大值为11，则x＝6；③合定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果a1b1c1按上述方法再进行一次操作，得到三个结果a2，b2，c2，以此类推，第n次操作的结果是an，bn，cn，则an+bn+cn的值为定值．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：①由a＝3，b＝﹣1，c＝2得，﹣1+2﹣3＝﹣2，3+2﹣（﹣1）＝5，3+（﹣1）﹣2＝0．又﹣2＜0＜6，所以三个数中最小的数是：﹣2，故①正确；②由a＝x，b＝2，c＝7得，x+2﹣7＝x﹣5，2+7﹣x＝9﹣x，x+7﹣2＝x+5．显然x+5＞x﹣5．当x+5＝11时，x＝6，此时9﹣x＝3，符合要求．当9﹣x＝11时，x＝﹣2，此时x+5＝3，符合要求．故②错误．③由题知，第一次操作后的三个结果为：a+b﹣c，b+c﹣a，a+c﹣b．此时：a1+b1+c1＝a+b+c．第二次操作后的结果可表示为：a1+b1﹣c1，b1+c1﹣a1，a1+c1﹣b1，此时：a2+b2+c2＝a1+b1+c1＝a+b+c．……所以an+bn+cn＝an﹣1+bn﹣1+cn﹣1＝…＝a+b+c．故③正确．因此本题正确的个数是：2．故选：C．8．（2分）（2022秋•沧州期末）2022年11月30日，福州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，两个航天员乘组首次实现“太空会师”，这也激发了广大青少年对航天的热爱．为此七年级开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．这个截面的面积可以表示为（）A．2a2+2ab B．2a2+ab C．3a2+2ab D．a2+2ab解：这个截面的面积可以表示为：，故A正确．故选：A．9．（2分）（2022秋•华容区期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（）A．3b﹣2a B．2a﹣b C． D．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：a+y﹣x＝b+x﹣y，即2x﹣2y＝a﹣b，整理得：，则小长方形的长与宽的差是，故选：D．10．（2分）（2023春•藁城区期中）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对（a，b）表示第a排，从左到右第b个数，如（4，3）表示8，则表示60的有序数对是（）A．（11，5） B．（5，11） C．（11，6） D．（6，11）解：根据题意可知，第n排个数为n，总个数为：1+2+3+……+n＝；各排数字总和为：1+2+3+……+n＝；当n＝11时，＝＝66＞60；当n＝10时，＝＝55＜60；∴n＝11，∵11是奇数，∴第11排的数为：56，57，58，59，60，61，62，63，64，65，66，∴60是从左到右第5个数，∴60的有序数对是（11，5）．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•黄渤海新区期中）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是﹣3，则输入x的值是﹣1．​解：设输入的值为x＞0时，根据题意得，﹣3＝+1，整理得，＝﹣4，解得x＝﹣，与x＞0矛盾，舍去；当x＜0时，根据题意得，﹣3＝2x﹣1，整理的2x＝﹣2，解得，x＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（2分）（2023•忻州模拟）如图，这是由相同大小的正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成的，按此规律，则第（n）个图形中圆的个数为3n+1．解：观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；…则第n个图形中圆的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．13．（2分）（2022秋•翠屏区期末）已知：M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5，若2M﹣N的值与a的取值无关，则b的值为7．解：∵M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5，∴2M﹣N＝2（2ab﹣3a+1）﹣（a+3ab﹣5）＝4ab﹣6a+2﹣a﹣3ab+5＝ab﹣7a+7＝（b﹣7）a+7，∵多项式2M﹣N的值与字母a取值无关，∴b﹣7＝0，得b＝7，即b的值是7．故答案为：7．14．（2分）（2023•天河区校级模拟）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第n个数记为an；第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足+＝，则a4＝，a2023＝．解：由题意得：a1＝2，a2＝，a3＝，∵+＝，∴当n＝2时，，即，解得：，当n＝3时，可求得，则这列数为：，…，可看出，分子为2，分母为3n﹣2，∴第n个数为：，∴a2023＝．故答案为：，．15．（2分）（2022秋•澄海区期末）如图，填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得出：a＝10，b＝159．解：第二行第一个数的规律是2n+2，∴a＝10，第一行第二个数的规律是2n，∵7＝2×4﹣1，23＝4×6﹣1，63＝8×8﹣1，∴b＝16×a﹣1＝16×10﹣1＝159，故答案为：10，159．16．（2分）（2023春•怀宁县期末）按一定规律排列的一列数：a、a2、a3、a5、a8、a13、…．若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是xy＝z．解：这列数的底数都是a，指数依次为1，2，3，5，8，13•••，从3开始，每个数都等于前两个数的和，故有a•a2＝a3，a2•a3＝a5，a3•a5＝a8，a5•a8＝a13•••，∵x，y，z表示这列数中的连续三个数，∴xy＝z．17．（2分）（2023春•黑山县期中）将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形中“O”的个数是．解：第1个图形中，1个；第2个图形中，1+2个；第3个图形中，1+2+3个；第4个图形中，1+2+3+4个；……第n个图形中，1+2+3+……+n＝个；故答案为：．18．（2分）（2023•鹤山市校级二模）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91个正方形．解：寻找规律：观察图形发现，第1幅图有1个正方形，第2幅图有1+4＝5个正方形，第3幅图有1+4+9＝14个正方形，……，第n个有：n（n+1）（2n+1）个正方形，则第6幅图有×6（6+1）（2×6+1）＝91（个）正方形．故答案为：91．19．（2分）（2022秋•北京期末）新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价（a+20）元，重（m+2）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，则两个盲盒的总价钱相差20元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费3040元，则a＝67元．解：∵A礼物重m千克，B礼物重（m+2）千克，∴B礼物比A礼物重2千克，∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+20﹣a＝20（元）；由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒，所以小李的盲盒中有1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件A礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物各有10盒，2件B礼物有6盒，∴2×6（a+20）+10×a+10（a+20）+2×4a＝3040，解得a＝65，故答案为：20，65．20．（2分）（2022秋•庐阳区月考）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第1000个数是．解：按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，⋯，观察得到：分母为连续的奇数，后一个分子比前一个分子多3，按此规律，第n个数可表示为：，∴当n＝1000时，，故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•西宁期末）先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣3（a2b+1）﹣2ab2﹣2，其中a＝﹣2，b＝1．解：2（a2b+ab2）﹣3（a2b+1）﹣2ab2﹣2＝2a2b+2ab2﹣3a2b﹣3﹣2ab2﹣2＝﹣a2b﹣5，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝﹣a2b﹣5＝﹣（﹣2）2×1﹣5＝﹣9．22．（6分）（2022秋•海兴县期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2．请你解决下列问题．（1）求整式B；（2）若a为最大的负整数，b为的倒数，求该题的正确值．解：（1）由题意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2，∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2）＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2＝﹣2a2b+ab2；（2）∵A＝3a2b﹣2ab2，B＝﹣2a2b+ab2，2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2）＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2＝8a2b﹣5ab2，∵a为最大的负整数，b为的倒数，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴原式＝8×（﹣1）2×（﹣2）﹣5×（﹣1）×（﹣2）2＝﹣16+20＝4．23．（8分）（2022秋•翠屏区期末）在数轴上，点P、Q分别表示数a、b，则点P、Q之间的距离为线段PQ的长，即PQ＝|a﹣b|．（1）如图，点A、B在以点O为原点的数轴上，点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB＝OA，求点B表示的数；（2）在（1）的条件下，设x＝OA，y＝OB，求代数式6x2﹣7xy﹣2（3x2﹣4xy+3）的值．解：（1）由题意得：OA＝|6|＝6，∵AB＝OA，∴AB＝×6＝9，设点B表示的数为x，∴AB＝6﹣x＝9∴x＝﹣3，∴点B表示的数为﹣3；（2）由题意得：x＝OA＝6，y＝OB＝3，6x2﹣7xy﹣2（3x2﹣4xy+3）＝6x2﹣7xy﹣6x2+8xy﹣6＝2xy﹣6，当x＝OA＝6，y＝OB＝3时，原式＝2×3×6﹣6＝30．24．（8分）（2022秋•仪征市期末）红星商店有甲、乙两种商品，基本信息如下表：商品成本（元/件）数量（件）售价（元/件）甲商品m30a乙商品n40b（1）商家决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则a＝1.4m（用含m的代数式表示），b＝0.7n（用含n的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示商家的利润；（3）若商家将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，请判断商家这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由．解：（1）依题意可知，甲种商品按成本价提高40%后标价出售，售价为：a＝m（1+40%）＝1.4m，乙种商品按成本价的七折出售，售价为：b＝0.7n；故答案为：1.4m，0.7n；（2）将甲、乙商品全部售出利润为：30（1.4m﹣m）+40（0.7n﹣n）＝12m﹣12n（元）；（3）将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，利润为：，当m＞n时，5（m﹣n）＞0，则赚钱；当m＝n时，5（m﹣n）＝0，则不赚不亏；当m＜n时，5（m﹣n）＜0，则亏本；即：若m＞n，则赚钱；若m＝n，则不赚不亏；若m＜n，则亏本．25．（8分）（2023•栾城区校级模拟）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的90%）（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是x（x＞50）人时，用方案一共收费（1500+240x）元；用方案二共收费（270x﹣1350）元；（2）当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由．解：（1）方案一的收费为：（1500+240x）元，方案二收费为：300×0.9（x﹣5）＝270（x﹣5）＝（270x﹣1350）元；（2）把x＝80代入1500+240x＝1500+240×80＝20700（元），把x＝80代入270x﹣1350＝270×80﹣1350＝20250（元），∵20250＜20700，∴方案二省钱；故答案为：（1）（1500+240x）；（270x﹣1350）．26．（8分）（2022秋•西宁期末）[阅读材料]数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5；在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3．…如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．[解决问题]（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离为5；（2）数轴上有理数x与﹣6对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+6|；[拓展探究]（3）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2．①若点P在M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝6；②若|PM|＝2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，直接写出点P表示的数．（1）易得所求为|﹣5﹣（﹣10）|＝5，故答案为5；（2）易得所求为|x﹣（﹣6）|＝|x+6|，故答案为|x+6|，（3）①若点P在M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝|MN|＝4﹣（﹣2）＝6，故答案为6；②设点P表示的数为x，|PM|＝|x﹣4|，|PN|＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵|PM|＝2|PN|，∴|x﹣4|＝2|x+2|，若x＞4，得x﹣4＝2（x+2），即x＝﹣8，舍去，若﹣2≤x≤4，得4﹣x＝2（x+2），即x＝0，若x＜﹣2，得4﹣x＝2（﹣x﹣2），即x＝﹣8，总之，x＝0或﹣8．故答案为0或﹣8．27．（8分）（2022秋•翠屏区期末）某体育用品商场销售某品牌的羽毛球拍和羽毛球，一副羽毛球拍定价150元，一盒羽毛球定价20元．根据市场调查，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．现某校要到该商场购买羽毛球拍20副，羽毛球x盒（x＞20）．（1）用含x的