点的投56课件讲解

点的投影

点的三面投影

点的空间位置

两点的相对位置

点的投影1、

掌握点的投影规律与作图法。2、点的空间位置的判断；3、两点的相对位置；

教学目标

面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素BCDA线

点的投影点P

采用多面投影。点的三面投影

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。a

A

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。Pb

BB2B1解决办法HWV投影面与投影轴OV面与H面的交线—OX轴V面与W面的交线—OZ轴H面与W面的交线—OY轴点的三面的投影YXZΑ—空间点A；a—点A的水平(H)投影;a′—点A的正面(V)投影;a″—点A的侧面(W)投影。点的三面投影空间点的位置和直角坐标空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。

点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z

。投影面展开XVAYOWZaaYaZaXa″a′H面向下旋转90°HW面向右旋转90°WVHYWOXZYHaxaza

ayayaa″V面不动

a

a⊥OX轴;

a

a

⊥OZ轴;

a到OX轴的距离=a

到OZ轴的距离

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A点到V面的距离

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A点到H面的距离

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A点到W面的距离

点的三面投影规律:XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的三面投影图。

作投影轴；

量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点；步骤:OXYWHYZaa''a'aZ15YWaYHa10aX12

过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a′、a″既为所求。●●a

aax例2：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通过作45°线使a

az=aax用圆规直接量取a

az=aax3.1.2点的空间位置1.在空间（X，Y，Z）

点在投影体系中有四种位置情况：点的空间位置XVYOWZH

由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三个投影都不在轴上。aZa″a′aYaXaA点的空间位置

由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）XVYOWZH

在V面上（X，0，Z）

在W面上（0，Y，Z）bBCdb″C″d″Db′d′C′C3.1.3点的相对位置3.1.3两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

x坐标大的在左；

y坐标大的在前；

z坐标大的在上。判断方法：B点在A点的左、下、前方。上下后左右前

当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。两点重影

重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。

两点重影()H面重影，被挡住的投影加()15立体上的重影点EBDCb'edcb"(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e"(d")a"(c")a(b)A用一张A4纸完成下面点的三面投影，并判断点的空间位置。A（10，15，20）B（10，10，0）C（10，0，5）D（0，5，10）E（0，0，15）F（0，15，0）G（10，0，0）H（0，0，0）

直线的投影各种位置直线及其投影特征直线与点的相对位置两直线的相对位置掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的运用。掌握各种位置直线投影特征，作图方法以及在投影图上正确判断其空间位置。

教学目标

掌握两直线相对位置的投影特征及判断方法。

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB真实性直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0积聚性a≡b≡mBAM●●●●直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab＜AB

类似性各种位置直线的投影特征AB●●abα●●abAB●●●●直线中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面直线在三个投影面中的投影特性投影特性：

三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。(1)一般位置直线22形体上一般位置直线的投影分析(2)投影面平行线投影特性：1.水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB;水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。即a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴；3.水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β；与OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。水平线的投影特征：对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行线1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

25形体上平行线的投影分析(3)投影面垂直线投影特性：H面投影积聚成一点；V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即：a′b′⊥ox轴a″b″⊥oz轴。对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。铅垂线投影特征:投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)积聚为点积聚为点积聚为点28形体上垂直线的投影分析例题：判断下列直线的空间位置d′C′dddCAB为水平线CD为侧平线

若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。

若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb

若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：ABVH直线与点的相对位置Cbcac

b

a

e

e在不在C点直线AB上D点直线AB上D例2：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法是因a

k:kb

≠ak:kb

故点K不在AB上。⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。3.2.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。abcda

b

c

d

例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CD①Xcbadd

b

a

c

b

d

c

a

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论:AB与CD不平行例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

2.两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk

交点是两直线的共有点k

kK●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影

平面的投影平面的表示法各种位置平面及其投影特征平面上的直线和点平面的投影2.掌握各种位置平面的投影特征，作图方法以及在投影图上正确判断其空间位置。

教学目标

3.掌握平面上的点、线的作图方法。1.掌握平面的表示方法；S●A●B●A●B●S●A●B●3.3.1平面的表示法●a●a

●b●b

●s●s不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形平面的投影S●A●B●S●A●B●●a●a

●b

●b●s●sC●D●●a●a

●b

●b●s●s●a●a

●b

●bc●●c●d●d●a●a

●b

●b●s●s一用几何元素表示平面PPXY

PW

PZ

PVPHPXZOPXW

PZ

PVPHPYW

PYH

PWYHY

在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。

平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线，用PV表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用PH表示；平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用PW表示。平面与各投影轴的交点(即两迹线的交点)，称为迹线集合点，分别用PX、PY、PZ表示。二用迹线表示平面

二用迹线表示平面

平行垂直倾斜投影特性

平面平行投影面-----投影就把实形现

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性各种位置平面的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面投影特性：H面投影积聚成一直线；β、γ反映平面对V、W面的倾角。V、W面投影为原平面的类似图形。对正垂面和侧垂面作分析，可得出类似的投影特征。铅垂面投影特征:βγ投影面垂直面(垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面)

三种投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面1.在它所垂直的投影面上的投影，积聚为一条与投影轴倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角分别反映了平面与另外两投影面倾角的真实大小；2.其余两面投影为封闭线框，并具有类似性。投影特性:积聚为线积聚为线γβγαβ积聚为线α45形体上垂直面的投影分析投影面垂直面的投影特性：在平面所垂直的投影面上，其投影积聚成一倾斜直线；其余两个投影均为缩小的类似形。投影特性：1.H面投影反映实形；V面投影积聚为直线，且平行于OX轴；

W面投影积聚为直线，且平行于OYW轴。水平面的投影特征：对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特征。

投影面平行面(平行于某一投影面，垂直于另两个投影面)三种投影面平行面1.在它所平行的投影面上的投影反映实形；2.另外两面投影积聚为与相应投影轴平行的直线。水平面侧平面正平面投影特性：实形实形实形48形体上平行面的投影分析投影面平行面的投影特性：在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分别平行于相应的投影轴。投影特性：三面投影均具有类似性。

一般位置平面(与三个投影面都倾斜)50[例]

找出投影图中所标的平面P、Q及直线BC、EF的

三面投影，并判断它们的空间位置。Ｐ面为一般位置平面Ｑ面为正平面直线EF为水平线直线BC为正平线实形实长ABC为什么位置的平面一般位置平面例：判断下列平面的空间位置Q为什么位置的平面正垂面迹线QHQW方向固定，可以省略。ABC为什么位置的平面水平面例：判断下列平面的空间位置EFG为什么位置的平面侧垂面包含侧垂线的平面，为侧垂面。为什么？4.3.3平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

平面上取任意直线平面上的直线和点有无数解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试