中考数学专项复习：全等三角形（解析版）

专题02全等三角形

考H点H聚H焦

»思维导图

全等形

»核心考点聚焦

1、全等图形

2、全等三角形的性质

3、全等三角形的判定方法

4、添加条件使三角形全等

5、全等三角形的应用

6、全等三角形与动点问题

7、角平分线的性质与判定

8、倍长中线模型

9、证明线段和差问题

10、常见的辅助线

一、全等三角形的定义和基本性质

1.基本定义

(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

(3)对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

(4)对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

(5)对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：

(1)图形特征法：

最长边对最长边，最短边对最短边；

最大角对最大角，最小角对最小角.

(2)位置关系法：

①公共角(对顶角)为对应角、公共边为对应边.

②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角.

(3)字母顺序法：

根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角.

3.全等三角形的性质及应用

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；

④全等三角形的周长相等，面积相等.

二、三角形全等的判定方法及思路

1.全等三角形的判定方法：

“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.

“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

“角边角”定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

2.全等三角形的证明思路：

'找夹角-＞SAS

已知两边找直角fHL

找另一边fSSS

一边为角的对边f找任一角fAAS

'找夹角的另一边fSAS

已知一边一角＜

边为角的邻边找夹边的另一角fASA

找边的对角■AAS

'找夹边今ASA

已知两角＜

找一角的对边―AAS

三、角平分线的性质

1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等.

2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角

平分线.

一、全等的几种模型

（1）平移型

二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法

1.倍长中线法

倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或

中点，考虑中线倍长.如图：

已知：在三角形4BC中，。为3c边中点，

辅助线：延长/。到点。使/。=。。，

结论：AAOB^ADOC.

证明：如图，延长40到点。使40=。。，由中点可知，OB=OC,

OA=OD

在和△DOC中，,NAOB=NDOC,：./\AOB^/\DOC.

OB=OC

总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角

决定的.

2.截长或补短(含有线段一关系或求证两线间关系时常用).

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长：在长线

段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分

等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.

基本图形，如下：

在△48C中，N8>/C,4W平分/A4C

(1)在N2上截取(2)把NC延长到点E,使=

»考点剖析

考点一、全等图形

例1.如图1,把大小为4x4的正方形网格分割成了两个全等形.请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分

割方法，把4x4的正方形网格分割成两个全等形.

图1

画法1画法2画法3画法4

图2

【解析】•••要求分成全等的两块，

:.每块图形要包含有8个小正方形.

画法1画法2画法3

考点二、全等三角形的性质

例2.如图，A,E,C三点在同一直线上，且△48C也△D4E.

(2)猜想：当V/DE满足什么条件时。E〃3C?并证明你的猜想.

【解析】(1)解：,；AABC沿乙DAE,

：.BC=AE,AC=DE,

DE=AC=CE+AE=CE+BC；

(2)解：猜想，44助=90。时，DE//BC,

丁AABCmADAE,

・•・/AED=ZBCA,

DE//BC,

：.ZBCE=/DEC,

・・・/DEC=/AED,

又/DEC+ZAED=180。，

・・.ZAED=90°,

・••当V4DE是直角三角形，且//£。=90。时，DE//BC.

考点三、全等三角形的判定方法

例3・如图，点C,E,F,5在同一直线上，点/,。在5。异侧，4B〃CD,AE=DF,ZA=ZD.

(1)请判断45和C。的数量关系，并说明理由;

(2)若AB=CF,25=40°,求/。的度数.

【解析】(1)证明：・・,48〃。。，

・・・ZB=ZC.

在△48£和△QC厂中，

Z=ND

・.・1/5=NC,

AE=DF

：.AABE丝Z\DCF,

：.AB=CD.

(2)解：•・・/\ABE之/\DCF,

AB=CD,BE=CF,/B=/C,

9：4=40。,

ZC=40°.

•・•AB=CF,

CF=CD,

：.ZD=NC77)=；x(180°-40°)=70°.

考点四、添加条件使三角形全等

例4.如图，已知AB〃ED,CD=BF.

(1)现要从如下条件中再添加一个①ZC=E尸；®AB=DE；®ZA=ZE；④。尸=C8得到

△ZBC0AEDF.你添加的条件是：.(填序号)

(2)选择(1)中的一种情况进行证明.

【解析】(1)解：②或③(任选一个填即可)

(2)选择②

证明：•••8=8尸，

:.CD+CF=BF+CF,

DF=CB,

AB//ED，

NB=ND,

AB=DE

・•・在△A8C和AEDF中，ZS=Z£>,

DF=CB

△/3C丝△££>尸(SAS)；

选择③

证明：•・•。=瓦"

:.CD+CF=BF+CF,

DF=CB,

AB//ED，

NB=ND,

Z=ZE

・•・在△Z8C和中，\ZB=ZD,

DF=CB

AABC”丛EDF(AAS).

考点五、全等三角形的应用

例5.如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧

妙，如图②，伞圈。沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的,伞骨AD,

CD的2,C点固定不动，且到点/的距离48=/C.

(1)当。点在伞柄/P上滑动时，处于同一平面的两条伞骨8。和C。相等吗？请说明理由.

⑵如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘跖N与点。在同一直线上，若/R4c=140。，乙磔。=120。，求/。八4

的度数.

【解析】(1)解：相等.理由如下：

'/伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的/3/C,

/./BAD=ZCAD.

在△/助和△/CD中，

'AB=4C

•/]ZBAD=ZCAD,

AD=AD

：.△48。丝△ZCD(SAS).

Z.BD=CD.

(2)解：/A4c=140。，

ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-xl40°=70°.

22

又：/A皿)=120°,

NBDA=ZMBD-/BAD=120°-70°=50°.

AABDdACD,

：.NCDA=ABDA=50°.

考点六、全等三角形与动点问题

例6.如图，已知△Z8C中，ZB=NC,48=8厘米，3c=6厘米，点。为N3的中点，如果点尸在线段

8c上以每秒2厘米的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上以每秒。厘米的速度由。点向/点

运动，设运动时间为，(秒)(0＜，＜3).

A

CPB

(1)用含/的代数式表示PC的长度；

(2)若点尸、。的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与VCQP是否全等,请说明理由；

(3)若点尸、。的运动速度不相等，当点。的运动速度。为多少时，能够使△3PO与VCQP全等?

【解析】(1)解：由题意得：PB=2t,

则PC=6-2，；

(2)解：4CQP经4BPD,理由如下：

当1=1时，由题意得：a=2,PB-CQ=2,

：.PC=6-2=4,

,/ZB=ZC,

AC=AB=8,

•.,。是45的中点，

：.BD=-AB=4,

2

：.BD=PC=4,

在VC0P和△B。。中，

PC=BD

•：\ZC=ZB,

CQ=PB

：.人CQP^A5PZ)(SAS)；

(3)解：・・,点P、0的运动速度不相等，

PB^CQ,

当ABPD与YCQP全等,且N3=NC,

:.BP=PC=3,CQ=BD=4,

♦:BP=2t=3,CQ=at=4,

：.t=-,

2

Q

.•.当时，能够使△5PD与VCQP全等.

考点七、角平分线的性质与判定

例7.如图，画//。3=90。，并画乙402的平分线OC.

（1）将三角尺的直角顶点落在0C的任意一点尸处，使三角尺的两条直角边与44。2的两边分别垂直，垂足分

别为£、尸（如图①），则PE尸尸；（填或“=”）

（2）把三角尺绕着点尸旋转（如图②），两直角边分别与0/、OB交于点E、尸，那么PE与内相等吗？试猜

想PE与PF的大小关系，并说明理由.

【解析】（1）解：：0C平分/PELOA,PF10B,

PE=PF,

故答案为：=;

(2)PE=PF,理由如下：

过尸作于PN103于N,如图②所示:

则NPME=NPNF=90°,

■.■ZAOB=90°,OC平分403,

ZAOC=ZBOC=45°,

ZOPM=AOPN=45°,

ZMPN=90°,

■：ZEPF=90°,

ZMPE=2NPF,

由(1)得，PM=PN,

在4MPE和/\NPF中，

AMPE=NNPF

<PM=PN,

ZPME=ZPNF

：./\MPE^/\NPF(ASA),

PE=PF.

考点八、倍长中线模型

例8.(1)在△48C中，AB=4,AC=6,AD是3。边上的中线，则中线ND长范围为:

(2)如图，在△48C中，/D是3c边上的中线，点E,R分别在48/C上，且DEL。户，求证：

BE+CF>EF.

【解析】(1)如图，延长40至G,使。G=4D,连接3G,

则AG=2AD,

；40是BC边上的中线，

BD=CD,

在△4DC和△G08中，

CD=BD

<ZADC=ZGDB,

AD=GD

:.Z\ADC^Z\GDB(SAS),

/.BG=AC=6,

•••BG-AB<AG<BG+ABf

.•.6-4</G<6+4,即2<4G<10,

:.2<2AD<10,

1<AD<5,

故答案为：1<2。<5；

(2)证明：如图，延长瓦)至以使=连接S,FH,

R

在A3DE和ACDH中，

CD=BD

</BDE=ZCDH,

ED=HD

:./\BDE^ACDH(SAS),

BE=CH,

,;DE1,DF,ED=HD,

EF=HF,

•:CF+CH>FH,

:.CF+BE>EF.

考点九、证明线段和差问题

例9.如图所示，在△4SC,乙4=100。，ZABC=40°fBD平分NABC交AC于点、D,延长至点E,

使瓦)=40,连接CE.求证：BC=AB+CE.

【解析】证明：如图所示，在3C上取一点尸使得时=/5,连接。尸,

/ABC=ZACB=40°,

・・・8。是445。的角平分线,

/ABD=ZFBD=20°,

在和中，

AB=FB

</ABD=/FBD,

BD=BD

・・・AABDQAFBD(SAS),

ZADB=ZFDB,AD=DF,

又•：AD=ED,ZADB=ZEDC,

・•.ZADB=ZFDB=ZCDE=180。—100°-20°=60。，FD=ED,

：.ZFDC=180。—ZADB-ZFDB=60°=ZEDC,

在/中，

ED=FD

<ZCDE=/CDF,

CD=CD

△CDE也△CZXF(SAS),

/.CE=CF,

：.BC=BF+CF=AB+CE.

考点十、常见的辅助线

例10.如图，A45C中，45=4。，在45上取一点£,在4C的延长线上取一点尸，使。尸=5瓦连接交

BC于点D.求证：DE=DF.

【解析】证明：作尸7力745交5C延长线于

H

BD

,:FHIIAB,

:・/FHC=/B,/BED=/HFD.

又，：AB=AC,

：.NB=NACB.

又NACB=/FCH,

：.ZFHC=ZFCH.

：.CF=HF,

又•：BE=CF,

：.HF=BE.

在ADBE和△C中，

'ZB=ZFHC

<BE=HF,

/BED=ZHFD

:.△DBEQdDHF(ASA).

：.DE=DF.

»过关检测

一、选择题

I.如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点。为44'、88'的中点，只要量出

的长度，就可以知道该零件内径的长度.依据的数学基本事实是()

A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

C.三边分别相等的两个三角形全等D.两点之间线段最短

【答案】B

【解析】•••点。为44'、区8'的中点，

：.OA=OA',OB=OB',

由对顶角相等得NAOB=ZA'OB',

在和△HOB'中，

OA=OA

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

.•.△208也△HOB'(SAS),

/.AB=A'B',

即只要量出4"的长度，就可以知道该零件内径的长度，

故选B.

2.如图，△403之△4QC,ZO=ZD=90°,AOAD=70°,当时，则乙450度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】VAAOB^AADC,

:,AB=AC,/BAO=/CAD,

：./ABC=/ACB,

设ZABC=ZACB=x,

BC//OA,

：.ZABC=ABAO=ZCAD=x,ZACB+ZCAO=1SO°f

：.ZACB+ZCAD+ZOAD=180。，

•・,ZOAD=70°,

x+x+70°=180°,

解得：x=55°,

・•.440=55。，

・「4405=90。，

・•.ZABO=90°-55°=35°.

故选A.

3.如图，点A,C,B,。在同一条直线上，已知：CE=DF,ZACE=ZBDF,下列条件中不能判

定下的是

【答案】C

【解析】A、符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△4C£^AaCE,故本选项不符合题意;

B、符合全等三角形的判定定理SAS,能推出4/06二,故本选项不符合题意；

C、不符合全等三角形的判定定理，SSA不能推出9，故本选项符合题意；

D、因为Z£〃89，所以NN=所以符合全等三角形的判定定理AAS,能推出

△ACEdBDF,故本选项不符合题意.

故选C.

4.如图，在△48C中，AC=BC,ZACB=9Q°,AD平分/BAC,BE，4D交NC的延长线于歹，E为

垂足，则结论：①40=8尸；②CF=CD；@AC+CD=AB；@BE=CF；⑤BF=2BE•,其中正确结论

的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】BC=AC,ZACB=90°,

ZCAB=ZABC=45°,

­,­AD平分N2/C,

ZBAE=ZEAF=22.5°,

•••在RtAACDRtZ\BFC中，

ZEAF+ZF=90°,ZFBC+NF=90°,

/LEAF=AFBC,

■：BC=AC,ZEAF=ZFBC,ZBCF=AACD,

/.Rt/XZOC2RtzXBEC,

AD=BF,故①正确.

②①中RtZXADC&Rt△即C,

CF=CD,故②正确.

③・••①中RtA^DC^RtA5FC

:.CF^CD,AC+CD=AC+CF=AF,

ZCBF=ZEAF=22.5°,

...在Rt^4EF中，ZF=90°-Z£4F=67.5°,

ZCAB=45°,

ZABF=180°-ZF-ZCAB=180°-67.5°-45°=67.5°,

..△ABEmAAFE,

AF=AB,

即/C+CD=/8,故③正确.

④由③可知，AF—AB,

易知NCBF=NEAB=22.5°,

若BE=CF,则有△BC/名△4E3,

则有48=2斤，则可得△/台尸为等边三角形，

这与①中的/C48=45。矛盾，故④错误.

⑤由③可知，BE=EF,

:.BF=2BE,故⑤正确.

①②③⑤四项正确，

故选D.

5.如图，在△48C中，/48C和//C8的平分线相交于点。，过点。作所〃BC交48于点交NC

于点汽过点。作0Q1/C于点D.下列四个结论：

①EF=BE+CF；②/30C=90。+；44；③点。到△ZBC各边的距离相等；

④设0。=加，AE+AF=n,则54九尸=；相〃.其中正确的结论有（）

【答案】D

【解析】①•••乙48。和的平分线相交于点O,

2EBO=NCBO,ZBCO=ZFCO,

*/EF//BC,

NCBO=ZEOB,NBCO=ZCOF,

NEBO=NEOB,ZFCO=ACOF,

BE=EO,OF=CF,

:.EF=EO+OF=BE+CF,故①正确；

②；乙4BC和ZACB的平分线相交于点O,

ZOBC+ZOCB=^(ZABC+N/C8)=；(180°-ZA),

\D5OC=180°-(BOSC+DOC5)

=180°-1(180°-zL4)

=90。+：乙4,故②正确；

③；ZABC和ZACB的平分线相交于点O,

二点。是△48C的内心，

•・•点O到AABC各边的距离相等，故③正确;

④连接/。，

.・•点。是△48C的内心，OD=m,AE+AF=n,

：

.S△^4.EFFF=2-AEOD+-2AFOD

=^(AE+AF)-OD

=3”，故④正确；

综上分析可知，正确的有4个.

故选D.

二、填空题

6.如图，在3x3的正方形网格中标出了N1和/2,贝l]Nl+N2=度.

【答案】135

【解析】如图，连接N。、BD,ZADB=90°,AD=BD=BC,ZDAB=ZDBA=45°,

由图可知，在△。尸5和/XBEC中,

DF=BE

<ZDFB=/.BEC=90°,

FB=EC

:.△DFBgABEC(SAS),

ZDBF=Z2,

ZDBA=45°,

Z1+Z2=Z1+ZDBF=180°-45°=135°,

故答案为：135.

7.如图，已知/C平分NTM3,若添加一个条件使△ZBC之△NQC,则这个条件可以是(写三个条

件).

【答案】40=/2或/3=/4或/5=4>

【解析】•••/(?平分NZU8,

Zl=Z2,

又；AC=AC,

■■添加AD=AB,利用SAS即可得到△"C学；

添加/3=/4,利用ASA即可得到AABC乌4ADC；

添加NB=ZD,利用AAS即可得到△4BS△ADC.

故答案为：40=48或/3=/4或/5=".

8.如图，在RtZ\/BC中，ZABC=90°,BC=5,8D_L/C于点。，点E在边N8上，且BE=BC,过点E

作所_L/5交2。延长线于点尸，若斯=12,则/£=.

A

【答案】7

【解析】•：EFLAB,

：./FEB=90°,

,ZBFLAC,

：.ZADB=90°,

：.ZF+ZFBE=90°,ZA+ZFBE=90°,

・•・NA=NF,

在△4C5和Z\FEB中，

Z=ZF

</ABC=/FEB,

CB=EB

.・・/\ACB^AFSE(AAS).

AB=EF=U.

・・・EB=BC=5,

：.AE=12—5=7.

故答案为：7.

9.如图，已知在△%(?£中，//EC=90。，点。，8分别在边C£,/月上，4。于尸，BDCD,

BE=CF.

(1)若/C=60。，贝；

(2)已知4C=10,BE=2,则45的长是.

【答案】15°6

【解析】(1)VZAEC=90°,DFLAC,

/BED=NDFC=90°,

在RQBDE和RtACDF中,

\BE=CF

[BD=CD'

RtABDE咨RtACDF(HL),

:.DE=DF,

AD平分/E4尸,

:.ABAD=-AEAC,

2

■■ZAEC=90°,ZC=60°,

/EAC=90°-NACE=30°,

NBAD=L/EAC=15。,

2

故答案为：15°；

(2)•:BE=2,

CF=BE=2,

AF=AC-CF=W-2=S,

在RSADE和RtA^DF中，

(DE=DF

[AD=AD'

RtZUOEgRtZUD尸(HL),

AE=AF=S,

:.4B=AE-BE=8-2=6,

故答案为：6.

10.如图，在△45C中，N8=NC=24厘米，BC=16厘米，点。为4B的中点，点尸在线段5c上以4厘

米/秒的速度由B点向。点运动，同时，点。在线段。上由C点向/点运动，当点。的运动速度为厘

米/秒时，能够在某一时刻使43尸。与△CQP全等.

【解析】设经过无秒后，使与VC0P全等,

•.•NB=/C=24厘米，点。为48的中点，

.•.8£>=12厘米，

NABC=NACB,

要使△BPD与YCQP全等,必须&）=CP或BP=CP,

即12=16-4x或4x=16—4x,

解得：x=l或x=2,

x=1时，BP-CQ=4,4+1=4；

x=2时，BD=CQ=12,12+2=6；

即点。的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，

故答案为：4或6.

三、解答题

11.如图，在△48C中，AB=AC,D为BC上一氤,DELAB,DF1AC,垂足分别为£、F,且

DE=DF.请选择一对你认为全等的三角形并加以证明.

⑴你选择的是：△；

（2）根据你的选择，请写出证明过程.

【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为“ED会上如，

故答案为：AED,AFD（答案不唯一）；

（2）证明：•••DELAB,DF1AC,

和△/FD是直角三角形，

在Rt/\AED和RtZxAFD中，

jAD=AD

[DE=DF'

.•.RtZUEDgRtA/FD（HL）.

12.如图，点D、E分别在线段/瓦/。上，AE=AD,不添加新的线段和字母，从下列条件①/B=/C,②

BE=CD,③AB=AC,④=中选择一个使得.

A

DI\E

BC

(1)你选择的一个条件是(填写序号)

(2)根据你的选择，请写出证明过程.

【解析】(1)解：•••N£=/D,乙4=44,可以利用SAS,AAS,ASA三种方法证明；

故可以选择的条件可以是：①或③或④

(2)选择①：

在△48£和44。。中，

Z=N4

<ZB=ZC,

AE=AD

：.△ABEdACD(AAS):

选择③

在△48£和2\/8中，

AB=AC

<AA=AA,

AE=AD

：.△ABEdACD(SAS)；

选择④

在△48£和4.4。£)中，

ZADC=NAEB

<AE=AD,

/A=/A

：.AABE^AACD(ASA).

13.如图，点/,B,C,。在同一条直线上，点£,厂分别在直线N8的两侧，且4E=5尸，ZA=NB,

ZACE=ZBDF.

(1)求证：AADE2ABCF.

(2)若42=8,AC=2,求CD的长.

【解析】(1)证明：在和V3。尸中,

ZA=NB

</ACE=ZBDF,

AE=BF

.*.△ACE^ABDF(AAS).

AC=BD.

AD-BC.

在V4D£和△BCb中

AE=BF

<NA=/B,

AD=BC

:.LADE/ABCF(SAS).

(2)由(1)知YACEaBDF,

,-.BD=AC=2,

■：AB=8,

:.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的长为4.

14.如图，△48C的外角N7X4C的平分线交2c边的垂直平分线于尸点，于。，PELAC^E,

连接8P,CP.

⑴求证：BD=CE；

(2)若48=6cm,NC=10cm,直接写出4D的长为

【解析】(1)证明：•・•点尸在5c的垂直平分线上，

BP=CP,

-：4P是ND