中考数学专项突破：托勒密定理（含答案及解析）

L托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面

积与另一组对边所包矩形的面积之和.

翻译：在四边形A8CD中，若A、B、C、。四点共圆，则=+

证明：在线段8D上取点E,使得N54E=/CA。，

易证.・・一=一，即

ACCD

当N8AE=NCA。时，可得：/BAC=/EAD,

易证△ABCs△AE。，,BPACDE=ADBC,

ACCB

：.ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.ACBD=ABCD+ADBC.

2.（托勒密不等式）:对于任意凸四边形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

证明：如图1,在平面中取点E使得/BAE=/CA。，ZABE=ZACD,

易证△ABEs△Ac。，/.一=一,gpAC-BE=ABCD®,

ACCD

连接DE,如图2,

..ABAE•ABAC

'~AC~~AD'*'AE-AD，

又/BAC=/BAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE=ZDAE,

：.AABC^^AED,,即ACDE=AD.3C②，

ACBC

将①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即当且仅当A、B、C、。共圆时取到等号.

3.托勒密定理在中考题中的应用

(1)当△A3C是等边三角形时，

如图1,当点。在弧AC上时，根据托勒密定理有：DBAC^ADBC+ABCD,

又等边AABC有AB=AC=BC,故有结论：DB=DA+DC.

图1

证明：在上取点E使得。

易证△AEBS^AQC,AAED^AABC,利用对应边成比例，可得：DB^DA+DC.

如图2,当点。在弧3c上时，结论：DA=DB+DC.

图2

【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别.

(2)当△ABC是等腰直角三角形，

如图3,当点。在弧BC上时，根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:3C=1:1:夜，代入可得结论：41AD=BD+CD.

如图4,当点。在弧AC上时，根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又A5:AC:3c=1:1:及，代入可得结论：BD=-j2AD+CD.

图4

(3)当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c,

根据托勒密定理可得：a-AD=bBD+cCD

例题精讲

【例如图，正五边形ABCDE内接于。。，AB=2,则对角线3。的长为

E

A变式训练

【变式1-1].先阅读理解：托勒密（尸加加;烈古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形

两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.即：如果四边形ABCD内接于O。，则有AB-

CD+AD'BC^AC-BD.再请完成：

图1图2

（1）如图1,四边形ABCD内接于O。，8c是。。的直径，如果AB=AC=J^,CD=

1,求的长.

（2）在（1）的条件下，如图2,设对边84、CD的延长线的交点为P,求B4、尸。的长.

【变式1-2].如图1,已知。。内接四边形A8CD,

求证：AC'BD=AB'CD+AD'BC.

证明：如图1,在8。上取一点P,连接CP,使/PCB=/OCA,即使/l=/2.

:在。。中，/3与N4所对的弧都是面，

.•.Z3=Z4.

...AACDs^BCP.

.AC=AD

"BCBP"

：.AC'BP=AD'BC.①

又•；N2=/1,

.\Z2+Z7=Z1+Z7.

即ZACB=ZDCP.

:在O。中，/5与N6所对的弧都是黄,

•*.Z5=Z6.

...AACBs^DCP.

(1)任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整；

(2)任务二：如图2,已知Rt^ABC内接于O。，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD

平分NACB交O。于点D,求CO的长.

图1图2

【例2］托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知：如图1,四边形ABCD内接于。。.

求证：AB，DC+AD，BC=ACBD.

证明：如图2,作/BAE=/CA。，交BD于点E,

.LABEsAACD,

.AB・DC=AC,BE,

.△ABCsAAED,

.AD-BC=AC-ED,

.AB-DC+AD-BC=AC-BE+AC-ED=AC(BE+ED)=AC-BD.

(1)请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程；

(2)如图3,已知正五边形内接于O。，AB=1,求对角线3。的长.

A变式训练

【变式2-1].已知：如图1,四边形A8CZ)内接于。。.

求证：AB，CD+BUAD=AC，BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作交BD于点E.

VAD=AD,ZABE=ZACD,

：.AABE^/XACD,AB_=BE,：.AB'CD=AC-BE；

ACCD

:窟=窟，（依据1）,

,//BAE=ACAD,：./BAC=ZEAD,

.•.△ABCSA4ED(依据2),池，：.AD'BC=AC'ED；

ACCB

：.AB-CD+AD'BC=AC<BE+ED),即AB-CD+BC'AD=AC'BD.

(1)上述证明过程中的“依据1”是指—；“依据2”是指—.

(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的一定理.

(3)如图3,四边形A8CD内接于OO,AB=3,AD=5,/54。=60°,点C是面的

中点，求AC的长.

【变式2-2].圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如图1,若

四边形ABC。内接于O。，则有.

任务：(1)材料中划横线部分应填写的内容为—.

(2)已知，如图2,四边形ABC。内接于。。，8。平分/ABC,ZCO£>=120°,求证：

BD=AB+BC.

D

图1

0

实战演练

1.如图，以RtAABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,对角线交于点0,

连接A。，如果A8=4,A0=4加,那么AC的长等于（）

C.473D.8我

2.如图，在。。的内接四边形ABCD中，AB=3,AO=5,ZBAD=60°,点C为弧

的中点，则AC的长是.

3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4,8C=6,点。在底边8c上，且/D4C=/ACZ）,

将△AC。沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE,那么BE的长为.

4.如图，P是正方形A3。内一点，CP=CD,APLBP,则空的值为

PD

5.如图，正方形4BC。的边长是6,对角线的交点为。，点E在边上且CE=2,CF±

BE,连接。尸，则:

(1)ZOFB°；

6.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,。为BC的中点，过点。作DE_L£>F,交54的

延长线于点E,交AC的延长线于点F.若CF=LAC=4,AB=2.则AE=.

2-

E

7.设△ABC是正三角形，点P在△ABC外，且与点A在直线BC异侧，/BPC=120°,

求证：PA^PB+PC.

8.。。半径为2,AB,DE为两条直线.作DCLA8于C,且C为A。中点，P为圆上一个

动点.求2PC+PE的最小值.

9.如图，点尸为等边AABC外接圆，劣弧为8c上的一点.

(1)求NBPC的度数；

(2)求证：PA=PB+PC.

10.如图，。。的直径A3的长为10,弦2。的长为6,点C为AB上的一点，过点8的切

线斯，连接AD,CD,CB-,

(1)求证：ZCDB=ZCBF；

(2)若点。为品的中点，求CD的长.

11.阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理：

托勒密(Ptolemy)(公元90年〜公元168年)，希腊著名的天文学家，他的要著作《天

文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从

书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

图1图2图3

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形A8C。内接于

求证：AB・CD+BUAD=AC・BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作交BD于点E.

'：AD=AD

/ABE=ZACD

：.AABEs—CD

.ABBE

••----=-----

ACCD

J.AB'CD^AC'BE

'：AB=AB

ZACB=ZADE（依据1）

'：ZBAE=ZCAD

：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即/BAC=ZEAD

：.△ABCsAAED（依据2）

：.AD-BC=AC-ED

：.AB-CD+AD-BC=AC<BE+ED）

：.AB-CD+AD'BC=AC-BD

任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定

理：.

（请写出）

(3)如图3,四边形ABC。内接于O。，AB=3,AD=5,ZBAD=6Q°,点C为面的

中点，求AC的长.

12.在学习了《圆》和《相似》的知识后，小明自学了一个著名定理“托勒密定理：圆内接

四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和.”

(1)下面是小明对托勒密定理的证明和应用过程，请补充完整.已知：四边形A8CL)内

接于O。.

求证：AC-BD=AB-CD+AD-BC.证明：作交AC于点E,

中，Nl=/2,

AABD^AECD().

.DADBAB

"DF"DC"EC'

DA_DE

DB"DC'

又,：/BDA+N3=/CDE+/3,

即/ADE=/BDC,

△DAEs匕DBC

•.•-D-A--A-E-•

DBBC

J.AD'BC^BD'AE®.

：.AB-CD+AD'BC=AC-BD.

(2)利用托勒密定理解决问题：是否存在一个圆内接四边形，它的两条对角线长为5和

6,一组对边长为1和3,另一组对边的和为4.若存在，求出未知的两边；若不存在，

说明理由.

13.阅读下列相关材料，并完成相应的任务.

布拉美吉塔比理

婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提

出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”.定理的内容是：若圆内接四边形的

对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证.

己知：如图，在圆内接四边形ABC。中，对角线ACLBD,垂足为P,过点P作的垂

线分别交A2,DC于点H,M.

求证：M是C£＞的中点

任务：

(1)请你完成这个定理的证明过程.

(2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的

对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是—命

题.(填“真”或“假”)

(3)若尸£)=2,HP=M，BP=3,求的长.

A

14.已知△ABC内接于OO,NA4c的平分线交。。于点。，连接。3,DC.

(1)如图①，当NBAC=120°时，请直接写出线段42,AC,AD之间满足的等量关系

式：;

(2)如图②，当N8AC=90°时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证

明你的结论；

(3)如图③，若8C=5,BD=4,求皿的值.

AB+AC

15.问题探究：

（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在2C边上找一点。，使得点A到点的距

离最短.

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线

的乘积.如图②，P是正AABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与8、C重合），请你根

据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA—PB+PC.

问题解决：

（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30机、60机的直角三角形的草坪，现准备

在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使尸到A、B、C三点的距离之和最小，那么

是否存在符合条件的点P?若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保

留根号）；若不存在，请说明理由.

16.(1)方法选择

如图①，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD,A2=BC=AC.求证：BD

^AD+CD.

小颖认为可用截长法证明：在。B上截取。M=AD,连接AM…

小军认为可用补短法证明：延长C。至点N,使得。N=A。…

请你选择一种方法证明.

(2)类比探究

【探究11

如图②，四边形A8CO是。。的内接四边形，连接AC,BD,是。。的直径，AB=

AC.试用等式表示线段4D,BD,之间的数量关系，并证明你的结论.

【探究2】

如图③，四边形ABC。是。。的内接四边形，连接AC,BD.若2C是。。的直径，Z

ABC=30°,则线段A£),BD,CD之间的等量关系式是.

(3)拓展猜想

如图④，四边形4BC。是。。的内接四边形，连接AC,BD.若8c是。。的直径，BC-.

AC：AB=a：b：c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是.

B

图①图②图③图④

17.数学课上，张老师出示了问题：如图1,AC,8。是四边形ABC。的对角线，若NACB

=ZACD=ZABD=ZADB=60°,则线段8C,CD,AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2,延长到E,使连接AE,

证得△ABE丝AADC,从而容易证明AACE是等边三角形，故AC=CE,所以AC=8C+CD

小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋转60°,使4B与

AD重合，从而容易证明△ACP是等边三角形，故AC=CR所以AC=BC+CD

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图4,如果把“/AC8=NACO=/A8Q=NA£)B=60°”改为“/

ACB^ZACD=ZABD^ZADB^45°",其它条件不变，那么线段3C,CD,AC三者之

间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.

(2)小华提出：如图5,如果把"/AC8=NACr>=NABD=NA£)B=60°”改为“/

ACB=ZACD=ZABD=ZADB=a)>,其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间

有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.

18.问题背景：

如图①，在四边形AO2C中，ZACB^ZADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD

之间的数量关系.

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点。，逆时针旋转90°至！JA4ED处，点、B,

C分别落在点A,E处（如图②），易证点C,A,E在同一条直线上，并且△口）£是等

腰直角三角形，所以CE=®CD,从而得出结论：AC+BC^^2CD.

简单应用：

（1）在图①中，若4。=加，BC=2®,则8=.

（2）如图③，A8是OO的直径，点C、。在。上，俞=而，若AB=13,BC=12,求

CD的长.

拓展规律：

（3）如图④，ZACB^ZADB^90°,AD=BD,若AC=〃z,BC=n（m<n）,求CD的

长（用含相，”的代数式表示）

（4）如图⑤，ZACB=9Q°,AC=BC,点尸为A8的中点，若点E满足AE=1AC,

3

CE=CA,点。为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是-

或.

L托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面

积与另一组对边所包矩形的面积之和.

翻译：在四边形A8CD中，若A、B、C、。四点共圆，则=+

证明：在线段8D上取点E,使得N54E=/CA。，

易证.・・一=一，即

ACCD

当N8AE=NCA。时，可得：/BAC=/EAD,

易证△ABCs△AE。，,BPACDE=ADBC,

ACCB

：.ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.ACBD=ABCD+ADBC.

2.（托勒密不等式）:对于任意凸四边形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

证明：如图1,在平面中取点E使得/BAE=/CA。，ZABE=ZACD,

易证△ABEs△Ac。，/.一=一,gpAC-BE=ABCD®,

ACCD

连接DE,如图2,

..ABAE•ABAC

'~AC~~AD'*'AE-AD，

又/BAC=/BAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE=ZDAE,

：.AABC^^AED,,即ACDE=AD.3C②，

ACBC

将①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即当且仅当A、B、C、。共圆时取到等号.

3.托勒密定理在中考题中的应用

(1)当△A3C是等边三角形时，

如图1,当点。在弧AC上时，根据托勒密定理有：DBAC^ADBC+ABCD,

又等边AABC有AB=AC=BC,故有结论：DB=DA+DC.

图1

证明：在上取点E使得。

易证△AEBS^AQC,AAED^AABC,利用对应边成比例，可得：DB^DA+DC.

如图2,当点。在弧3c上时，结论：DA=DB+DC.

图2

【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别.

(2)当△ABC是等腰直角三角形，

如图3,当点。在弧BC上时，根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:8c=1:1:夜，代入可得结论：41AD=BD+CD.

如图4,当点。在弧AC上时，根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又A5:AC:3c=1:1:及，代入可得结论：BD=-j2AD+CD.

(3)当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b；c,

根据托勒密定理可得：a-AD=bBD+cCD

【例如图，正五边形A8CDE内接于。。，AB=2,则对角线的长为1+芯

E

解：如图，连接A。、AC.

,：五边形ABCDE是正五边形，

AABC^ADCB部△AE。(SAS'),

.,.设2£>=AC=AO=尤.

在圆内接四边形A8CD中，由托勒密定理可得：AB'CD+AD-BC=AC'BD,

即2X2+x・2=f,

解得：xi=l+V5>X2=l-泥(舍去).

对角线8。的长为1+V5.

故答案为：i+Vs-

卮

D

B

A变式训练

【变式17].先阅读理解：托勒密(尸加加加丫古希腊天文学家)定理指出：圆内接凸四边形

两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.即：如果四边形ABCD内接于O。，则有AB-

CD+AD'BC^AC'BD.再请完成：

图1图2

(1)如图1,四边形ABC。内接于OO,8C是。。的直径，如果A8=AC=J^,CD=

1,求的长.

(2)在(1)的条件下，如图2,设对边BA、C£>的延长线的交点为尸，求抬、尸。的长.

解：(1)「BC是。。的直径，

：.ZBAC=ZBDC=90°,

：AB=AC=遍，

AABC是等腰直角三角形，

-,.BC=V2AB=V10>

22

:，BD=VBC-CD=V(VIo)2-l2=3'

:圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积，

即：如果四边形A8CD内接于。。，贝I]有4B・CJD+4D・BC=AC・B£),

即找X1+ADX百5=返X3,

解得：AD=M；

(2)'：ZPAD=ZPCB,ZP=ZP,

：./\PAD^/\PCB,

•PA=PD=AD

"PCPBBC"

设PA=x,PD=y,

则告=4=湃，

y+iV5+xVio

解得：x=^~,y=旦，:.PA=^~,PD=^-.

2.222

【变式1-2].如图1,已知O。内接四边形ABC。，

求证：AC'BD=AB'CD+AD'BC.

证明：如图1,在2。上取一点P,连接CP,使NPCB=/r)CA,即使N1=N2.

•..在。。中，N3与N4所对的弧都是向，

•,.Z3=Z4.

△ACDs^BCP.

.AC=AD

,"BCBP-

：.AC'BP=AD-BC.①

又：/2=Nl,

.\Z2+Z7=Z1+Z7.

即ZACB=ZDCP.

;在。。中，N5与N6所对的弧都是前，

/.Z5=Z6.

AACBsADCP.

(1)任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整；

(2)任务二：如图2,已知Rt^ABC内接于。。，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD

平分NAC8交。。于点。，求C。的长.

图1图2

解：(1)补全证明：.•.期•至，

DPDC

：.AC-DP=AB'DC®,

.•.①+②得：AC-BP+AC'DP=AD'BC+AB'DC,

：.AC<BP+DP)=AD-BC+AB-DC,

即AC，BD=AD・BC+AB。DC,

(2)VZACB=90a,AC=6,BC=8,

ZADB=90°,AB=^AC2+BC2=IO,

VCD平分/ACB交O。于点D,

ZBCD=ZACD,

：.BD=AD,

VZADB^90°,

/.ZABD=45°,

.".BD—AD—AB'sin4S0=5V^，

,/四边形ABCD内接于OO,

：.AB'CD^AC'BD+AD-BC,即10CD=6X5^2+8X572>

.,.CD=7A/2.

【例2】.托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知：如图1,四边形ABCD内接于G)。.

求证：AB-DC+AD-BC=ACBD.

证明：如图2,作/BAE=NCA。，交BD于点E,

：.ZXABE^AACD,

：.AB-DC^AC-BE,

：.AABC^AAED,

：.AD-BC=AC-ED,

：.AB-DC+AD'BC=AC-BE+AC'ED=AC(BE+ED)=AUBD.

(1)请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程；

(2)如图3,已知正五边形ABCDE内接于O。，42=1,求对角线3。的长.

(1)解：已知：如图1,四边形ABCD内接于。。，

求证：AB'DC+ADBC=AC'BD,

故答案为：四边形ABC。内接于OO,AB'DC+AD-BC=AC-BD-,

证明：如图2,作/54E=NC4。，交BD于点E,

VAD=AD,

ZABE=ZACD,

：.AABEs^ACD,

.AB=BE

"ACDC'

：.ABDC^ACBE.

'：AB=AB,

ZACB=ZADE.

'：ZBAE=ZCAD,

：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

即/BAC=/EA。，

AABCSAAED,

•.•-A-D--E-D-,

ACBC

：.ADBC=ACED,

：.ABDC+ADBC

=ACBE+ACED

=AC(BE+ED)

=ACBD,

即AB-DC+AD'BC=AC-BD；

(2)解：在图3中，连接A。、AC.

'：五边形ABCDE是正五边形，

△AB-ADCB经△AE。，

.•.设BO=AC=AO=x.

在圆内接四边形A2CD中，

由托勒密定理可得：AB-CD+AD'BC^AC-BD,

即IX1+炉1=/,

解得上叵，上返（舍去），

1222

/.对角线BD的长为上近.

2

A变式训练

【变式2-1].已知：如图1,四边形ABC。内接于OO.

图1图2图3

求证：AB・CD+BUAD=AC・BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作NBAE=NCA。，交BD于点E.

•.场=俞，ZABE=ZACD,

：.AABE^AACD,.•.组：.AB-CD=AC-BE；

ACCD

:窟=窟，.•./AC2=/AOE（依据1）,

；NBAE=NCAD,：.ZBAC^ZEAD,

（依据2）,j.AD'BC^AC'ED-,

ACCB

Z.AB'CD+AD•BC^AC<BE+ED）,即AB'CD+BC'AD^AC'BD.

（1）上述证明过程中的“依据1”是指同弧所对的圆周角相等；“依据2”是指两

角分别相等的两个三角形相似.

（2）当圆内接四边形A8CO是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的勾股定理.

（3）如图3,四边形ABC。内接于O。，AB=3,AD=5,ZBAD^6Q°,点C是面的

中点，求AC的长.

解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等.

“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似.

故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角分别相等的两个三角形相似.

（2）当圆内接四边形ABC。是矩形时，

贝1JAB=CDAD^BC,AC=BD,

\'AB'CD+AD-BC=AC'BD,

：.AB2+AD2=BD2,

托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，

故答案为：勾股.

(3)连接作CE_L2D于E.

图3

•.•四边形4BCD是圆内接四边形，

：.ZBAD+ZBCD=1SO°,

'：ZBAD=60°,

AZBC£>=120°,

VDC=BC.

:*CD=CB,

：.ZCDB=30°,

在RtZXCDE中，cos30°=理，

CD

:.DE=^~CD,

2

:.BD=2DE=4^CD,

由托勒密定理：AC-BD=AD-BC+CD'AB,

:.AC*MCD=3CD+5CD,

：.AC=^^-,

3

答：AC的长为生应.

3

【变式2-2].圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如图1,若

四边形A8C。内接于O。，则有.

任务：(1)材料中划横线部分应填写的内容为AC・B£>=gCT>+2C・AZ).

(2)已知，如图2,四边形A8CZ)内接于。。，8。平分/ABC,ZCOD=120°,求证：

BD=AB+BC.

故答案为：AC9BD^AB9CD+BC-AD

(2)如图，连接AC

VZCOZ)=120°,

：.ZCBD=ZCAD=60°

平分NA3C

・•・ZABD=ZCBD=60°

：.ZACD=60°,

•••△AC。是等边三角形

：.AC=AD=CD,

•・•四边形ABCD是圆内接四边形

：.AC9BD=AB*CD+BC*AD

：.BD=AB+BC

实战演练

1.如图，以RtAABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,对角线交于点0,

连接A。，如果A8=4,A0=4加,那么AC的长等于（)

C.473D.873

解：在AC上截取CG=A2=4,连接0G,

••,四边形3CEF是正方形，ZBAC=90°,

：.OB=OC,ZBAC=ZBOC=90°,

：.B.A、0、C四点共圆,

ZABO=ZACO,

在△84。和△CGO中

rBA=CG

<ZBAO=ZGCO,

OB=OC

.♦.△BAO/△CGO(SAS),

；.0A=0G=4&,ZAOB^ZCOG,

VZBOC=ZCOG+ZBOG=9Q°,

AZAOG^ZAOB+ZBOG^90°,

即AAOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

^G=^AQ24()G2=8,

即AC=AG+CG=8+4=12.

故选：A.

B

2.如图，在。。的内接四边形A3C0中，AB=3,AD=5,NA4O=60°,点。为弧

的中点，则AC的长是为巨.

—3―

解：解法一、：A、B、C、。四点共圆，ZBAD=60°,

AZBCD=180°-60°=120°,

VZBAD=60°,AC平分NBA。，

AZCAD=ZCAB=30°,

将△ACD绕点C逆时针旋转120。得△C8E,

则/E=NCA£>=30°,BE=AD=5,AC=CE,

：.ZABC+ZEBC=(180°-ZCAB-ZACB)+(180°-ZE-NBCE)=180°,

；.A、B、E三点共线，

过C作CMLAE于M,

'：AC=CE,

：.AM=EM=^X(5+3)=4,

2

在RtZXAMC中，AC=―端。-=~^=过

cos30V3_3

2

解法二、过C作CELAB于E,CFLAD于F,

则NE=NC尸£>=/*=90°,

:点C为弧8。的中点，

BC=CD,

：.ZBAC=ZDAC,BC=CD,

VCELAB,CF±AD,

：.CE=CF,

VA>B、C、。四点共圆,

：.ZD=ZCBE,

在△CBE和△CD尸中

，ZCBE=ZD

<ZE=ZCFD

CE=CF

ACBE丝ACDF,

：.BE=DF,

在△AEC和△Af'C中

，ZE=ZAFC

-ZEAC=ZFAC

AC=AC

/\AEC^/\AFC,

：.AE=AF,

设BE=DF=x,

\'AB=3,AD=5,

'.AE—AF—x+3,

；.5=x+3+x,

解得：x=l,

即AE=4,

•AL杷-8愿

cos3003

故答案为：超巨.

3

3.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4,8C=6,点。在底边8c上，且/D4C=/ACD,

将△AC。沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE,那么BE的长为1.

ZABC=ZC,

ZDAC=Z.ACD,

：.NDAC=ZABC,

'：zc=zc,

.".△CAD^ACBA,

.CA=CD

"CBAC'

•.•-4-_C--D--,

64

:.CD="BD=BC-CD=坨,

33

：NDAM=ZDAC=ZDBA,ZADM^ZADB,

：.AADMsABDA,

8_

.AD=DM即丁_=也

"BDDA'独名’

33

：.DM=—,MB=BD-DM=—,

155

,/ZABM=ZC=ZMED,

：.A,B、E、。四点共圆，

/ADB=ZBEM,NEBM=ZEAD=ZABD,

.MABDs/XMBE,（不用四点共圆，可以先证明推出△BMESAA®,

推出NBEM也可以！）

•AB=BD

"BMBE

•op-BM'DB_i

>.DtJj-------------------1

AB

故答案为：1.

DC

4.如图，P是正方形ABC£＞内一点，CP=CD,AP1BP,则出的值为

—2―

解：如图，过点。作AP垂线交AP延长线于E,

(7

•.,四边形ABC。是正方形，CP=CD,

：.BC=CP=CD,

：.ZPBC=ZBPC,ZDPC=ZPDC,

设ZPCD=x,则ZBPC=RO。-铲。-X)=45。玲，/DPC=W.一、

：.ZBPD=450+90°=135°,

"：AP±BP,

：.ZAPD=360°-135°-90°=135°,

：.ZDPE=45°,

设DE=PE=y,

DP=VPE2+ED2=，

ZDAE+ZBAP=ZBAP+ZABP=9Q°,

ZDAE=ZABP,

在△ZME与AAB尸中,

,ZAPB=ZDEA

<ZDAE=ZABP,

AB=AD

：.AAPB^ADEA(A4S),

：.AP=DE=y,

.PA_y_V2

"PD7570

故答案为：亚.

2

5.如图，正方形ABC。的边长是6,对角线的交点为。点E在边CD上且CE=2,CF±

BE,连接。R贝！I：(1)ZOFB45°；(2)0F=区

―5-

解：（1）在BE上截取BG=CR

•.,在正方形ABCDAC_LB£>,ZABC=ZBCD=90°,AC=BD,BO=^BD,CO=」AC,

22

AC、8。分别平分NABC、/BCD,

:.BO=CO,/BOC=90°,NO2C=/OCD=45°,

'JCFLBE,

；.NCFE=90°,

AZFEC+ZECF=90°,

:NEBC+/FEC=90°,

ZEBC=ZECF,

：.ZOBC-ZEBC=ZOCD-ZECF,

：.ZOBG=ZFCO,

；.AOBG必OCF(SAS),

；.NBOG=NFOC,OG=OF,

：.ZGOC+ZCOF=90°,

：.NOFG=NOGF=45°,

故答案为：45°；

(2)在RtZXBCE中，根据勾股定理，得BE=2F5，

.「吁BCXCEsVlO

BE5

在Rtz\FCE中，根据勾股定理，得EF=H,

5

GF=BE-BG-EF=

5

在RtZXFCE中，根据勾股定理，得。尸=生叵，

故答案为：豆叵.

5

6.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。为BC的中点，过点。作。E_L£>R交54的

延长线于点E,交AC的延长线于点F.若CF=L,AC=4,AB=2.则AE=10

解：延长即至G,使GD=FD,连接BG,如图所示:

；£)为BC的中点，：.BD=CD,

'BD=CD

在△BZ)G和△CDF中，，/BDG=/CDF,

GD=FD

ABDG"△CDF(.SAS),

:.BG=CF=工,/G=/F,

2

J.BG//CF,

:.XBGHs丛AFH,

7_

•GH_BH_BG_2__7_

"FHAHAFQ正，

.•.DH=A,加耳心，

FD112211

VZBAC=90°,AF=AC+CF=^-,

2

居产+(招)2=有醇,

・・・DH=±FH=共遥,

1511

VZ)E±£>F,

AZEDH=90°=ZBACf

：,/E+/EHD=/F+/EHD=90°,

:・/E=/F,

/.ADHEs丛AHF,

.2ffi=DHPn_11

"IffAH'75屈15

2211

解得：HE=^-,

11

J.AE^HE-AH=^--m=10；

1111

故答案为：10.

E

7.设△ABC是正三角形，点尸在△ABC外，且与点A在直线BC异侧,ZBPC=120°,

求证：PA=PB+PC.

解：如图，延长8P至E,使尸E=PC,连接CE,

VZBAC+ZBPC=180°,且/8AC=60°,

.\ZBPC=120°,

：.ZCPE^60°,又PE=PC,

.,.△CPE为等边三角形,

:.CP=PE=CE,NPCE=60°,

AABC为等边三角形，

：.AC=BC,ZBCA=60°,

ZACB=/PCE,

NACB+NBCP=ZPCE+ZBCP,

即：ZACP=ZBCE,

•.,在△ACP和△BCE中，

M=BC

-ZACP=ZBCE,

PC=PE

AAACP^ABCE(SAS),

・；BE=BP+PE,

：.PA=PB+PC.

4

F

8.O。半径为2,AB,OE为两条直线.作DCUAB于C,且C为AO中点，P为圆上一个

动点.求2PC+PE的最小值.

解：延长。4到K,使AK=A0=2.

F冬

：C是AO的中点，

OC=^OA=1,

2

.QC_0P_1

"OP"OK2'

又,：/COP=/POK,

:ACOPs/XPOK,

/.2PC+PE=PE+PKNEK.

作即，BC于点"

•.•在直角△COD中，COS/DOCMUL」,

OD2

：.ZDOC^6Q°,

:./EOH=NDOC=6Q°,

：.HE=OE-sin60°=2X*_=7§,

EK=^52+(73)2=2>/7-

即最小值是2曲.

故答案是：2。

9.如图，点尸为等边△ABC外接圆，劣弧为8C上的一点.

(1)求