新情景、新定义下的数列问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点17新情景、新定义下的数列问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1数列中的新概念】.....................................................................।

【题型2数列中的新运算】.....................................................................2

【题型3数列新情景问题】.....................................................................3

【题型4以数列和项与通项关系定义新数列】....................................................4

【题型5数列定义新性质问题】.................................................................5

【题型6牛顿数列问题】.......................................................................7

【题型7数列中的新定义问题】.................................................................9

►命题规律

1、新情景、新定义下的数列问题

数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一,近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴

题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，

有时还伴随着数列与集合，难度较大，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1数列中的新概念】

1.数列中的新概念问题的解题策略：

通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应

的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.

【知识点2数列的新定义、新情景问题】

1.数列的新定义、新情景问题的求解策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问

题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，

达到灵活解题的目的.

►举一反三

【题型1数列中的新概念】

【例1】(2024・四川南充•三模)对于数列｛an｝,规定A册为数列｛an｝的一阶差分,其中A%=an+1-an[neN*),

fc-1

规定屋册为数列｛时｝的阶k差分，其中屋与=屋Tan+i-Aan(n€N*).若an=⑵'则()

A.7B.9C.11D.13

【变式1-1］（2024•湖北武汉•三模）将12按照某种顺序排成一列得到数列｛册｝，对任意U<j£n,

如果%>%,那么称数对（即%）构成数列｛册｝的一个逆序对.若九=4,则恰有2个逆序对的数列｛册｝的个数

为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式1-2］（23-24高三上・安徽合肥•阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个

数列｛册｝：1,1,2,3,5,8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即的=%=1，

册+2=。九+1+Q九，这样的数列称为“斐波那契数列”.若丽=2（。3+。6+。9+…+。174）+1，则血=（）

A.175B.176C.177D.178

【变式1-3］（2024•全国•高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列臼4…即…满足^

｛0,l］（i=1,2,…）,且存在正整数TH,使得见+血==12…）成立,则称其为0-1周期序列，并称满足%+7n=

a®=12…）的最小正整数zn为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列的的…斯…，C（k）=

5£21。回+左（卜=1,2,…,小一1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C（k）<］（k=

1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011---C.10001---D.11001--

【题型2数列中的新运算】

【例2】（2024•河南•模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的

日本人又把它带到亚洲I,因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就

乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数a0，按照上述规则实

施第九次运算的结果为。式?1€N）,若=1,且。&=1,2,3,4）均不为1,则劭=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【变式2-1］（2023•北京延庆•一模）数列｛an｝中，an=logn+1（n+2）（nGN*）,定义：使的•a2....以

为整数的数k（k€N*）叫做期盼数，则区间［1,2023］内的所有期盼数的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【变式2-2］（2024•上海宝山,二模）将正整数n分解为两个正整数的、七的积，即九二上广的，当自、七两

数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4、5即为20的最优分

解，当的、&是n的最优分解时，定义/（>）=也一的|,则数歹式/（5枚）｝的前2023项的和为（）

A.51012B.51°12—1c.52023口.52023-1

【变式2-3]（2023•河南安阳•二模）如果有穷数列的,做，的，…，（冽为正整数）满足条件的“6=3

=3…，am'ar=t,即口__计1=力（，为常数）（i=1,2,…,?n）,则称其为“倒序等积数列”.例

如，数列8,4,2,i,4是“倒序等积数列”.已知｛%｝是80项的“倒序等积数列“，t=2,且C41，c42,

C80是公比为2,C80=2的等比数列，设数列｛10g27｝的前〃项和为sn,则S50=（）.

A.210B.445C.780D.1225

【题型3数列新情景问题】

【例3】（2024•全国•模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍

是《战国策・齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下"个圆环所

需的最少步骤数M，且臼=1,a2-2,a3-5,a4=10,a5-21,a6-42,则取下全部9个圆环步

骤数最少为（）

A.127B.256C.341D.512

【变式3-1]（23-24高二上•江苏南通・期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动,

是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承.现将一张腰长为1的等腰直角三角形

纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片

纸，这些圆片纸的半径为（）

A•生1B.上史C.避D.i

8888

【变式3-2]（2023•安徽宿州•一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,

3,9填入3x3的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一

般地，将连续的正整数1,2,3,足填入几乂几个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都

相等，这个正方形叫作〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为Sn，如S3=45,那么

下列说法错误的是（）

洛书幻方

492

357

816

A.S6=666

B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25

C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260

D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

【变式3-3](23-24高二下•山东•阶段练习)某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序

列力=｛的,。2，。3,…｝重新编辑，编辑新序列为力*=它的第n项为如若序列(A*)*的所有项都

a2a3)

是3,且的=1，即=27,则的=()

1I11

A.-B.—C.-D.—

92781243

【题型4以数列和项与通项关系定义新数列】

【例4】(2024•江西南昌•三模)给定数列｛4n｝,若对任意相，鹿€可*且血不n，4n+4^｛4J中的项，则

称｛4｝为“以数列”•设数列｛册｝的前n项和为5n.

(1)若%=*+n，试判断数列｛%｝是否为“〃数列”，并说明理由；

(2)设｛%｝既是等差数列又是数列”,且的=6,a2eN\a2>6,求公差♦的所有可能值;

(3)设｛%｝是等差数列，且对任意neN*,5^是｛an｝中的项，求证：｛an｝是“〃数列”.

【变式4-1](2024•陕西・三模)数列｛aj的前n项的最大值记为Mn,即/=maxQ,an｝；前n项的最

小值记为小八，即win=min｛ai，a2,…，％｝,令pn=Mn-nin，并将数列｛pj称为｛册｝的“生成数列

(1)设数列｛pn｝的“生成数歹U”为｛qj，求证：Pn=<7n；

(2)若％=2相-3n,求其生成数列｛pj的前n项和.

【变式4-2](2024•山东泰安・模拟预测)己知数列｛册｝是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34••…

这一数列以如下递推的方法定义：的=1,a2=1,an+2=an+i+册5eN*).数列｛6n｝对于确定的正整

数k,若存在正整数"使得玩+n=bk+“成立，则称数列｛%｝为”阶可分拆数列”.

(1)已知数列｛%｝满足&=nian(n£N*,租eR).判断是否对VzneR,总存在确定的正整数k,使得数列

｛%｝为”阶可分拆数列”，并说明理由.

(2)设数列｛dn｝的前n项和为%=3Ja(a20),

(i)若数列｛公｝为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；

(ii)在⑴问的前提下，若数列｛fn｝满足九=会，n€N*,其前n项和为友证明：当neN*且n>3时,<a[+

避+aj+...+-anan+1+1成立.

【变式4-3](2024•安徽芜湖•三模)若数列｛%｝的各项均为正数，且对任意的相邻三项4_1，即&+1，都满

足<或，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项为一1，心4+1，都满足a―i+at+1<2at

则称该数列为“凸数列”.

(1)已知正项数列｛cn｝是一个“凸数列"，且a„=ec”，(其中e为自然常数，n£N*),证明：数列｛%｝是一个

“对数性凸数列”，且有的的0<a5a6；

(2)若关于％的函数/(x)=瓦+与乂+%/+久炉有三个零点，其中九>0(i=L2,3,4).证明：数列

b»b2,b3,九是一个“对数性凸数列”：

(3)设正项数列劭,的,…,an是一个“对数性凸数列”，求证：(击£着心)(三£二%)2

(工。%)(2"

【题型5数列定义新性质问题】

【例5】(2024•安徽•三模)已知数列｛an｝的前"项和为％,若数列｛%｝满足：

①数列｛册｝为有穷数列；

②数列｛an｝为递增数列；

@Vfc>2,kEN*,3p,qEN*,使得以=tip+ciq；

则称数列｛an｝具有“和性质”.

2

(1)已知S“=n+n(l<n<100),求数列｛an｝的通项公式，并判断数列｛an｝是否具有“和性质”；(判断是否

具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论)

(2)若首项为1的数列{%}具有“和性质”.

(i)比较an与竽的大小关系，并说明理由；

(ii)若数列{%}的末项为36,求SJ勺最小值.

【变式5-1](2024•北京西城•二模)已知数列力：国,(12,从力中选取第%项、第办项、…、第限项h<i2<

…。构成数列B称为力的k项子列.记数列B的所有项的和为7(B).当kN2时，若B满足:

对任意se{l,2,…,k—1},is+i-is=l,则称B具有性质P.规定：A的任意一项都是力的1项子列，且具有

性质P.

(1)当n=4时，比较力的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；

⑵已知数列A1,2,3,…，n(n>2).

(i)给定正整数对2的k项子列B,求所有T(B)的算术平均值；

(ii)若2有m个不同的具有性质P的子列为，为,…,8加满足：V1<i<;<m,与都有公共项，且公共

项构成A的具有性质P的子列，求小的最大值.

【变式5-2](2024•北京东城•二模)已知An：ai，a2,…,“(几23)为有穷整数数列，若4”满足:al+1-a,E

{p,q}(i=1,2,…,ri-1)其中p,q是两个给定的不同非零整数,且%=an=。，则称力九具有性质T.

(1)若p=-l,q=2,那么是否存在具有性质「的Z5?若存在，写出一个这样的45；若不存在，请说明理由；

(2)若p=-Lq=2,且a0具有性质7,求证：的,。2,…,。9中必有两项相同；

(3)若p+q=l,求证：存在正整数k使得对任意具有性质T的4,都有电%…，耿.1中任意两项均不相同.

【变式5-3](23-24高二下•吉林延边•期中)记R上的可导函数代比)的导函数为八久)，满足x“+i=x“-

驾5GN*)的数列｛&｝称为函数人比)的“牛顿数列”.已知数列｛&｝为函数/(X)=/一x的牛顿数列，且数列

f(xQ

｛册｝满足的=2,a=\n^-,x>1.

nxn-1n

(1)证明数列｛%｝是等比数列并求册；

(2)设数列｛册｝的前几项和为方,若不等式(一1尸•tsn-14<SW对任意的neN*恒成立，求t的取值范围.

【题型6牛顿数列问题】

【例6】(2024・广东•模拟预测)定义：任取数列｛册｝中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1,则称数列

&｝具有“性质1”.已知项数为n的数列5｝的所有项的和为/,且数列｛册｝具有“性质1”.

(1)若n=4,且为=0,。4=一1,写出所有可能的Ma的值；

(2)若的=2024,n=2023,证明：“。2。23=2”是“以>ak+1(k=1,2,…,2022)”的充要条件；

(3)若刖=0,n22,用1=。，证明：n=4m或n=4m+eN*).

【变式6-1](23-24高二下•四川・期中)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”,

它在航空航天中应用非常广泛.其定义是：对于函数f(x),若满足(马+1-久n)/'(Xn)+fOn)=0,则称数列

｛/｝为牛顿数列.已知〃尤)=久4,如图，在横坐标为无1=1的点处作八支)的切线，切线与X轴交点的横坐标

为久2,用X2代替打重复上述过程得到%3,一直下去，得到数列｛当｝.

ajs))//

/

o\/X3,2.X

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列S%｝的前"项和为Sn,且对任意的几€N*,满足16-4(|)n,求整数2的最小值；(参考数

据：0.94=0.6561,0.95X0.5905,0.96«0.5314,0.97~0.4783)

(3)在⑵的前提下，设9。)=告小久)，直线y=ax+>0)与曲线y=g(X)有且只有两个公共点

LA.

A(c,d),仇,f),其中c</i,求的值.

【变式6-2](2024•广东韶关•二模)记R上的可导函数f(x)的导函数为/'(久)，满足/+I=今—察(n€N*)

f(xn)

的数列｛xn｝称为函数/(%)的“牛顿数列”.已知数列｛&｝为函数/0)=/-X的牛顿数列，且数列｛册｝满足的=

2,n=In——,x>1.

nx“一1n

⑴求。2；

(2)证明数列｛%｝是等比数列并求时；

n

(3)设数列｛an｝的前几项和为Sn，若不等式(-l)-tSn-14<S应对任意的nGN*恒成立，求t的取值范围.

【变式6-3](23-24高二上•浙江绍兴•期末)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿

数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是：对于函数/(久)，若满足(久计1-&)/'(&)+/■(&)=0,

则称数列｛/｝为牛顿数列.已知/0)=X4,如图，在横坐标为向=1的点处作/(久)的切线，切线与x轴交点

的横坐标为冷，用冷代替的重复上述过程得到冷，一直下去，得到数列｛%)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛n­%｝的前n项和为Sn，且对任意的neN*,满足Sn>16-A(|)",求整数4的最小值.(参考数

据：0.94=0.6561,0.95~0.5905,0.96~0.5314,0.97«0.4783)

【题型7数列中的新定义问题】

【例7】(2024•江西九江•三模)已知数列｛%｝共有机(机22)项，GZ,若满足|%+i-册|W1(1WnW

m-1),则称｛册｝为“约束数列”.记“约束数列”｛an｝的所有项的和为5加.

(1)当爪=5时，写出所有满足的=£15=1,S5=6的“约束数列”；

(2)当m=2000,的=25时,设p:a2000=2024;q:“约束数列”｛an｝为等差数列.请判断p是q的什么条件，并说

明理由；

(3)当的=1,a2fc=0(l<k<pfcGN+)时，求|Sm|的最大值.

【变式7-1](2024・重庆•模拟预测)对于数列｛册｝,定义=an+i-an(nGN*),满足%=a2=l,A(Aan)=

2n

m(meR),记/(zn,n)=a1m+a2m+…+anm,称为由数列｛册｝生成的-函数

⑴试写出“2-函数”/(2,n),并求"2,3)的值；

(2)若“1—函数”f(l,n)<15,求〃的最大值；

(3)记函数S(K)=x+2d+…+九廿，其导函数为s'(久)，证明："m-函数”/(m,n)=-野S(ni)+

n,

m'.

Zi=i

【变式7-2](2024•江西•模拟预测)我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求

和有精深的研究，即“垛积术”.对于数列的,a2,…，册,…，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差

构成数列的1，(112,…，…，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中Glii=出+1-%(i=1,2,…

,n-l,•••)；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列421，。22,…，。2(建_2),…，③，

称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中-aii(i=1,2,-,n-2,…)……按照上述办法，第r

次得到数列a”,总…，％一),…，④，则称数列④为数列①的r阶差分数列，其中％=a(i)a+i)-

=1,2,…)，若数列｛%｝的>2)阶差分数列是非零常数列，则称数列｛an｝为r阶等差数列

(或高阶等差数列).

(1)若高阶等差数列｛册｝为3,4,9,18,31,48,…，求数列｛an｝的通项公式；

4

(2)若r阶等差数列｛%｝的通项公式6n=(2n-l).

(i)求r的值；

(ii)求数列｛4｝的前n项和Sn.

附：12+22+...+层=汕222.

【变式7-3](2024・福建南平・二模)若数列｛7｝共有爪(meN*,m23)项，对任意eN*,iW爪)都有

弓/+1-=S(S为常数，且S>0),则称数列｛%｝是S关于小的一个积对称数歹U.已知数列｛%｝是S关于a的一

个积对称数列.

(1)若zn=3,=1,a2=2,求的的值；

(2)已知数列｛%｝是公差为d(dH0)的等差数列,0=一11,若爪=10,an=铲,求d和S的值；

bn

（3）若数列｛an｝是各项均为正整数的单调递增数列，求证：%+巴口+…+工+巴〈律

«2flm-1dm3

►过关测试

一、单选题

1.（2024・四川绵阳•模拟预测）已知数列｛an｝的各项均为正数，aj=1,an+1-an=^―,若[幻表示不超

«n+l+«n

过X的最大整数，则[%]+[a2]+•­•+[awo]=（）

A.615B.620C.625D.630

2.（2024・上海•模拟预测）已知数列｛%｝不是常数列，前几项和为%,且%>0.若对任意正整数n,存在正

整数小，使得|an-S„J3的，则称｛斯｝是“可控数列”.现给出两个命题：①存在等差数列｛%｝是“可控数列”;

②存在等比数列｛%｝是“可控数列”.则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

3.（2024・全国•模拟预测）将正整数〃分解为两个正整数的，他的积，即几=自七，当的，心两数差的绝对

值最小时，我们称其为最优分解.如12=1x12=2x6=3x4,其中3x4即为12的最优分解，当心，k2

是n的最优分解时，定义f（n）=也一㈤,则数列7（2n）｝的前2024项的和为（）

A.—lB.21°11C.2i°i2—lD.2ioi2

4.（2024・安徽安庆•三模）若项数均为71（n>2,nE,N*）的两个数列｛册｝,满足以一刃=k也=1,2,…,死），

且集合｛%,。2,…,an>瓦,。2,…,4J=｛1,2,3,…,2n｝,则称数列｛册｝,｛"J是一对'九项紧密数列设数列｛aj仍„｝

是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对.

A.5B.6C.7D.8

5.（2024・四川南充・三模）对于数列｛a“｝,规定2\册为数列｛an｝的一阶差分，其中=an+1-an[neN*）,

fc-1fe-1）

规定屋时为数列｛an｝的k阶差分，其中屋％=Aan+1-Actn（neN*）.若须=仆7产-1,则"%=（）

A.7B.9C.11D.13

6.（2024・上海宝山•二模）数列｛册｝中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数人总存在正整数使得%=am,

则称数列｛a力为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列｛2日为“某数列”；②对任意的等差数列｛%｝,总存

在两个“某数列”｛勾｝和｛0｝,使得册=bn+%.则下列选项中正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

7.（23-24高三下•重庆•阶段练习）定义：满足皿:皿=q（q为常数，n£N*）的数列｛a｝称为二阶等

斯+1ann

比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列|册｝的二阶公比为近,%=1,。2=VL则使得与>2024成立的最

小正整数九为（）

A.7B.8C.9D.10

8.（2024•北京东城•二模）设无穷正数数列｛%J,如果对任意的正整数九，都存在唯一的正整数小，使得册,=

a1+a2+a3+•­­+a^,那么称｛%｝为内和数列,并令0=m，称｛%｝为｛an｝的伴随数列，则（）

A.若｛册｝为等差数列，则｛an｝为内和数列

B.若｛时｝为等比数列，则｛即｝为内和数列

C.若内和数列｛an｝为递增数列，则其伴随数列仍“｝为递增数列

D.若内和数列｛a“｝的伴随数列｛%｝为递增数列，则｛册｝为递增数列

二、多选题

9.（2022山东青岛•三模）若有穷整数数列4：ai，a2,…%23）满足:ai+1-at£｛-l,2｝（i=1,2,1）,

且的=%=0,则称力„具有性质T.则（）

A,存在具有性质T的44

B.存在具有性质r的45

C.若公0具有性质T,则的,。2,…,中至少有两项相同

D.存在正整数匕使得对任意具有性质T的力H有国,a2,…,以_1中任意两项均不相同

10.（2024・重庆•模拟预测）设｛%｝是各项为正的无穷数列，若对于VneN*,碎+1-碎=4（d：为非零常

数），则称数列｛册｝为等方差数列.那么（）

A.若｛an｝是等方差数列，则｛忌｝是等差数列

B.数列｛211｝为等方差数列

C.若｛%｝是等方差数列，则数列｛%+i-an｝中存在小于1的项

D.若｛a｝是等方差数列，则存在正整数小使得->2024

nai

11.（2024•浙江宁波•模拟预测）己知数列｛斯｝,其前"项和为%，若存在常数M>0,对任意的九6N*,恒

有*+1-un\+\un-un_]\+...+|u2-uj<M,则称｛&"｝为B-数列.则下列说法正确的是（）

A.若｛诙｝是以1为首项，式回<1）为公比的等比数列，则｛a„｝为B-数列

B.若｛斯｝为B—数列，则｛Sj也为B-数列

C.若｛SJ为B-数列，则｛%J也为B-数列

D.若｛an｝,｛%｝均为B-数列，贝£册•“｝也为B-数列

三、填空题

12.（2024•江苏扬州•模拟预测）对于有穷数列｛an｝,从数列5｝中选取第0项、第22项、…、第/项（“<i2<-<

/），顺次排列构成数列｛外｝,其中为=《肥1WkWm,则称新数列｛法｝为｛册｝的一个子列，称｛法｝各项之和

为｛3J的一个子列和.规定：数列｛册｝的任意一项都是｛an｝的子列.则数列1,2,4,8,16,32的所有子列和的和

为.

13.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）牛顿选代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一

种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数y=fO）的一个零点，任意选取和

作为厂的初始近似值，在点（和,/■（&））作曲线y=/（久）的切线i设与匕轴X交点的横坐标为勺，并称均为r

的1次近似值；在点（久1/01））作曲线y=/o）的切线区设与％轴X交点的横坐标为犯，称X2为r的2次近

似值.一般地，在点（XnJOa））（n6N）作曲线y=yO）的切线Z„+i，记匕+i与X轴交点的横坐标为出+1，并称%n+l

为r的n+1次近似值.设/（无）=X3+X-3（X>0）的零点为r,取无o=0,则厂的1次近似值为；若马

为厂的〃次近似值，设册=菖警，neN*,数列｛an｝的前”项积为7V若任意九€N*,〉4恒成立，则整

数4的最大值为.

14.（2024•北京通州・三模）若数列｛0｝、｛%｝均为严格增数列，且对任意正整数〃，都存在正整数加，使得

bmE[cn,cn+1],则称数列｛%｝为数列｛%｝的数列”.已知数列｛册｝的前〃项和为Sn,则下列结论中正确的

是______

①存在等差数列｛an｝,使得｛即｝是国｝的““数列”

②存在等比数列｛册｝，使得是位相｝的数歹广

③存在等差数列｛册｝，使得｛SJ是｛册｝的““数列”

④存在等比数列｛an｝,使得｛S.｝是｛册｝的数列”

四、解答题

15.(2024•浙江•模拟预测)定义:［幻表示x的整数部分，｛%｝表示x的小数部分，例如［1.2］=1,｛1.75｝=0.75.

(angZ)

数列期满足an+i=SA'其中的=m.若存在keN+,使得当n>k时,册=an+i恒成立，则称数6

,册(册eZ)

为木来数.

(1)分别写出当机=V2,m=