新高考数学一轮复习特训：平面向量及其应用 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训平面向量及其应用

一、选择题

1.在△ABC中,4=105。,。=45。,相=4,则AC=()

A.1B.2C.2V2D.2石

2.已知向量£=(3,2)，B=(-U)，则悭+3%()

B.5C.屈D.^/130

3.已知不共线的向量£、I，若向量左石与左£_石共线，则实数左的值为()

A.1B±1C.±0D.也

4.在△ABC中，A=60°-AB=1>AC=2，则△ABC的面积=（）

A.1B.走C.gD.26

22

5.在△ABC中，“△ABC是正三角形”是“A,B,C成等差数列且sinA,sinB,sinC

成等比数歹！!”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在△ABC中,。是上一点，满足瓦5=3力是AD的中点，若丽'=/丽+〃元,

则4+〃=()

75

AB.lC.-D.-

488

7.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()

A.q与日一.B•G+4与G-3约，

C.,-262与-3q+6e2D.2q+3e?与q-2e?

8.已知向量々J满足J2-2,=忸—*2,且忖=1,则＞否=()

A.lB.-lC.-D.-l

4422

二、多项选择题

9.△AB。中，角4B,C所对的边为a,。,c下列叙述正确的是()

A.若£+32—02>0,则△回(?一定是锐角三角形

B.若，=—也=，—，则△AB。一定是等边三角形

cosAcosBcosC

C.若A>5,则cosA<cosB

D.若2Z?2a+c，则Be］。，三

10.已知向量a=(sina,cosa),A=(1,2),则下列命题正确的是()

A.若a//A,贝hana=L

2

B.若aJ_。，则tana=4

2

C.设/(tz)=a-万，则当/(。)取得最大值时，tana=g

D.|a-切的最大值为6+1

11.关于非零向量£石,下列命题中正确的是()

A.若问=忖,则£=小B.若£=多，则-//b-

C.若问〉忖,则小D.若£=很不=入则£=

三、填空题

12.在△ABC中，AQ是边上的高，若丽=(1,3)，碇=(6,3)，则

\AD\=.

13.“若点P为椭圆上的一点，月，工为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分

22

NKPE的外角”,这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C：土+匕=1,点P是椭圆上的点，

84

在点尸处的切线为直线/,过左焦点可作/的垂线,垂足为M设点M的轨迹为曲线E.若Q

是曲线E上一点，已知点A(4,0),3(5,4),则】字H0+忸Q］的最小值为..

14.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若。=2,且

c-2

bcosA-2cosB=a,则b的取值范围为.

四、解答题

15.记/XABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+百cosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,®sinC=csin2B,求ZVlBC的周长.

16.如图，在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是a,b,aD为边上一点，记

ZDAB=a，NDAC=/?.向量身=a)，为=(/?—c,a+c)，沆J_为.

⑴若诟=上通+工而，请比较a与夕的大小；

b+cb+c

(2)若sin〃=2sintz,且A£>=J7，求而•(通+/)的最小值.

,

17.如图，在四边形ABCD中,>15=2,47=疗，4£>=25，/©1。=/。84=71r.

⑴求sin/BOL；

(2)求BD.

18.(1)已知同=2,忖=3,且h-求(£+石).(2力)

(2)已知|£+q=归—力求ZB

19.已知平面内有两两不重合的三点A(l,-2。)，3(2,。),。(2+区0).若46,。三点共线,

求实数a的值.

参考答案

1.答案：C

解析：B=7i-A-C=3O°,

则由正弦定理得上=」一,?=《,得b=2后.

sin8sinC工

2工

2.答案：C

解析：因为Z=（3,2），S=（-l,l）

所以2Z+3石=（3,7），得悼+3@=行+72=尽.

故选：C

3.答案：B

解析：由题意知，向量°,B为不共线的向量，

若向量力一届与历共线，则存在实数彳使得以=4（底-B），

则满足，解得左=±1.

—k=­A

故选：B.

4.答案：B

解析：S^=-AB-AC-smA=--

ZAA/1IB5LC22

本题选择B选项.

5.答案：C

解析：在△ABC中，由A,B,C成等差数列，得23=A+C,而人+3+。=兀，贝|

B=~,

3

由sinA,sinB,sinC成等比数列，得sin?3=sinAsinC,由正弦定理得尸=ac,

由余弦定理得人2=a?+/—2accos5,BPac-a'+c^—ac,解得。=c,因此△ABC是

正三角形；

若△ABC是正三角形，则A=3=C=工，sinA=sinB=sinC=—,

32

因此A,B,C成等差数列且sinA,sin8,sinC成等比数歹！J,

所以“△ABC是正三角形”是“A,B,C成等差数列且sinA,sinB,sinC”成等比数列

的充要条件.

故选：C.

6.答案：C

解析：由题可知，画？=工莅n2丽—2丽=丽—丽n丽7=工丽+工砺，

222

而=3反=3网-而"而

所以有就=!丽+!丽=工丽宓，所以彳=工,〃=3,得几+〃=］.

2228288

故选:C

7.答案：C

解析：［、£是平面内所有向量的一组基底，

录与4一瑟，不共线，可以作为基底，

4+1与1—3不共线，可以作为基底，

-34+6弓=-3何-2可,故冢―2%与-3鼻+6区共线，不可以作为基底，

21+3区与］-2不共线，可以作为基底，

故选：C.

8.答案：A

解析：由卜一2可=12万一可=2得筋一4万名+4小=4，皿2—4无B+庐=4，

两式相减得，同=W=1，所以1-4&石+4=4,则G=：.

故选:A.

9.答案：BC

解析：对于A选项，在△ABC中，因为7+9―。2>0,又“2+方2—2成85。，

所以cosC>0,即C为锐角，但题中没有告诉C最大，

所以△ABC不一定是锐角三角形，故A错误；

对于B选项,，=上=二,由正弦定理得出=迹=地£,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

整理得tanA=tanB=tanC，即A=3=C，△ABC一定是等边三角形，故B正确;

对于C选项，因为兀〉A〉3>0，y=cosx在（0,兀）单调递减，

所以cosA<cosB，故C正确；

对于D选项，由功之。°,得廿》（专）所以―/W—J

22{a+c\

2

由余弦定理可得d。3p+c）1，

cosB=--------------<-------------------=----------——

laclacSac4

3（。2+。2）」=包+主」22陛主」=L当且仅当。=c时，等号成立,

Sac48。8a4\8c8a42

则当"c,2Z?>a+c时,cosB」,即角3可以大于4，故D错误；

23

故选:BC.

10.答案：ACD

解析：A项，若a〃A,则2sine=cosi,即tana=」也,=J_,故A项正确；

cosa2

B项，若〃_1〃，则〃•）=sina+2cosa=0,所以tana="n"=一2,故B项错误;

cosa

C项'f(^)=ab=sincif+2COS<7=A/5sm{a+cp),其中sin0=-----,cos0=——,故

当？+夕=2左兀+］（keZ）时，/（。）取得最大值占，此时

sin2kn-\-----(p

sma-4——-一^=您9=：,故c项正确;

tana=------

cos。cos(2k7i+；-e]'in。

D项，a-Z>=(cosiZ-l,sin(z-2),所以|a-\|=J(cosa-1)2+(sina—2)2

=Jcos2e-2cose+l+sin2«-4sin«+4

=16-2cosa—4sina=击-2^5sin(a+cp),

即|a-"的最大值为《6+26=7(75+1)2=75+1,故D项正确.

11.答案：BD

解析：对于A,忖=忖不能得到Z，B的方向，故A错误，

对于B,若2=-b，则2〃石，B正确，

对于C,向量不能比较大小，故C错误，

对于D,若£==3则£="，D正确，

故选:BD

12.答案：亚

解析：^BD=mBC=(6m,3m)^

则标=荏+而=(1,3)+(6加,3加)=(6加+1,3加+3)，

由AD-BC=0得AD-BC=6(6根+1)+3(3根+3)=36m+6+9+9m=0，

解得〃z=—故莅=(1—2,3—1)=(-1,2)，所以|而|=’(—1)2+22=«.

故答案为：下.

13.答案：5

22

解析：由椭圆C方程土+2L=i,知。=2后.

84"

如图,延长耳M、8P交于点N,由题意可知=NNPM,

又因为PM则〃为耳N的中点，且归耳|=|尸N|,

所以，优N|=|PN|+|尸闾回尸耳|+|尸阊=2a=40,

又因为。为耳鸟的中点，则|0叫=3优2=3义40=20.

故点M的轨迹E为以。为原点,20为半径的圆，圆的方程为必+产=8.

设在x轴上存在定点T(«i,O)，使得圆上任意一点Q(x,y),满足出刀=日|。川,

由A(4,0)，则"rnj+F等".+.

化简得x2+y2-4(m-2)x+2(m2-8)=0,

又.../+y2=8，代入得4(m—2)x—2机②+8=0,

要使等式恒成立，则(机一2：°，即机=2.

8-2m2=0

二存在定点T(2,0),使圆上任意一点。满足出刀=3出山,

则〕安人@+忸@=出3+以5巧忸T卜当0,3,7三点共线(B,T位于。两侧)时，等号成立.

由7(5,4)，则\BT\=J(5-2『+(4—0/=5，

所以4恒0+忸口之5,当。，昆T三点共线(B,T位于Q两侧)时等号成立.

如图，连接3T，线段3T与圆0的交点即为取最值时的点。，此时取到最小值5.

故答案为：5.

解析：因为〃=2,且bcosA-2cosJB=Q,所以bcosA-QCOS5=Q

由正弦定理一--=—-—得：sinBcosA—sinAcos5=sinA，所以sin(5-A)=sinA

sinAsin3v7

又锐角三角形ABC中，则笈―A=A，即5=2A

0C<AA<—兀

2

所以C=7i—A—5=兀—3A，由于锐角三角形ABC，所以＜0<2A<-,解得

2

71

0〈兀—3A<2

2

—兀<A4<—兀

64

所以c-2c-asinC-sinAsin（2A+A）-sinA

bbsinBsin2A

2sinAcos*2A+cos2AsinA-sin3A-sinA

2sinAcosA

2cos2A+cos2A-sin2A-l4cos2A-2八1

=----------------------------------=---------------=2cosA4---------

2cosA2cosAcosA

由于四<A<2,则y=cosA在［巴，巴］上递减，y—在（巴，巴］上递增

64164；」cosA164；

所以£ZZ=2COSA--L在匡巴］上递减，于是有2cosA--Ljo,且］,即匕

bcosA<64JcosA13Jb

的取值范围为

故答案为:

15.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）法一：由sinA+^cosA=2,得^sinA+且cosA=1,

22

所以sin［A+m［=1.

因为0＜4＜兀，所以巴〈A+囚〈生，

333

所以A+呆？故4吟

法二：由sinA+石cosA=2,得/cosA=2-sinA,

两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

则3(^l-sin2=4-4sinA+sin2A,

整理，得l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—2sinA)2=0,则sinA=」.

2

因为0<4<兀，所以A=二或A=型.

66

当4=乌时，sinA+6cosA=2成立，符合条件；

6

当A=2时，sinA+百cosA=2不成立，不符合条件.

6

故A

6

法三：由sinA+百cosA=2,得sinA=2一百cosA,

两边同时平方，得sin?A=4-4A/3COSA+3COS2A,

则l-cos?A=4-4A/3COSA+3cos2A,

整理，得3-4后cosA+4cos2A=0,

所以(G—2COSA)2=0,贝I]COSA=3.

因为0<A<7l,所以人=二.

6

(2)由41bsinC=csin25,得&Z?sinC=2csinBcosB,

由正弦定理，得枝bc=2cbcosB,所以cosB=交,

2

因为0<6<兀，所以3=2

4

7兀

C=Jr—(A+B)=,

7jr7171.兀7171.71

所以sinC=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sm—

12343434

A/3V21A/2A/6+A/2

=------X----------F—X-------=-------------------

22224

法一：由正弦定理^=上=^,得/,=竺*=—^=2后，

sinAsinBsinCsinA.兀

sin—

6

c.7兀

•k2sin——

c=竺』—Q=n+

sinA.二

6

所以ZVIBC的周长为a+6+c=2+痛+3后.

法二：由正弦定理^=―竺=^,

sinAsinBsinC

4日。a+b+c2.

PT-----------------------------4>

sinAsinA+sinB+sinC-兀

soin——

6

B/A+历、

所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4x—H----1--------=2+A/6+3^2,

I224J

所以ZVIBC的周长为2+的+3血.

16.答案：(l)(z=/7；

(2)7+2710

解析：(1)因为成J_万，所以/?3-°)+(<;-4)(4+°)=0

整理得62+02_6=历,

所以由余弦定理可得cosA="+c2—1=工

2bc2

因为A£（0,兀），所以A=工

3

又诟=”-通+-^正

b+cb+c

所以一^―而一一—AB=-^-AC———AD,BPbBD=eDC)§P—=—

b+cb+cb+cb+cDCBD

记NAOC=y,则在△AB£＞，△ADC中由正弦定理可得:

./、csinaZ?sinB

sin(7i-Y)------，sin/=------

BDDC

所以空吧="她，即sina=sin〃

BDDC

又因为A=/，所以/〃e(O，m)，所以。=分

(2)由(1)知里吧=羽她

BDDC

因为sin，=2sintz,所以岁2=£,所以瓦5=--~BC

DC2b2b+c

所以莅=荏+丽=丽+—^—就=通+—^（衣—通）=^-通+—^—衣

2b+c2b+c2b+c2b+c

因为AD=A/7，AB-AC=bccos—=—bc

32

所以（二+^_恁）2=7,整理可得％+cMc，即c=2^〉0

2b+clb+cb—1

由sin4=2sina,a+〃=；可得sin1]—。）=2sin。，展开整理得sina=^-cosa

所以史—osa+cos2a-\y所以cosa=

I5J