苏科版七年级数学上册同步练习：解一元一次方程

4.2.1解一兀一■次方程

分层练习

基础练

考察题型一等式的性质

1.下列运用等式的性质，变形不正确的是（）

A.若％=y,贝!J%+5=y+5B.若a=b,则收=bc

C.若九=y,则2=2D.若色=2(c，0),贝!Ja=Z?

aacc

2.下列变形正确的是()

A.若3光—1=2%+1,则3%+2%=—1+1

B.若1一^——二%,贝|2—3%—1=21

2

C.若3(%+1)—5(1—％)=2,则3%+3—5+5无=2

川x+1O.lx-10x+1010x1

D.右----------=0.l,贝！J-------------------=l

0.20.0323

考察题型二解一元一次方程

I.解方程等！一色子=1时，去分母正确的是（）

A.2x+l-（l0x+l）=lB.4x+l-l0x+l=6

C.4x+2-10x-l=6D.2（2x+l）-（l0x+l）=l

2.小明解方程至口-2=空」的步骤如下：

23

解:方程两边同乘6得：3（3尤+1）-12=2（2元一1）,第一步

去括号得：9x+3-12=4%-2,第二步

移项得：9x-4x=-2-3+12,第三步

合并同类项得：5x=7,第四步

系数化为1得：%=-.第五步

7

（1）以上解题步骤中，开始出错的是第一步；

（2）直接写出方程的解.

3.解下列方程:

(1)-(3x-6)=-%-3；

65

(2)1Z^=1£±1-3.

37

4.解下列方程:

(1)4(尤+3)=2—5(尤+1)；

(2)5%+4+%-1_25%-5

“3~7~~一~\2~

5.解下列方程:

⑴舒-。“6；

(、0.4%+0.90.2%+0.3

(2)—+1.

0.50.3

考察题型三利用一元一次方程的解求参、求解

【直接求参】

1.已知x=-l是方程2依-11=4—2的解，贝.

2.已知：关于x的方程*=处二的解是x=2,其中ax。且6x0,则代数式。的值是()

25a

【先求参，再求解】

3.若方程以+〃=3的解是兀=5,则关于％的方程a(x+l)+b=3的解是

4.整式如+孔的值随工的取值不同而不同，表是当x取不同值时对应的整式的值:

则关于x的方程一如+〃=8的解为.

X-2-1012

mx+n7531-1

【先求解，再求参】

5.已知关于%的方程立=4-工，有正整数解，则整数化的值为一.

6.已知。，人为定值，关于X的方程且^=1—2上如，无论左为何值，它的解总是1,则a+〃=

36

7.如果关于x的方程5m+3元=1+%的解比关于x的方程2元+m=3相的解大2,求相的值？

8.已知关于x的方程2[x-2(x-S]=3x和*-匕至=1有相同的解，求。与方程的解.

4912

9.已知关于x的一个方程(m-3)9加2_18=0是一元一次方程.

(1)m=；

(2)若这个方程的与关于y的一元一次方程＞一252=”+彗1的解互为相反数，求〃的值.

考察题型四新定义

ah

1.对任意4个有理数a、b、c、d,定义新运算,=ad-bc.

cd

9

(2)若=35,求x的值.

-x1

/、4x+132x53,,..

(3)右=，求x的值.

x—1221

2.用“*”定义一种新运算：对于任意有理数[和b,规定a*Z?=a02+2ab+〃，

如：1*3=1x32+2x1x3+1=16.

(1)求2*(-2)的值；

(2)若[(3)*(-3)]*』=a+4,求”的值.

22

3.对于任意四个有理数a、b、c、〃，可以组成两个有理数对(a,6)与(c,d).规定：(a,b)*(c,d)=ad-bc.如:

(1,2).(3,4)=lx4-2x3=-2.根据上述规定解决下列问题：

(1)求有理数对(5,-4)*(3,2)的值；

(2)若有理数对(3,！x+l)*(2,2元-1)=15,求x；

2

(3)若有理数对(％,x+l)*(3,2%-1)的值与x的取值无关，求左的值.

4.我们规定，若关于x的一元一次方程办=6的解为x=6-则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4

的解为2,且2=4-2,则方程2x=4是差解方程.

请根据上述规定解答下列问题:

（1）判断3x=4.5是否是差解方程；

（2）若关于x的一元一次方程5x=〃z+l是差解方程，求”7的值.

5.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”.

例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”.

（1）若关于x的方程3x+〃z=0与方程4x-2=x+10是“和谐方程”，求机的值；

（2）若“和谐方程”的两个解的差为4,其中一个解为〃，求”的值；

（3）若无论沉取任何有理数，关于x的方程背上+机"、6为常数）与关于y的方程y+l=2y-2

都是“和谐方程”，求的值.

提升练

1.解方程:--------1-----------F-H---------------------=2023.

1x22x32023x2024

2.我们规定，关于尤的一元一次方程皿=〃（7〃/0）的解为尤=〃7+〃，则称该方程为和解方程，例如2;v=T

的解为x=-2=-4+2,则方程为和解方程.

请根据上边规定解答下列问题：

（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有一.

„7?Q

①一x=——；②-3x=—;③5x=-2.

334

（2）若关于x的一元一次方程3x=2。TO是和解方程，则。=—.

（3）关于x的一元一次方程3x=a+b是和解方程，则代数式。（/》+1）+以1-/）的值为.

（4）关于x的一元一次方程3x=a+6是和解方程且它的解为x=a,求代数式2以（4+6）的值.

3.阅读理解学：

我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式,

而分数属于有理数.那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：

问题：利用一元一次方程将0.7化成分数.

设0.7=x.

由0.7=0.7777…，可知10x0.7=7777…=7+0.7777...=7+0.7,

即10x=7+x.

可角军得尤=［，即o.7=?.

99

（1）将0.5直接写成分数形式为一.

（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.

①0.27；

②0.136.

4.2.1解一兀一■次方程

分层练习

基础练

考察题型一等式的性质

1.下列运用等式的性质，变形不正确的是（）

A.若％=y,贝!J%+5=y+5B.若a=b,则收=bc

C.若九=y,则2=2D.若色=2（c，0）,贝!Ja=Z?

aacc

【详解】解：A＞若x=y,则x+5=y+5,此选项正确；

B、若a=b,则呢=6c,此选项正确；

C、若x=y,当awO时土=2,此选项错误；

aa

D、若4=2（cw0）,则a=。，此选项正确.

CC

故本题选：C.

2.下列变形正确的是（）

A.若3x—l=2x+l,贝!）3x+2x=—l+l

3y_1

B.^1-—=x,贝IJ2—3%—1=2%

2

C.若3（%+1）—5（1—%）=2,贝！J3%+3—5+5无=2

型x+10.1%-.10x+1010x1

D.右---------=0.l,则mi------------二1

0.20.0323

【详解】解：A.若3%—1=2%+1,则3%—2%=1+1,故本项错误；

B.若1一"二=》，贝1]2—（3无-1）=2无，故本项错误；

C.若3（%+1）—5（1—%）=2,贝ij3%+3—5+5%=2,故本项正确；

c廿X+10.1%…rn,.10x+1010x田+TH&+F、口

D.右---------=0.1,则------------=0.1,故本项错误.

0.20.0323

故本题选：C.

考察题型二解一元一次方程

1.解方程23一”『=1时，去分母正确的是（）

A.2x+l-(10x+l)=lB.4-x+1—lOx+1=6

C.4x+2-10x-l=6D.2(2x+1)-(1Ox+1)=1

【详解】解：方程两边同时乘以6得：4x+2-(10x+l)=6,

去括号得：4x+2-10x-l=6.

故本题选：C.

2.小明解方程主乂-2=生」的步骤如下：

23

解：方程两边同乘6得：3(3x+l)-12=2(2x-l),第一步

去括号得：9x+3—12=4x—2,第二步

移项得：9x—4x=—2—3+12,第三步

合并同类项得：5x=7,第四步

系数化为1得：x=-.第五步

7

(1)以上解题步骤中，开始出错的是第一步；

(2)直接写出方程的解.

【详解】解：解：(1)由解方程的过程可知：出错的是第五步，

故本题答案为：五；

(2)方程两边同乘以6得：3(3x+l)-12=2(2x-l),第一步

去括号得：9x+3-12=4x-2,第二步

移项得：9x-4=-2-3+12,第三步

合并同类项得：5x=7,第四步

系数化为1得：x=~.第五步

5

3.解下列方程：

(1)-(3x-6)=-^-3；

65

(2)lz^=^±l_3.

37

【详解】解：(1)去分母得：5(3%-6)=12%-90,

去括号得：15x-30=12x-90,

移项合并得：3x=-6O,

系数化为1得：x=-20；

(2)去分母得：7(l-2x)=3(3%+1)-63,

去括号得：7-14x=9x+3-63,

移项合并得：-23x=-67,

系数化为1得：x=—.

23

4.解下列方程：

(1)4(x+3)=2-5(x+l)；

/-、5x+4x-l-5%-5

(2)+------=2-----------.

3412

【详解】解：(1)去括号得：4x+12=2-5x-5,

移项得：4x+5x=2-5-12,

合并同类项得：9x=-15,

系数化为1得：%=

3

(2)去分母得：4(5x+4)+3(尤-1)=24—(5x-5),

去括号得：20x+16+3x—3=24—5x+5,

移项得：20x+3x+5x=24+5-16+3,

合并同类项得：28x=16,

系数化为1得：%=--

7

5.解下列方程：

/c、0.4x+0.90.2%+0.3

(2)=-------------+11.

0.50.3

【详解】解：(1)去分母得：2(尤-1)-5(x-6)=1.6,

去括号得：2x—2—5x+30=L6,

移项合并得：-3x=-26.4,

系数化为1得：x=8.8；

(2)方程整理得：生土2=空0+1,

53

去分母去括号得：12x+27=10x+15+15,

移项合并得：2x=3,

系数化为1得：x=l.5.

考察题型三利用一元一次方程的解求参、求解

【直接求参】

1.已知彳=一1是方程2依—11=4-2的解，贝l]a=.

【详解】解：x=—1是方程2ox—11=。—2的解，

二把x=—l代入方程2依一ll=a—2得：-2a-ll=a-2,

解得：a=—3.

故本题答案为：-3.

2.已知：关于x的方程上=竺至的解是*=2,其中且6/0,则代数式幺的值是()

25a

A.-B.--C.-D.--

4455

【详解】解：把x=2代入方程士=处把得：—

2525

去分母得：5(2+0=2(26+5),

去括号得：10+5a=4b+10,

4

化简得：5a=4b,a=—b,

b_b_5

故本题选：A.

【先求参，再求解】

3.若方程办+6=3的解是％=5,则关于x的方程a(x+l)+b=3的解是.

【详解】解：把元=5代入方程⑪+〃=3得：5a+〃=3,

3—b=5a,

,a(x+1)+/?=3,

.二双+a+Z?=3,

:.ax=3—b—a,

j.ax—Sa—ay

ax:=4aJ

QWO,

/.%=4；

法二：由整体法可得：%+1=5,

x=4.

故本题答案为：x=4.

4.整式如:+〃的值随x的取值不同而不同，表是当了取不同值时对应的整式的值:

则关于X的方程THX+几=8的解为.

X-2-1012

mx+n7531-1

【详解】解：尤=0时，mx+n-3,

.'.mxO-hn=3,

解得：M二3,

%=1时，mx+3=1,

.\m+3=l,

解得：m=—2>

二.—(―2)x+3=8,

7.2x+3=8,

移项得：2%=8-3,

合并同类项得：2x=5,

系数化为1得：X=*.

2

故本题答案为：彳=9.

2

【先求解，再求参】

5.己知关于x的方程质=4-x,有正整数解，则整数%的值为

【详解】解：移项得：kx+x=A,

合并同类项得：x(左+1)=4,

系数化为1得：x=—,

k+1

:方程有正整数解，

.,.左+1=4或左+1=2或左+1=1,

解得：左=3或左=1或左=0.

故本题答案为：3或1或0.

6.已知。，人为定值，关于x的方程包£=1—生出，无论上为何值，它的解总是1,则〃+)=

36

【详解】解：把％=1代入方程如叱=1—生出得：*=1—七出，

3636

2(k+d)=6-(2+bk)，

2k+2a=6—2—bk,

2k+bk+2a—4=0,

(2+如+2a—4=0,

「无论左为何值，它的解总是1,

2+/?=0»2a—4=0,

解得：b=—2，a=2,

贝iJa+h=0.

故本题答案为：0.

7.如果关于x的方程5m+3无=l+x的解比关于冗的方程2x+相=3切的解大2,求相的值？

【详解】解：解方程5m+3兄=1+%得：1=匕网，

2

解方程21+根=3相得：x=m,

根据题意得：匕网-机=2,

2

解得：m=——.

7

8.已知关于%的方程2[x-2(x-@)]=3x和上-1=1有相同的解，求。与方程的解.

4912

【详解】解：解第一个方程得：%=-,

5

解第二个方程得：户空,

弥士，解得65

CL=-----

11

13

11

9.已知关于x的一个方程⑺-3)”T—18=0是一元一次方程.

(1)m=

(2)若这个方程的与关于y的一元一次方程y-宁=〃+马9的解互为相反数，求〃的值.

【详解】解：(1)-方程(m-3)那口-18=0是关于x的一元一次方程，

m|-2=1且机一3w0,

解得：加=—3,

故本题答案为：-3；

(2)由(1)知：m=3

则这个方程为：(-3-3)1-18=0,

解得：龙=—3,

「这个方程的与关于y的一元一次方程y-1=〃+马9的解互为相反数，

1的解为y=3,

4Ec/41y—22y—1zgc3_22x3—1

把y=3代入y------=n-\------得：3---------=n-\--------，

2323

解得：n=—.

6

考察题型四新定义

ab

1.对任意4个有理数。、b、c、d,定义新运算=ad-bc.

cdf

、④14

(1)求=

35------

3x2

(2)若=35,求x的值.

—X1

,、#x+132x5,,..

(3)若=、，求x的值.

x—1221

【详解】解：⑴根据题中的新定义得：5-12=-7,

故本题答案为：-7；

(2)根据题中的新定义化简得：3x+2%=35,

解得：x=7；

(3)根据题中的新定义化简得：2x+2-3x+3=2x-10,

解得：x=5.

2.用“*”定义一种新运算：对于任意有理数〃和/?,规定a*b="2+2〃Z?+a,

如：1*3=1x32+2x1x3+1=16.

(1)求2*(—2)的值；

(2)若[(-)*(-3)]*<=。+4,求。的值.

【详解】解：(1)2*(-2)=2x(-2)z+2x2x(-2)+2=2；

⑵-*(-3)=丁(-3)+2x--x(-3)+—=2«+2,

111OzyQ

(2a+2)*—=(2a+2)x(—)2+2x(2a+2)x—+(2a+2)=---F—,

日口.99

即a+4=—a+—,

22

解得：a=--.

7

3.对于任意四个有理数。、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).规定：(a,6)*(c,d)=ad-be.如:

(1,2).(3,4)=lx4-2x3=-2.根据上述规定解决下列问题：

(1)求有理数对(5,-4)*(3,2)的值；

(2)若有理数对(3,；x+l)*(2,2x-l)=15,求x；

(3)若有理数对(3x+l)*(3,2彳-1)的值与x的取值无关，求左的值.

【详解】解：(1)原式=5*2-(Y)x3=10+12=22；

(2)(3,L+l)*(2,2x-l)=15,

2

3x(2x—1)—2x(gx+1)=15,

6x—3—x—2=15,

6x—x—15+3+2,

5x=20,

x=4；

(3)原式=kx(2x-l)-3x(x+l)=2kx一左一3x—3=(2k-3)x-k-3,

・有理数对(-x+l)*(3,2]-1)的值与x的取值无关，

2k—3—0,

4.我们规定，若关于x的一元一次方程分=b的解为x=6-则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4

的解为2,且2=4-2,则方程2x=4是差解方程.

请根据上述规定解答下列问题：

(1)判断3x=4.5是否是差解方程；

(2)若关于x的一元一次方程5x=m+l是差解方程，求〃7的值.

【详解】解:(1)3x=4.5,

「.％=1.5，

4.5—3=15,

3x=4.5是差解方程；

n+

(2)解方程5x=m+1得：x=--9

5

,关于龙的一元一次方程5%=m+1是差解方程，

4

5.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”.

例如：方程2%=4和%+2=0为“和谐方程”.

(1)若关于九的方程3%+相=0与方程4x-2=x+10是“和谐方程”，求相的值；

(2)若“和谐方程”的两个解的差为4,其中一个解为〃，求〃的值；

(3)若无论机取任何有理数，关于x的方程生詈=^+机(。、6为常数)与关于y的方程y+l=2y-2

都是“和谐方程”，求的的值.

【详解】解：(1)「方程3x+m=0的解为x=-‘，

3

方程4x-2=x+10的解为x=4,

m“八

——+4=0,

3

解得：%=12；

(2)根据题意得：〃一(一〃)=4或一〃一〃=4,

K=2或〃=—2；

(3).•方程y+l=2y-2的解为y=3,且两个方程为“和谐方程”，

x——3，

Wn-k-6+mab

当尤=—3oH于，-------=—+m,

32

..—12+2ma=3Z?+6m，

(2a—6)m=3Z?+12,

■无论加取任何有理数都成立,

/.la—b=0,3Z?+12=0,

a=3,b=—4，

.\ab=—12.

提升练

XXx

1.解方程:---+----+H-----------------------=2023.

1x22x32023x2024

1-一+11

【详解】解:x=2023，

2232023—2024

1

1-%=2023

2024

2023

%=2023

2024

x=2024.

2.我们规定，关于x的一元一次方程如=〃（加力0）的解为了=根+〃，则称该方程为和解方程，例如2x=T

的解为%=-2=T+2,则方程为和解方程.

请根据上边规定解答下列问题：

（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有一・

7?Q

@—x=—；②—3x=—；③5%=—2.

334

（2）若关于x的一元一次方程级=2。-10是和解方程，则。=.

（3）关于x的一元一次方程3x=a+〃是和