苏科版九年级数学上学期期中专项复习：圆心角、圆周角【考题猜想32题7种题型】（原卷版+解析）

专题04圆心角、圆周角（32题7种题型）

一、利用弧、弦、圆周角关系求解（共4小题）

1.（2022秋•福建厦门•九年级厦门市莲花中学校考期中）已知：如图所示，A,B,C,。是。。上的点，且

4C=BD＞鉴端OB=125掳，求乙C0。的度数.

2.（2022秋•浙江绍兴•九年级校联考期中）如图，AB是。。的直径，C是的中点，CELAB于E,BD交

CE于点F.

⑴求证：CF=BF；

（2）若CD=6,AC=8,则。。的半径和CE的长.

3.（2022秋・福建泉州•八年级统考期末）如图，NA08按以下步骤作图：①在射线上取一点C,以点。

为圆心，OC长为半径作圆弧尸。，交射线于点。；②连接C。，分别以点C、。为圆心，CD长为半径

作弧，交圆弧尸。于点M、N；③连接OM,.根据以上作图过程及所作图形完成下列作答.

/\\c^

/V

Q

（1）求证：垂直平分MD

⑵若饕端OB=30掳，求NMON的度数.

（3）若鉴斓0B=20掳，0C=6,求MN的长度.

4.（2022秋•浙江宁波・九年级校联考期中）如图，AB是。。的直径，点C在。。上，CD金出B,垂足为D,

且，BE分另ij交CD、AC于点F、G.

C

⑴求证：；

（2）求证：F是BG的中点.

二、利用弧、弦、圆周角关系证明（共5小题）

5.（2022秋•江苏盐城•九年级校考期中）如图，点A,B,C,。在。。上，AB=CB求证：AC=BD；

6.（2022秋.江苏淮安.九年级统考期中）如图，点A、B、C、D在。O上，ZADC=60°,.请判断4ABC

的形状，并说明理由.

7.（2022秋・北京东城•九年级汇文中学校考期中）如图，&A8c内接于金出樟，高AD经过圆心0.

A

⑴求证：AB=AC；

（2）若BC=16,剑椁的半径为10.求乙ABC的面积.

8.（2022秋・江苏无锡・九年级统考期中）如图，在R//4BC中，ZBAC=90°,以点A为圆心，AC长为半径

作圆，交BC于点、D,交AB于点E,连接。E.

（1）若NA2C=20。，求NDEA的度数；

（2）若AC=3,AB=4,求CD的长.

c

9.(2022秋・北京房山.九年级统考期中)如图，AB为黜椁的直径，弦CD黜B于点E,连接DO并延长交细樟

于点足连接AF,.

⑴求证：；

(2)连接AC,若AB=12,求AC的长.

三、利用圆周角定理求解(共4小题)

10.(2022秋•贵州黔西•九年级统考期中)如图，正方形ABC。内接于0O,P为上的一点，连接。P,CP.

(1)求NCP。的度数；

(2)当点尸为的中点时，CP是。。的内接正"边形的一边，求〃的值.

11.(2022秋・吉林长春.九年级校考期末)如图，BE是圆。的直径，点A和点。是。。上的两点，过点A

作。O的切线交8E延长线于点C,

(1)若/AOE=25。，求/C的度数；

(2)若AB=AC,CE=2,求＜30半径的长.

12.(2022秋•贵州黔西•九年级统考期中)如图，以四边形ABC。的对角线8。为直径作圆，圆心为O,过

点A作AE黜D的延长线于点E,已知D4平分.

（1）求证：AE是金出樟的切线；

（2）若AE=4,CD=6,求幼樟的半径和AD的长.E

13.（2022秋•湖北恩施•九年级校考期中）如图所示，AB是。0的一条弦，OD金出B,垂足为C,交00于点D,

点E在。0上.

（1）若鉴斓0D=52掳，求的度数.

（2）若0C=3,OA=5,求AB的长.

D

14.（2022秋•江西赣州•九年级期末）如图，43是。。的直径，弦于点E,连接AC,BC.

（1）求证：/A=/BCD；

（2）若42=10,CD=6,求BE的长.

四、利用圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）求解（共4小题）

15.（2022秋・广东韶关•九年级统考期末）如图，A8是。。的直径，C£）是。。的一条弦，且COLA8于E,

连接AC,OC,BC.

(1)求证：Z1=Z2；

(2)若BE=2,CD=6,求。。的半径的长.

16.(2022秋・广东中山•九年级校联考期中)如图，4B是00的直径，点C为的中点，CF为。0的弦，且.垂

足为E,连接BD交CT于点G,连接CD,AD,BF.

(1)求证：△BFGVCOG；

(2)若AD=BE=4,求的长.

17.(2022秋・北京•九年级北京市陈经纶中学分校校考期末)如图，在。。中，=,COLOA于点。，CEL

08于点E.

(1)求证：CD=CE；

(2)若NAOB=120。，。4=2,求四边形。OEC的面积.Q

18.(2022秋.安徽.九年级校联考期末)如图，AB是黜椁的直径，C是弧BD的中点，CE黜B于点E,BD交

CE于点F.

(1)求证：CF=BF；

(2)若CD=2,AC=4,求剑樟的半径及CE的长.

五、利用圆周角定理推论(半圆(直径)所对的圆周角是直角)求解(共6小题)

19.(2022秋•浙江绍兴•九年级统考期末)如图，四边形ABCD内接于金出樟，AC为剑椁的直径，.

B

(1)试判断乙A8c的形状，并给出证明；

(2)若AB=V2,AD=1,求CD的长度.

20.(2022秋.云南曲靖・九隼级校考期中)如图，以A8为直径作黜樟，在黜椁上取一点C,延长至点£>,

连接。C,,过点A作AE黜D交。C的延长线于点E.

(1)求证：CD是细樟的切线；

(2)若CD=4,DB=2,求AE的长.

21.(2022秋.江苏南京•九年级校考期中)如图①，在AABC中，CA=CB,D是△ABC外接圆细椁上一点,

连接CD,过点B作，交AD的延长线于点E,交触椁于点F.

(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；

(2汝口图②，若AB为金出樟直径，AB=7,BF=1,求CD的长.

22.（2022秋・福建南平.九年级统考期末）如图，四边形ABC。为菱形，以为直径作。。交A8于点R

连接08交。。于点反，过点。作。。的切线交BC于点E.

⑴求证：AF=CE；

⑵若BF=2,DH=V5,求。。的半径.

23.（20Z2秋・福建福州•九年级校考期末）如图，AB为幼樟的直径，点C在金出樟上，连接AC,BC,过点。

作0D黜C于点D,过点C作剑椁的切线交0D的延长线于点E.

（1）求证：鉴契=鉴斓；

（2）连接AO.若CE=4近，BC=8,求的长.

24.（2022秋•江苏扬州•九年级统考期末）如图，AB为。O的直径，点C在。。上，NACB的平分线与A8

交于点E,与。。交于点。，尸为A8延长线上一点，且4c.

（1）试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由.

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半径及的长.

六、利用圆周角定理推论（90°的圆周角所对的弦是直径）求解（共3小题）

25.（2022秋・北京•九年级日坛中学校考期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点作.

（1）求证：AB是的直径；

（2）延长CB交于点E,连接DE,求证：DC=DE；

26.（2022秋•广东潮州・九年级统考期末）如图，Rt-NSC中，鉴斓CB=90掳，按要求完成下列问题:

B

C

（1）作出金目灰BC的外接圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；

（2）在（1）的条件下，若CD平分鉴端CB,CD交于点、D,连接AD,BD.求证：AD=BD.

27.（2022秋•安徽安庆•九年级期末）如图，AA8C中，ZACB=9Q°,AC=6,8c=8,点。是A8的中点.

⑴若以点。为圆心，以R为半径作。O,且点A,B,C都在。。上，求R的值；

⑵若以点2为圆心，以r为半径作。2,且点O,A,C中有两个点在。B内，有一个点在。8外，求r的取

值范围.

七、已知圆内接四边形求角度（共5小题）

28.（2022秋•陕西渭南.九年级统考期中）如图，四边形ABCD是的内接四边形.DB平分鉴斓DC,连接

0G0C金出D.

⑴求证：AB=CD；

（2）若，求鉴蜘DB的度数.

29.（2022秋.山东德州.九年级校考期末）如图，四边形ABC。内接于。。，OC=2,AC=2/.

（1）求点。到AC的距离；

（2）求/AOC的度数.

30.（2022秋•河南焦作・九年级校考期末）在用AABC中，AC=BC,将线段CA绕点C旋转a（0。<.<90。）,

得到线段C。，连接A。、BD.

AA

图1图2

⑴如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转a,则/AOB的度数为；

⑵将线段CA绕点C顺时针旋转a时

①在图2中依题意补全图形，并求的度数；

②若/BCD的平分线CE交2。于点孔交D4的延长线于点E,连结2E.用等式表示线段A。、CE、BE

之间的数量关系，并证明

31.（2022秋・广东广州•九年级铁一中学校考期末）已知：是金目坎BC的外接圆，且，饕艰BC=60掳，。为

上一动点.

⑴如图1,若点。是船的中点，饕领BA等于多少？

⑵过点B作直线AD的垂线，垂足为点E.

①如图2,若点。在和上，求证：CD=DE+AE.

②若点。在上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求饕端BD的最大值.

32.（2022秋.河北邢台・九年级统考期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题:

“如图1,在正方形ABC。中，Z£AF=45°,求证：EF=BE+DF.

小明同学的思路：：四边形A8CD是正方形，ZB=ZADC=9Q°.

把绕点A逆时针旋转到△A0E的位置,然后证明△AFEWAXFK'，从而可得EF=E'F.

E'F=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图1图2图3图4

（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:

如图2,在四边形ABCZ）中，AB=AD,/B=ND=90。,LEAF=-^BAD'直接写出EFBE,OF之间的

数量关系.

(2)【应用】如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,工£;，下二：二8八D，求证：EF=BE+

DF.

(3)【知识迁移】如图4,四边形4BPC是的内接四边形，8c是直径，AB=AC,请直接写出P8+PC与AP

的关系.

专题04圆心角、圆周角（32题7种题型）

一、利用弧、弦、圆周角关系求解（共4小题）

1.（2022秋•福建厦门•九年级厦门市莲花中学校考期中）已知：如图所示，A,B,C,。是。。上的点，且

AC=BD>饕端OB=125掳，求乙COD的度数.

【答案］

【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解.

【详解】解：♦•'A,B,C,。是剑椁上的点，AC=BD>

•'•AC-BC=BD-BC<即，

•'•LAOB-OD，

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键.

2.（2022秋・浙江绍兴•九年级校联考期中）如图，AB是。。的直径，C是的中点，CELAB于E,BD交

CE于点F.

（1）求证：CF=BF；

（2）若CD=6,AC=8,则。。的半径和CE的长.

【答案】（1）见解析

（2）5,y

【分析】（1）要证明CF=BF,可以证明NECB=NDBC；AB是。。的直径，则/ACB=90。，又知CE_LAB,

则NCEB=90。，根据同角的余角相等证出/ECB=NA,再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出/DBC=

NA,从而证出NECB=NDBC；

(2)在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2,又知，BC=CD,所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径;

再根据三角形面积求得CE的长.

【详解】(1)证明：：AB是。0的直径，

.".ZACB=90°,

.,.ZA=90°-ZABC.

VCEXAB,

.,.ZCEB=90o,

.\ZECB=90°-ZABC,

ZECB=ZA.

又：C是的中点，

NDBC=/A,

/.ZECB=ZDBC,

，CF=BF；

(2)解：；

；.BC=CD=6,

VZACB=90°,

??B=JBC2+AC2=562+82=10

/.©O的半径为5,

5.”=yAB-CE=jBC•AC

【点睛】此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高.此题综合性很强，

难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和

利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键.

3.(2022秋•福建泉州•八年级统考期末)如图，NAOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C,以点。

为圆心，0c长为半径作圆弧尸。,交射线于点。；②连接分别以点C、。为圆心，CQ长为半径

作弧，交圆弧于点M、N；③连接OM,.根据以上作图过程及所作图形完成下列作答.

DB

Q

(1)求证：04垂直平分MD

(2)若饕州OB=30掳，求/MON的度数.

(3)若柴斓0B=20掳，0C=6,求MN的长度.

【答案】(1)证明见解析；

⑵鉴燃0N=90掳；

(3)MN=6.

【分析】(1)由垂径定理直接证明即可得；

(2)根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；

(3)由(2)可得：，得出鉴燃0N=60掳，根据等边三角形得判定可得金目秧MN为等边三角形，即可得出

结果.

【详解】(1)证明：如图所示，连接

由作图可知，CM=CD,

是经过圆心的直线，

垂直平分MD；

(2)解：如图所示，连接ON,

VCM=CD=DN,

-LMON="OYTLCOD+d）ON=90*，

即饕弁ON=90掳;

（3）解：由（2）可得：

，鉴博ON=60掳,

VOM=ON,

...金吕秧MN为等边三角形，

/.MN=OM=OC=6.

【点睛】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合

运用这些基础知识点是解题关键.B

4.（2022秋•浙江宁波•九年级校联考期中）如图，AB是。。的直径，点C在。。上，CD黜B,垂足为D,

且，BE分别交CD、AC于点F、G.

C

⑴求证：；

（2）求证：F是BG的中点.

【答案】（1）答案见详解

（2）答案见详解

【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到饕端CD+鉴颊CB=90掳，AB+CD=90掳,

进而求证；

（2）由，，所以，FB=FC,再根据,CffB4/CC=/1UV3jTF=初,得出=LDCG>所以FC=FG,

即可得出FB=FG.

【详解】（1）解：：AB是。。的直径，

AMCB=90掳，

鉴斓（TO+爨领CB=90掳，

：CD金出B,

/.»AB+饕斓CD=90掳,

(2)解：V,

；.FB=FC,

-LCGB+乙CM=UCG+zBCF=90'，

=-DCG，

AFC=FG,

；.FB=FG,

；.F是BG的中点.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角.

二、利用弧、弦、圆周角关系证明（共5小题）

5.（2022秋.江苏盐城•九年级校考期中）如图，点A,B,C,。在。。上，超=2求证：AC=BD；

【分析】根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证.

【详解】证明：丁的=,

••桓+幽=第十曲

••，

：.BD=AC.

【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键.

6.（2022秋・江苏淮安・九年级统考期中）如图，点A、B、C、D在OO上，ZADC=60°,.请判断4ABC

的形状，并说明理由.

【答案】AABC是等边三角形，理由见解析.

【分析】由圆周角定理可知NADC=NABC=/BAC=/BDC=60。，再由三角形内角和定理可知/ACB=60。,

故可得出结论

【详解】AABC是等边三角形，

理由：：

；.AC=BC,

ZADC=60°,

...NABC=/ADC=60°,

.,.△ABC是等边三角形.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键.

7.（2022秋・北京东城•九年级汇文中学校考期中）如图，3A8C内接于黜樟，高AD经过圆心0.

A

⑴求证：AB=AC；

（2）若BC=16,细樟的半径为10.求©ABC的面积.

【答案】（1）见解析

（2）128

【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可求解.

（2）连接OB,勾股定理求得OD,继而得出AD,根据三角形面积公式进行计算即可求解.

【详解】（1）证明：：AD黜C,

AAB=AC；

(2)如图，连接OB,

VAD黜C,

1

JBD=-BC=8,

2

椁的半径为10.

.*.BO=10,

在Rt??BD中，BO=10,BD=8,

・・・OD=VOB2-BD2=6,

AAD=AO+OD=10+6=16,

:=xAD=16x16=128*

A

【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

8.(2022秋・江苏无锡・九年级统考期中)如图，在R///8C中，ZBAC=90°,以点A为圆心，AC长为半径

作圆，交BC于点D,交AB于点E,连接。E.

(1)若/A8C=20。，求NDEA的度数；

(2)若AC=3,AB=4,求CD的长.

【分析】(1)连接A。，求出/ZME,再利用等腰三角形的性质解决问题即可；

(2)如图，过点A作AfUCD,垂足为足利用面积法求出AF,再利用勾股定理求出CE,可得结论.

【详解】解：(1)如图，连接AD

'：AC=AD,

：.ZACD=ZADC=70°,

：.ZCAD=180o-70°-70o=40°,

/.ZDAE=90o-40o=50o.

又：Ar>=AE,

:.NDEA=NADE=3(180°-50°)=65°；

(2)如图，过点A作AP_LC£),垂足为K

22

：.AF=f

9

：AC=ADfAF±CD,

：.CD=2CF=—.

5

【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.13

9.（2022秋•北京房山•九年级统考期中）如图，AB为剑樟的直径，弦CD剑B于点E,连接DO并延长交细樟

于点尸，连接AF,.

⑴求证：；

（2）连接AC,若AB=12,求AC的长.

【答案】（1）见解析

（2）AC=6

【分析】（1）根据题意和垂经定理得,纥=衲，根据得，即可得；

（2）连接0C,根据直径的长可得0A=6,根据得饕端0C=60掳，根据0A=0C得金目坎0C是等边三角形,

即可得.B

【详解】（1）证明：：AB为斜1棒的直径，CD黜B,

・"e=M，

•••£=行.

（2）解：如图所示，连接0C,

ZT--------

VAB=12,

0A=6,

•，

，4"_；x］；-：（：--不匕

VOA=0C,

...金目妖0C是等边三角形，

/.AC=0A=6.

【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点.

三、利用圆周角定理求解（共4小题）

10.（2022秋.贵州黔西•九年级统考期中）如图，正方形ABC。内接于。。，尸为上的一点，连接。P,CP.

/7B

⑴求NCP。的度数；

⑵当点尸为的中点时，CP是。。的内接正〃边形的一边，求〃的值.

【答案】⑴鉴臻PC=45掳

（2）n=8

【分析】（1）连接。。，OC,根据正方形ABC。内接于。。，结合圆周角定理可得NCPD；

（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出NCOP的度数，进而得出答案.

【详解】（1）解：连接。£>,OC,

正方形ABC。内接于。0,

/£(OC=90°

(2)解：连接P。，OB,如图所示:

正方形ABC。内接于。。,

ZCOB=90°,

点尸为的中点，

.,•九=360：45=8,

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对

的圆周角等于圆心角的一半.

11.(2022秋・吉林长春.九年级校考期末)如图，8E是圆。的直径，点A和点。是。O上的两点，过点A

作。。的切线交8E延长线于点C,

(1)若/ADE=25°,求/C的度数；

(2)若AB=AC,CE=2,求。。半径的长.

【答案】(1)NC=40。；(2)。。的半径为2.

【分析】(1)连接04利用切线的性质和角之间的关系解答即可;

(2)根据直角三角形的性质解答即可.

【详解】(1)如图，连接。4,

〈AC是。。的切线，04是。。的半径，

：.0A.LAC,

：.ZOAC=90°,

•・・4£=杷ZADE=25°,

：.ZAOE=2ZADE=50°f

：.ZC=90°-ZAOE=9Q°-50°=40°；

(2)\9AB=AC,

：./B=/C,

•if=Aff，

・•・NA0C=2NB,

：.ZA0C=2ZC,

・.・ZOAC=90°,

：.NAOC+N090。，

.'.3ZC=90°,

/.ZC=30°,

i

OA=-OC,

2

设。O的半径为r,

'：CE=2,

•*•?=-(r+2),

解得：r=2,

.••。0的半径为2.

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与

定理是解题的关键.

12.(2022稠贵州黔西•九年级统考期中)如图，以四边形ABC。的对角线8。为直径作圆，圆心为O,过

点A作AE黜D的延长线于点E,已知ZM平分.

B

E

(1)求证：AE是金出樟的切线;

(2)若AE=4,CD=6,求细椁的半径和AD的长.

【答案】(1)见解析

(2)5,2V5

【分析】(1)连接根据已知条件证明0A细E即可解决问题;

(2)取CD中点E连接。尸，根据垂径定理可得OF知D,所以四边形AER9是矩形，利用勾股定理即可

求出结果.

【详解】《1)证明：如下图，连接04

「AE黜D,

二鉴炎炎AE+嬖斓DE=90掳.

平分鉴端DE,

-LADE-tADO

XVOA=OD,

鉴炎炎A,E+鉴康AD=90掳,

.,.OAfetE,

是半径，

，AE是知樟切线;

(2)解El如上图，取CD中点P,连接OR

；.0F翅D于点R

...四边形AEFO是矩形.

VCD=6,

；.DF=FC=3.

在Rt/\OFD中，OF=AE=4,

AOD=VOF2+DF2=V42+32=5,

在Rt^AED中，

AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

.".AD=742+2?=V20=2V5,

；.AD的长是2遍.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线

的判定与性质.0

13.（2022秋・湖北恩施•九年级校考期中）如图所示，AB是。。的一条弦，0D金出B,垂足为C,交00于点D,

点E在。0上.

（1）若鉴斓OD=52掳，求的度数.

（2）若0C=3,0A=5,求AB的长.

【答案】（1）26°；⑵8

【分析】（1）欲求鉴颈EB,又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解;

（2）利用垂径定理可以得到AC=BC=1AB=4,从而得到结论.

【详解】解：（1）vODLAB>

二40=BB-

：.ADEB=z^AOD=：x52*=26*B

(2)：0C=3,0A=5,且0D黜B,

/.AC=VAO2-0C2=4,

VODSHiB,

,.AC—SC—AS=4，

鉴豳B=8.

【点睛】此题考查了圆周角定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出

AC=CB=4是解题关键.

14.（2022秋•江西赣州•九年级期末）如图，A8是。。的直径，弦COLA8于点E,连接AC,BC.

(1)求证：ZA=ZBCD；

(2)若AB=10,CD=6,求3E的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）BE=L

【分析】（1）由垂径定理可得先=即，再由圆周角定理即可得证;

（2）连接0C,结合已知求得0E的长即可求得答案.

【详解】（1）：直径AB,弦CD,

,rwwxm

,,ot=ffV，

.,.ZA=ZBCD；

⑵连接oc,

:直径AB，弦CD,CD=6,

；.CE=ED=3,

V直径AB=10,

；.CO=OB=5,

在RtACOE中，VOC=5,CE=3,

.,.OE=V52-32=4,

；.BE=OB-OE=5-4=1.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

四、利用圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）求解（共4小题）

15.（2022秋・广东韶关.九年级统考期末）如图，是。。的直径，是。。的一条弦，且COLAB于E,

连接AC,OC,BC.

(1)求证：Z1=Z2；

(2)若BE=2,CD=6,求。。的半径的长.

【答案】(1)见解析；(2)R=f

【分析】(1)根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AAOC是等腰二角形，即可求证.

(2)根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径.

【详解】(1)证明：

「AB是。。的直径，CZ)_LAB,

ZA=Z2.

又；OA=OC,

.'.Z1=ZA.

.•.Z1=Z2,

(2)为。。的直径，弦CD_L4B,CD=6

：.ZCEO=90°,CE=ED=3.

设。。的半径是R,EB=2,则。£=足2

在RtAOEC中，R2=(R-2/+32

解得：R=?

4

...。。的半径是区=".

4

【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理

证明和计算.

16.(2022秋•广东中山•九年级校联考期中)如图，A8是。0的直径，点C为的中点，为。。的弦，且.垂

足为E,连接BD交CP于点G,连接CDAD,BF.

F

⑴求证：39FG三"。G;

⑵若AD=BE=4,求BE的长.

【答案】(1)见解析

(2)473

【分析】(1)根据弧与弦的关系证明CD=BF,根据同弧所对的圆周角相等，证明d=QG，结合对顶角相

等，根据AAS证明：LBFG24CDG；

(2)连接OF,设。。的半径为r,由CF=B。列出关于厂的勾股方程即可求解；

【详解】(1)证明：：点C为的中点，

••，

是Q0的直径，且

；.CD=BF

••LF—LCDG

在△BFG和△COG中，

［占二KDG

z5Gff=zZ>GC

IftF=m

■:ABFGmACDG(AAS)；

(2)如图，连接。尸，设。。的半径为r,

/△AQB中，BD2=AB2-AD2,SPBD2=(2r)2-42,

Rf/XOEF中,OF2=OE2+EF2,BPEF2=r2-(r-4)2,

•••g一/二死♦开，

即，

，BD=CF,

.,.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,

即(2r)2-42=4[r2-(r-4)2],

解得：r=2(舍)或6,

BF2=EF2+BE2=62-(6-4)2+42=48

.•.BF=4后

【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识

是解题的关键.

17.(2022秋・北京•九年级北京市陈经纶中学分校校考期末)如图，在。。中，=,COLOA于点CE1

。3于点E.

⑴求证：CD=CE；

(2)若NAO8=120。，OA=2,求四边形。。EC的面积.

【答案】(1)见解析

⑵百

【分析】(1)连接OC,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NA0C=N80C,根据角平分线的性质定理证

明结论；

(2)根据直角三角形的性质求出。。，根据勾股定理求出CZ),根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】(1)证明：连接OC,

ZAOC=ZBOC,

又C0_LQ4CELOB,

:.CD=CE；

(2)解：VZAOB=120°,

ZAOC=ZBOC=60°f

,：ZCDO=90°,

・・・NOCO=30。，

JOD=-OC=l

2f

：.CD=VOC2-OD2=V22-12=V3,

△OC。的面积=：XODXC£)=F，

同理可得，△OCE的面积=》＜OExCE=苧，

/.四边形DOEC的面积=日月肖2=W.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如

果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

18.(2022秋•安徽・九年级校联考期末)如图，AB是金出椁的直径，C是弧BD的中点，CEB于点E,BD交

CE于点F.

(1)求证:CF=BF；

(2)若CD=2,AC=4,求剑樟的半径及CE的长.

【答案】(1)见解析

(2)。。的半径为4,CE=15

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等可证，根据CE剑B证明蒙煲BD+饕端CE=90掳，再利用直径

所对的圆周角等于90掳，证明爨燃CF+鉴斓CE=90掳，等量代换即可证明4CBD=-5CF，再利用等角

对等边即可证明CF=BF；

(2)证明CD=CB=2,再利用=7八SC=二CETB，即可求出CE.

■HAIP■•E

【详解】(1)证明：是的中点,

VCEB,

AB+饕端CE=90掳，

鉴煲BD+饕斓CE=90掳，

:AB是黜椁的直径，

鉴端CB=90掳，

二饕帽CF+鉴端CE=90掳，

・"CSD=-BCF，

/.CF=BF.

（2）解：：，

/.CD=CB,

VCD=2,

.'.CD=CB=2,

：AB是剑椁的直径，

爨斓CB=90掳，

VAC=4,

AAB=V22+42=2V5,

二。。的半径为花.

VCE$fhB,

-S^।AOBCV>=-qACBCe=-CE-AB，・即4x2，=±CE▼x2、弓，

解得CE=等.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，解题的关键是掌握等弧对等弦，直径所对的圆周角等于90掳,

等角对等边，勾股定理.

五、利用圆周角定理推论（半圆（直径）所对的圆周角是直角）求解（共6小题）

19.（2022秋・浙江绍兴.九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于黜椁，AC为黜椁的直径，.

（1）试判断△A8c的形状，并给出证明；

（2）若AB=V2,AD=1,求CD的长度.

【答案】（l）ZXABC是等腰直角三角形；证明见解析;

(2)V3；

【分析】(1)根据圆周角定理可得NABC=90。，由NA£)B=NC£)B根据等弧对等角可得/ACB=/C4B,即可

证明；

(2)RtZXABC中由勾股定理可得AC,Rt/XADC中由勾股定理求得CD即可；

【详解】(1)证明：：AC是圆的直径，贝U/A8C=NAQC=90。，

VZADB=ZCDB,ZADB=ZACB,ZCDB=ZCAB,

：.ZACB=ZCAB,

AABC是等腰直角三角形；

(2)解：：△ABC是等腰直角三角形，

：.BC=AB=V2,

.,.AC=VAB2+BC2=2,

Rt/XAOC中，ZADC=90°,AD=1,则CD=7AC2-AD2=痘,

/.CD=V3.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解

题关键.

20.(2022秋•云南曲靖・九隼级校考期中)如图，以为直径作金出樟，在剑椁上取一点C,延长AB至点Q,

连接。C,,过点A作AE黜D交。C的延长线于点E.

(1)求证：CZ)是黜椁的切线；

(2)若CD=4,DB=2,求AE的长.

【答案】(1)见解析

(2)AE=6

【分析】(1)连接0C,根据圆周角定理的推论得到乙4cB=90。，即/8CO+/ACO=90。，求得/4CO=

ZDCB,得到/Z)CO=90。，根据切线的判定定理得到CD是。。的切线；

(2)根据勾股定理求出08=3,可得AB=6,AO=8,根据切线长定理得到AE=CE,在RfZkAOE中，利

用勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接0C,如图，

E

：AB为直径，

AZACB=90°,即/20)+/409=90°,

'：OC=OA,

：.ZACO^ZCAD,

又：ZDCB=ZCAD,

NACO=NDCB,

：.ZDCB+ZBCO=90°,即NDCO=90°,

:oc是。。的半径，

.•.CO是。。的切线；

(2)解：VZDCO=90o,OC=OB,

.*.OC2+CQ2=O£)2,

：.OB2+42=(02+2)2,

.•.08=3,

；.AB=6,AD=S,

•：AELAD,AB是。。的直径，

；.AE是。。的切线，

：CO是。。的切线，

：.AE=CE,

:在RtAADE中，AD2+AS2=DE2,

/.82+AE2=(4+AE)2,

：.AE=6.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角

定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

21.(2022秋•江苏南京•九年级校考期中)如图①，在口ABC中，CA=CB,D是VABC外接圆细椁上一点，

连接CD,过点B作，交AD的延长线于点E,交细椁于点F.

⑴求证：四边形DEFC是平行四边形;

(2)如图②，若AB为细樟直径，AB=7,BF=1,求CD的长.

【答案】(1)见解析

(2)473

【分析】(1)利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得DE1CF即可；

(2)连接DF,AF,利用平行线的性质证得鉴减AC+饕斓CF=180掳，再利用圆的内接四边形的性质证

得爨斓DF+夔斓CF=180掳，得到，再利用圆周角定理得到AF=CD,最后在中即可求解.

【详解】⑴证明：；,

DC=

VCA=CB,

=一CFB，

.♦.饕爽=饕煲FB,

二阳CF，

，四边形DEFC是平行四边形；

(2)连接DF,AF,如图所示,

鉴炎炎AC4-鉴斓CF=180掳，

•.•四边形ACFD是金出椁的内接四边形,

爨端DF+饕斓CF=180掳，

.".AF=CD,

：AB为剑樟直径，

鉴端FB=90掳，

VAB=7,BF=1,

/.AF=VAB2-BF2=V72-I2=4V3,

/.CD=AF=4V3

【点睛】本题是一道圆的知识的综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，平行线的性质和

判定等，作出适当的辅助线是解题的关键.

22.（2022秋・福建南平.九年级统考期末）如图，四边形A3C。为菱形，以为直径作。。交于点R

连接DB交。。于点H,过点。作。O的切线交BC于点E.

⑴求证：AF=CE；

（2）若BF=2,DH=75,求。。的半径.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】（1）连接。R根据菱形的性质可得AD=C£）,AD//BC,NA=NC.再由切线的性质，可得/CED=

ZADE=90°.可证得AZM△OCE.即可求证；

（2）连接。尸，根据等腰三角形的性质可得BD=2DH=2祈.在RfAAD尸和氏公2。月中，根据勾股

定理，即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接。R

•.•四边形ABC。为菱形，

：.AD=CD,AD//BC,ZA=ZC.

是。。的切线，

/.ZA£)E=90°.

'：AD//BC,

：.ZCED=ZADE=9Q°.

是。。的直径，

ZDFA=90°.

：.ZAFD=ZCED=90°.

(LAFD=Z.CED

在ADAF和ADCE中，,LA=LC

IAD=CD

:.ADAF出ADCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)解：如图，连接AH,DF,

是。。的直径，

ZAHD=ZDFA=90°.

\"AD=AB,DH=V5,

ABD=2DH=2V5.

在Rt^ADF和RtLBDF中,

由勾股定理，得。尸2=A4一人产，DF2=BD2-BF2,

:.AD2-AF2=BD2-BF2.

.'.AD2-(AD-BF)2=BD2~BF2.

AAD2-(AD-2)2=(2V5)2-22.

：.AD=5.

的半径为去

【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，

勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题.

23.(2022秋・福建福州•九年级校考期末)如图，为细椁的直径，点C在黜椁上，连接AC,BC,过点。

作OD金出C于点D,过点C作剑樟的切线交OD的延长线于点E.

(1)求证：饕斐=鉴婚；

(2)连接AD若CE=4“，BC=8,求的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)AD=4立

【分析】(1)连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明

(2)连接AD通过计算发现BC=EC,再通过证明底/XABC得到AC=DC=4.

【详解】(1)证明：连接OC如图：

BA

ODLCB

：.OB=OC,ZB=OCD

又CE为圆O的切线

・・・OCLCE

：.ZECD+ZDCO=ZECD+ZE=90°

/E=/DCO=/B

：.ZE=ZB

(2)连接AZ)如图

Z\EDC为Rt/\

.*.DE=VEC2-DC2=J（4V5）2-42=8

由（1）得NE=NB

又AB为直径

，NBC4=90。

在△CEO和△ABC中

zB=zf

dDC=LBCA

IFn=nr

.♦.△CEO也△ABC（A4S）

：.AC=DC=-BC=4

2

AAD=V2AC=4V2

【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键.

24.(2022秋.江苏扬州.九年级统考期末)如图，A2为。。的直径，点C在。。上，/AC2的平分线与

交于点E,与。。交于点。，尸为AB延长线上一点，且

(1)试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=8,BC=6,求。。的半径及的长.

【答案】(1)证明见详解；(2)。4=08=5；AD=5V2.

【分析】(1)连结OC,由OA=OC,可得NAC0=NCA0=N2CP,由AB为。。的直径，可得NACO+NOC2=90。,

可证/OCP=90。即可；

(2)连结3D,由AB为。。的直径，可得NAC2=90。，在RtZXABC中，AC=8,BC=6,由勾股定理

AB=J(AC)2+(BC)2=10,可求OA=OB=|AB=5；由CD是NACB的平分线，可得/AC£)=NBCZ),可得

此=烟，可得AO=BD,NADB=90。用勾股定理即可得出答案.

【详解】解：(1)连结OC,

OA=OC,

ZACO=ZCAO=ZBCP,

为。。的直径，

ZACB=90°,即ZACO+ZOCB=90°,

ZBCP+ZOCB=90°,

：.ZOCP=90°,

直线PC是。。的切线；

D

(2)连结2D,

为。。的直径,

二ZACB=9O°,

在RtAABC中，AC=8,BC=6,

：.AB=7(AC)2+(BC)2=V82+62=10,

1

；Q=°%AB=5；

•.•CO是/ACB的平分线,

ZACD=ZBCD,

：.AD=BD,ZADB=90°f

在中，AB=VAD2+BD2=V2AD,

・•・AD：**&

【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理，

等腰直角三角形判定与性质，掌握圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关

系，勾股定理是解题关键.

六、利用圆周角定理推论（90°的圆周角所对的弦是直径）求解（共3小题）

25.（2022秋・北京•九年级日坛中学校考期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点作.

（1）求证：AB是的直径；

⑵延长CB交于点E,连接DE,求证：DC=DE；

【答案】（1）见详解

⑵见详解

3

【分析】（1）连接BD；根据等腰三角形三线合一的性质和圆周角定理的推论即可证明；

（2）根据等腰三角形的两底角相等以及同弧所对的圆周角相等可证饕爽=鉴煲；从而得出结论;

（3）先证明._CBA，根据相似三角形的性质求出CE的长，进而得出结果；

【详解】（1）证明：如图，连接BD；

在等腰4JIEC中，D为底边AC的中点，BA=BC

鉴署D黜C,即：饕燃DA=90掳

；.AB是剑棒的直径

（2）证明：在等腰6A5C中，鉴斓=爨煲

均为所对的圆周角

aDC=DE

26.（2022秋・广东潮州・九年级统考期末）如图，CA9C中，鉴燃CB=90掳，按要求完成下列问题:

（1）作出第妖BC的外接圆；