易错易混08 解三角形及其应用2025年高考一轮复习(解析)

高中数学精编资源2/2专题08解三角形及其应用易混易错易错点1利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。点拨：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。【典例1】（23-24高三上·河北正定·月考）在中，已知，，则角B等于（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】，由正弦定理可得，，由可得，，则故选：A【典例2】（23-24高三上·安徽·月考）（多选）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【解析】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；选项D，根据已知可解出，，∴三角形有唯一解.故选：BD.易错点2解三角形时，在中忽视的解点拨：解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以.【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，的面积为，则（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【解析】由及余弦定理得．若，则，，故，，所以，所以．若，则，，由正弦定理得．因为，所以，，所以，，，所以，，所以，所以，解得．综上，或．故选：C．易错点3忽视对角的讨论点拨：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”。【典例1】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，所以或（舍去），所以，又，解得，所以，所以，即的取值范围为．故选:D．【典例2】（23-24高三下·重庆·月考）锐角中，内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若边上的中线长为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以，所以或，若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，从而，则，又，所以.（2）由余弦定理，得，即①，设的中点为，则，两边同时平方可得：，即：，即：②，由①可得：，于是：的面积.易错点4忽视解三角形时使用正弦定理边角互化，要注意是否使用齐次式，能否消去2R点拨：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化。【典例1】（23-24高三下·广东广州·月考）在中，分别为角的对边，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】,所以，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：.故选：D.【典例2】（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则．【答案】【解析】由，得，，即，整理得，由余弦定理，所以，又，且，可得，解得或（舍），因为，所以．易错点5实际问题中题意不明致误点拨：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。【典例1】（23-24高三上·山东烟台·期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，过点作于点，则，在中，，∴，在中，∴，在中，，由余弦定理得，，∴,在Rt中，，由勾股定理得，,故选：D.【典例2】（23-24高三下·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与