数列的概念（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第24讲数列的概念

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第19题,15由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等

分比数列前n项和裂项相消法求前n项和

2023年天津卷，第19题,15等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差

分数列前n项和写出等比数列的通项公式

2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项

2022年天津卷，第18题,15等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位

分相减法求和分组（并项）法求和

2021年天津卷，第19题,15等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和

分数列不等式恒成立问题

2020年天津卷，第19题,15等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公

分式的基本量计算分组（并项）法求和

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分

【备考策略】L理解、掌握数列的概念

2.能掌握数列的通项公式与递推公式

3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性

4.会解数列中的规律问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题。

Il•考点梳理—

1.数列

2.数列的项考点一、数列的周期性

/考点二、数列的单调性

r知识点一.数列的有关概念《3.通项公式

4.递推公式考点三、数列的最值

5.数列的前项和

考点四、与的关系求通项公式

1.项数

知识点二.数列的分类考点五、累加法求通项公式

2.项与项间的大小关系

考点六、累乘法求通项公式

数列的概念

考点七、数列恒成立

知识点三.数列与函数的关系考点八、递推数列问题

考点九、数列中的规律

知识点四.数列常用的结论

知识点五.数列的两种常用表示方法

知识讲解

知识点一.数列的有关概念

1.数列：按照确定的顺序排列的一列数

2.数列的项：数列中的每一个数

3.通项公式：如果数列｛即｝的第n项与与它的序号门之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子

叫做这个数列的通项公式

4.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的递推公式

5.数列的前n项和：把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作工,

即％=<21+a2+…+C1n

知识点二.数列的分类

1.项数：

（1）有穷数列：项数有限

（2）无穷数列：项数无限

2.项与项间的大小关系：

（1）递增数列：an+l>an

（2）递减数列：an+i<an

（3）常数列：an+1=an

（4）摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列（其中〃GN*）

知识点三.数列与函数的关系

数列｛斯｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，而）到实数集R的函数，其自变量是序号”,对应的函

数值是数列的第〃项a„,记为斯=/缶）.

知识点四.数列常用的结论

1.已知数列｛以｝的前几项和贝&=L2r

2.在数列｛诙｝中，若斯最大，则伊翌…（„>2,wGN*）；若a”最小，则巴咤（4，〃GN*）.

（a九r_un+i（a九—a九+1

知识点五.数列的两种常用表示方法

（1）通项公式：如果数列｛““｝的第〃项与序号”之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这

个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果己知数列｛%｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的

前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

考点一、数列的周期性

典例引领

1.（•湖南・高考真题）已知数列｛即｝满足的=0,厮+1=等鸟（716%+）,贝b20=（）

y/3an+l

A.0B.-V3

C.V3D.—

2

【答案】B

【分析】计算出｛&J的前四项的值，可得出an+3=anSeN+）,由此可求得a2。的值.

【详解】因为数列｛册｝满足％=0,既+1=等斗5eN+）,a2=等二与=-V3,

V3nn+1yj3Cli+l

由上可知，对任后、的?16N卡,%i+3=^71f。20=。3'6+2=。2=—

故选：B.

2.（2024・陕西安康•模拟预测）在数列｛a九｝中，an>0fat=1,a2=V2,若对V。EN*,a%+a^+1+a^+2=10,

则。2024=（）

A.V2B.1C.V3D.V5

【答案】A

【分析】根据递推公式得出%i+3=。小进而。2024=。2021=…=。2=直即可.

【详解】由成+1+成+2+an+3=10与W+an+l+an+2=1。相减得：成+3-成=。，

aaf

即（（1rl+3—。n）（册+3+n）=0，又口n>0,故的i+3=n所以。2024=。2021=…=。2=V2.

故选：A.

即时检测

I__________________

1.（2024・河北•模拟预测）已知首项为2的数列｛即｝满足4册+i-5an+1an-2an=2,当｛时｝的前几项和%>16

时，则九的最小值为（）

A.40B.41C.42D.43

【答案】B

【分析】通过计算得到｛册｝为一个周期为4的数列，从而计算出S41=10（%+的+。3+*）+2=17,得

到答案.

【详解】由题意得%=2,4a2--2al=2,解得g=-1,

同理4a3—5a3a2—2a2=2,解得的=0，

4a4-5a4a3—2a3=2,解得。4=j,

4a5—5a5a4—2。4=2,角牛=2,

故｛。九｝为一^个周期为4的数列，且与+（12+。3+。4=2—1+0+3=|,

故S40=10（。]++。3+。4）=15,S41=10（CL]++。3+。4）+2=17,

故九的最小值为41.

故选：B

2.（2024・山东济宁•三模）已知数列中，的=2,a2=1,an+1=an-an_r（n>2,neN*）,贝1」。2024=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.

【详解】由=2,。2=一。九-1（九之2,71EN*）,得

=1，

=03—=—2，

@5=0403=1，

。6=—。4=1，

。7=。6—。5=2,

CLQ—CLy—。6=1，

则｛5｝是以6为周期的周期数列，

所以。2024=a337X6+2=。2=>

故选：C

3.（2024•陕西榆林•三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1,

乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该

为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.

【详解】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6…，除了首项以外是个周期为6的周期数列.

去掉首项后的新数列第一项为2,

因为2023=337x6+1,所以原数列第2024个被报出的数应该为2.

故选：A.

4.（2024•辽宁•模拟预测）数列｛厮｝中，a1=4,42=3,=——（nG.N*,n>2）,则aiooo的值为（）

~an-i

134

A.-B.-C.3D.-

443

【答案】A

【分析】根据递推公式代入检验可知数列｛gJ是以6为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可.

【详解】因为的=4,g=3,a=（nEN*,n>2）,

n+1an-l

令九=2,可得@3=笠=|;令九=3,可得口4=余=[;

令71=4,可得05=9=3令九=5,可得。6=%=°；

3。43

令九=6,可得。7=%=4；令几=7,可得@8=幺=3；

可知数列｛&J是以6为周期的周期数列，

所以。1000=Q166X6+4=。4=7

故选：A.

考点二、数列的单调性

1.（2024•贵州模拟预测）已知数列满足与="尸（卜eR），贝数列是递增数列”的充要条件是（）

A./c<0B.fc<1C.fc>0D.fc>1

【答案】B

【分析】根据条件，利用递增数列满足即+i>即，即可求解.

【详解】因为an="i（keR）,所以即+1-即=*—生匕=片

由a“+i—%=前言>0,得到k<1,所以“数列｛即｝是递增数列”的充要条件是k<1,

故选：B.

2.(2024・天津南开・二模)设数列｛即｝的通项公式为即=1+.，若数列｛即｝是单调递增数列，则实数b的

取值范围为().

A.(—3,+8)B.(-2,+8)C.[-2,+8)D.[-3,+8)

【答案】A

【分析】由递增数列定义可得厮+i-%>0,代入计算即可得解.

22

【详解】由题意可得。九+1—ccn>。恒成立，即(九+I)+b(n+1)—n—=2n+1+6>0,

即b>—2n-1,又九>1,—2n—1<—3,故b6(—3,+oo).

故选：A.

即时检测

1.(2024•北京西城・三模)对于无穷数列｛厮｝,定义4=an+1-an(n=1,2,3,…)，则为递增数列”是“｛d"

为递增数列''的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.

【详解】｛即｝为递增数列时，有勰=an+1-an>0,不能得到｛%｝为递增数列，充分性不成立；

｛%｝为递增数列时，不一定有以>0,即不能得到｛an｝为递增数列，必要性不成立.

所以“｛即｝为递增数列”是“｛dn｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2.(2024•江西•模拟预测)已知数列｛&J满足即=几-a(aeR),则“aW1”是｛|%J｝是递增数列的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当a<1时即=n-a>0,则=\n-a\=n-a,

所以|%+1|-|a"=n+l-a-(n-d)=l>0,即|厮+11>l&J，所以｛|册|｝是递增数列,故充分性成立；

uIClI~>n—1

4

当a=5时1|=%一：=5，则同<㈤<出1<…，所以｛1即1｝是递增数列，

(n-/22

所以当数列｛|即|｝是递增数列，a可以大于1,所以必要性不成立，

所以“a<1”是｛|即|｝是递增数列的充分不必要条件.

故选：B

3.(2024.四川雅安・模拟预测)已知数列｛%｝满足即+2=3即+1-2厮，a1=A,a2=2,｛a"单调递增,则4

的取值范围为.

【答案】(一8,2)

a2a

【分析】根据％1+2=3an+1-2tln可得的1+2-n+l=(n+l-%i)，再结合单调递增以及等比数列定义

可求出an+i-an,则由cin+1->0即可得解.

【详角牛1因为&i+2=34九+1-2cLn，所以a^+2—an+i=2(a“+i—%i),

又因为单调递增，所以厮+1-厮>0,

所以数列5+1—即｝是以&2-的=2-2为首项，2为公比的等比数列，

所以Cln+1—=(2-4),2nT,

所以(2-4),2n-1>。即2—2>0今/1<2,

则久的取值范围为(一8,2),

故答案为：(-8,2).

4.(2024.河南信阳•模拟预测)在数列｛&；｝中，a1=2an+1—an+n+2.

⑴记％=即一加证明：｛%｝为等比数列;

⑵记％为｛%J的前兀项和，若｛Sn+2+加｝是递增数列，求实数4的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

(2)(-2,+00)

【分析】(1)根据递推公式结合等比数列定义分析证明；

(2)由⑴可得%=几+表，进而可得Sn+表+&=济+/22+1加+1,结合二次函数性质分析求

解.

【详解】(1)因为2厮+1=an+n+2>即a9+i=|an+|n+l,

则瓦=%_1=工力0,且皿=—+LS+D=J"+》+—("+1)=1

一,

2bnan-nan-nan-n2

所以数列｛篇｝是以首项为5公比为:的等比数列.

⑵由⑴可知："i=a九一九=弟即时=九+最？

所以％=(1+―+(2+蠢)+..•+(几+募)=(1+2+•••+n)+6+蠢+…+£)

九(九+1)+北⑨L%2+~+I-

2222n

可知Sn+—+An=—n?+—(24+l)n+1,

若脩+联+叫是递增数列,结合二次函数对称性可得一a+m<i，解得4>-2,

所以实数4的取值范围为(-2,+00).

考点三、数列的最值

典例引领

1.(2020•北京•高考真题)在等差数列｛a九｝中，的=—9,a5=—1.i&Tn=a1a2…a九(九=1,2,…),则数列｛”｝

().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大

项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差d=『=三=2,

5-15-1

则其通项公式为：册=的+(九—l)d=—9+(n—1)X2=2n—11,

注意到的<gV。3<。4<@5V0V。6=1V。7<…，

且由75<0可知£<0(i>6J6N),

由n=a；>l(i>7,i6N)可知数列｛6｝不存在最小项，

Ti-1

ill丁，a1—9,a2=7,a3=5,44—3,a5—1,tig=1,

故数列｛七｝中的正项只有有限项：72=63,n=63x15=945.

故数列｛及｝中存在最大项，且最大项为。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属

于中等题.

2.(•辽宁・高考真题)已知数列｛an｝满足的=33,厮+1-厮=2小则手的最小值为.

【答案】y

【分析】先利用累加法求出an=33+n2-n,所以&=史+八一1,设f(n)=^+n—1,由此能导出n=5

nnn

或6时f(n)有最小值.借此能得到包的最小值.

n

【详解】解：Van+1-an=2n,当n>2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-al)+al=

2[l+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33

且对n=l也适合，所以an=n2-n+33.

从而回=史+n—1

nn

设f(n)=-+n-l,令F(n)=^+l>0,

nnz

则f(n)在(每，+8)上是单调递增，在(0,商)上是递减的，

因为n《N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值.

又因为"=免，生=丝=卫，

55662

所以出的最小值为等=?

n62

故答案为y-

【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法.还考查函数的思想，构造函数利用

导数判断函数单调性.

即反飒

1.(24-25高三上•江苏南通・阶段练习)在递增数列中，的=9sin(%t)=cos(an+1).已知%表示前

n项和的最小值，贝！Jsin(Sg)=()

A.BC.D.-坦

2222

【答案】c

【分析】由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案.

【详解】由题意在递增数列｛即｝中，的=gsin(czn)=cos(an+1),

贝fjcos(a九+i)=sin(an),故cos(@2)=sin(ai)=

则。2=|+2包keZ或g=y+2女兀,kEZ,结合题意取Q2=g；

又cos(Q3)=sin(a)=—,则％=-+2kji,k6Z或%=—+2kji,fcGZ,

2266

结合题意取的=手；

同理cos(G4)=sin(a3)=—|,贝U*=g+2kn,kGZ或以=y+2kn,kEZ,

结合题意取。4=y+2兀，

同理cos(ci5)=sin(a4)=—»则。5=-+2kgkGZ或劭=—+2kji,kE.Z,

结合题意取。5=*+2兀，

同理cos(a6)=sin(a5)=—贝U%=y+2kn,k6Z或%=y+2kTi,kEZ,

结合题意取与=—+4兀，同理可得的=—+4兀，a=—+6兀，a=—+6兀，

363869

故｛5｝前9项和的最小值59建+：+3+管+2兀)+”+2兀)+售+4兀)

/1171\/2兀\/I

+什+4兀)+(9+6兀)+岛1K+6兀\)

=—+2471,

6

可得sin(S9)=-p

故选：C

2.(24-25高三上•山西大同・期末)等比数列｛斯｝中，Sn为其前n项和,由=1,且4询,2a2,成等差数列，

则手仇6N*)的最小值为()

A.-D.1

2

【答案】D

【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前n项和公式求出％,判断出数列

囹的单调性即可得解.

【详解】设公比为q,

由4aL2a2,%成等差数列，得4a2=4al+a3,

又数列｛册｝为等比数列，所以得4@』=4%+口12,解得q=2,

n

所以衿y中)_2-1

n(l-Q)n

人心2n-l

令bn=1T，

则-—丝二_"=与智>0,

n±±nn+1nn(n+l)

所以数歹w?4递增数列，

所以当n=l时，包取得最小值1.

n

故选：D.

3.(2024・山东济南.二模)已知｛即｝是各项均为正整数的递增数列，｛厮｝前几项和为Sn,若%=2024,当打取

最大值时，厮的最大值为()

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【分析】因为sn=2024是定值，要使当九取最大值时即也取得最大值，｛&J需满足前m(rn=n-1)项是首

相为1,公差为1的等差数列，通过计算｛&J的前63项和与Sn=2024作比较，前64项和与%=2024作比较

即可得出a“的最大值.

【详解】因为%=2024是定值，要使当n取最大值时厮也取得最大值，｛斯｝需满足各项尽可能取到最小值，

又因为｛厮｝是各项均为正整数的递增数列，所以的=1,。2=2,。3=3,…，am=m，即｛为3是首相为1,

公差为1的等差数列，其中m=n-1；｛a„J的前m项和为7=吗3；

当加=63时，763=6"6；+1)=2016<2024；

当爪=64时，T64=64(6：+。=2080>2024；

又因为2024-2016=8<63,

所以九的最大值为63,此时的=1,a2=2,a3=3,…，a62=62,a九取得最大值为%3=63+8=71.

故选：C.

4.(2024.天津和平.二模)已知数列｛5｝满足沁+凝2+-+^an=n(nGN*),则数列｛%｝的通项公式为

册=_____,若数列｛a,J的前几项和为又，记Rn=丝且旦(neN*),则数列法“｝的最大项为第______项.

an+l

【答案】2"3

【分析】当几=1时求出。1，当九之2时，酒+京。2+…+盛7%1-1=九一1，作差即可求出｛%J的通项公

式，从而求出%,即可表示出时,再由基本不等式求出数列｛R"的最大项.

【详解】因为,电+—।■。九=九（九eN*）,

当九=1时，|^=1,解得Q1=2;

当九之2时，1^1+^-«2■1------=n—1,

两式相减得/册=1，即厮=2n（n>2）,

经检验当九=1时％=2rl也成立，所以册=2n；

因为册=2%所以%="享=2九+1—2,

1—2

所以品=65了」=65X2：鬻22…+2=65-g+2n）<65-2J2nxM=49,

当且仅当次=装，即71=3时取等号.

所以数列｛Rn｝的最大项为第3项.

故答案为：2"；3.

考点四、%与着的关系求通项公式

典例引领

1.（2024・山东济南•三模）若数列｛厮｝的前几项和匕=n（>+1）,则等于（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】根据厮与心关系求解即可.

【详解］=$6-55=6x7-5x6=12.

故选：C.

2.（2024・贵州遵义・二模）已知数列｛时｝的前n项和%=层+n-1,则的+。9m（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用厮=5“一571-1，几22求出£19,即可计算即得.

22

【详解】依题意，的=Si=1,a9=S9-S8=（9+9-1）-（8+8-1）=18,

所以a】+cig-19.

故选：D

即时检测

1.(2024•内蒙古呼和浩特•二模)数列｛厮｝的前n项和为%=3—2an/WN*,则S5=()

A16D

A.—-§

81B•答cS

【答案】B

【分析】由%,与的关系可得｛厮｝是以1为首项，以|为公比的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解.

【详解】因为S九=3—2@九，所以，nN2时，Sn,!=3-2an_r,

两式相减得，a—2。九一1—2a,即——=n>2,

nnan-l§

因为Si=3-2%,即%=1,

所以数列｛an｝是以1为首项，以|为公比的等比数列，

则S5=4=^・

3

故选:B.

n+1

2.(2024高三・全国・专题练习)已知数列｛即｝的前n项和为%,an+1=Sn+2,的=2,贝=

【答案】n-2n

【分析】根据已知式子应用厮+1=Sn+i-5„得出等差数列，最后应用等差数列通项公式计算即可.

【详解】因为即+1=Sn+2n+1,则无+1-sn=Sn+21+1,整理得粼一1=1,

又因为的=2狈玲=1,

因此数列｛票｝是首项为1，公差为1的等差数列，

则黑=1+(n-1)x1=n,

所以Sn=n-2T

故答案为：n-2".

3.(2024高三・全国・专题练习)在数列中，%=3前n项和Sn=n(2?i-l)an,则数列｛即｝的通项公式

为.

【答案】an=(2n_i；2n+l)

【分析】当n22时，由已知的等式可得SnT=(n-l)(2n-3)a“_i，与已知的等式相减化简可得上=当

Clfi-i271+1

然后利用累乘法可求出册.

【详解】由于数列中，ar=前几项和Sn=九(2九一l)an,

所以当九之2时，Sn_i=5—1)(2几一3)册_1，

两式相减可得：an=n(2n-l)an-(n-l)(2n-3)。九t，

2

所以(九一1)(2九-3)%1T=(2n-n-l)an,

(n—l)(2n-3)an_i=(n—l)(2n+l)an,

所以(2n—3)an_!=(2n+l)an,

所以上=汽

an_x2n+l

所以。九=a1,—,—.......“n

%。2an-1

1132n-52n-31

=—X-X-X•••X-------X---------=----------------------

3572n-l2n+l(2n-l)(2n+l)

@1=1符合上式,

i

因止匕a九=

(2n-l)(2n+l)

i

故答案为：a=

n(2n-l)(2n+l)

4.(2024高三.全国.专题练习)已知数列｛即｝的前几项和为%,若%=2"T-5则数列｛即｝的通项公式为

【答案】4=2九-2

【分析】利用数列的前几项和S九与册的关系求出数列的通项;

n1

【详解】Sn=2--|

当九=1时，=S-L=2°--=

1122

n-1n2n2

当n22时，0n=Sn-Sn_]=2—2~=2~,a[=(也满足,

所以数列｛a"的通项公式为=2n-2.

n2

故答案为：an=2-.

考点五、累加法求通项公式

典例引领

1.(2024•重庆•三模)已知数列的前几项和为分,%=l,Sn+Sn+i=彦+l(neN*),S24=()

A.276B.272C.268D.266

【答案】A

【分析】令n=1得S2=1,当n22时，结合题干作差得S』一S…=2"一1,从而利用累加法求解S24=即

可.

2

【详解】%=Si=1,又Sn+Sn+1=n+1,

当九二1时，Si+S2=I?+1=2,解得S2=1；

2

当九22时，Sn_1+Sn=(n-1)+1,作差得S九+i-S九_1=2n一1,

—

・.・S24=(524S22)+(5122-^o)+—卜⑸一*5*2)+$2=2(23+21+—F3)—11+1=276.

故选：A

2.(2024•河北保定•三模)设出九｝是公差为3的等差数列，且匕=厮+1+。九，若的=1,则的1=()

A.21B.25C.27D.31

【答案】D

【分析】由bn=&1+1+导＞7l+l=%l+2+%1+1，从而可得byi+1-力九=。?1+2—=3,进而可求解.

aa9aa9=a

【详解】由生=n+l+n得＞九+1=n+2+n+l则匕+1~n+2~CLn=39

从而。21=。21—。19+。19—。17+…+。3—%+Q1=3X10+1=31.

故选：D

即时性W

1.（2024・陕西咸阳•三模）在数列｛&J中，的=1,an+1=an+2n-1,则与=（）

A.43B.46C.37D.36

【答案】C

a

【分析】由递推公式册+i=an+2n-1用累加法公式=（an-。n_1）+（an_x-。九_2）+…+（。2-i）+

ar（n>2）求出册，再求的即可.

【详解】法—：由题得CLn二（a九一。九-1）+（。九-1一-2）+…+（。2—01）+=（2荏-3）+（2n—

5）+…+3+1+1=（nT）K；-3）+i|+1=砂一2n+2522）,

所以<17=72-2x7+2=37.

?去—-:=1,。九+1—=272—19

所以为=（。7—。6）+（。6—的）+…+（。2—。1）+。1=11+9+7+5+3+1+1=37.

故选：C.

2.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知数列｛厮｝满足：的=1,a=a_+n（n>2）,且勾=则数列｛g｝前

nnran

n项的和无为（）

A.S=—B.S=—C.S=—D.S=—

nn+lnn+1nn+2n71n+2

【答案】B

【分析】由叠加法求出数列Sn｝通项公式，再代入加=工，求出数列｛%｝通项公式，再由列项相消法求出治.

an

【I半神牛】由a九=。九一1+n（TtN+2,CL^—ct2+3,ct^,—（Z3+4,。九一1—。九一2+九—1,二

Qn-i+n（JlN2）,

叠加得a九=+2+3+4+...+九=1+2+3+4+…+几="二。（荏之2）,

由题可知的=1也适合上式，故与="节2

所以独=高=就不=2（；一言），

则数列也｝前n项的和Sn=瓦+尻+以+…+勾一1+bn=2（1-|+1++Z77）

=2（1--）=—.

\n+17n+l

故选：B.

3.（2024•全国•模拟预测）已知数列｛a九｝满足的=3,g=15,且an+2-2an+i+an=8,若［%］表示不超过%

403440344034'

的最大整数，则-----1------1--n------)

a2024

A.2016B.2017C.4032D.4034

【答案】A

【分析】根据递推关系可证数列｛an+i-%J是等差数列，进而利用累加法求出通项an,再利用裂项相消法

求出吏+照+…+丝收，结合条件求得结果.

a2024

【详解】由a九+2—2/2+I+(zn=8,可得(。九+2—%i+i)—(Q/i+i—=8,又

a2-a1=15-3=12,故数列一是以12为首项，8为公差的等差数列,

则a九+i—ctn=12+(?i-1)X8=8九+4,g—%=8+4,ct^—Q2=8X2+4,

4-“3=1=

。8x3+4,…,dn—。九―8(71—1)+4(九之2),

故当?1>2时，a九一的=8+8x2+8x3+…+8x(n—1)+4(n-1)=4n2—4,

22

则当几之2时，an=4n—1,又的=3适合上式，故a九=4九一1,neN*,

1iii

4n2-l(2n-l)(2n+l)2

an

40344034

-----=------X=2017x

an2

403440344034/11111

-----+-----+…+-----=2017x+

a

的a220242X2024-12X2024+1

=2。"义(1一短).

/痂『4034.4034,.40341

又2016<2017x(1-焉)<Q2n0i1f7,故----1---------1■…H-------=2016.

L0-2。2024」

故选：A.

4.（2024•广东深圳•模拟预测）已知数列｛即｝的前n项和为无,且%=/+3几，若首项为1的数列｛e｝满足

"—；=则数列｛配｝的前2024项和为（）

bn+lbn

A101220252023

A.-----D.---------C.—D•黑

202320242024

【答案】D

i

【分析】已知数列｛&J的前n项和为治,做差法计算数列｛a,J的通项公式，代入甘一-a,累加法求出

%+1n

数列｛,｝的通项公式，裂项相消即可求出数列协/的前2024项和.

2

【详解】解：：Sn=n+3n,an=Sn-S九=2n+2(n>2),

当71=1时，的=4,符合厮=2九+2,

所以数列｛册｝的通项公式为册=2几+2.

1111

---=2九+2,

bn+ibn+i匕?i

即工一工=4,

b2%

---=6,

匕2

1a=2n,又;2,累加法可得：…+小

bn

11

即%=西=花而，

nn+l

设数列｛g｝的前n项和为贝怩024=OO…+（总一募）2024

2025

故选：D

考点六、累乘法求通项公式

典例引领

1.（2024.西藏模拟预测）已知数列｛厮｝对任意k6N*满足以•以+i=2"，则的•。2024=（）

A.21012B.21013C,22°24口.22025

【答案】A

【分析】由ak-ak+i=2k,得以+「%+2=2上+】，从而­=2,再利用累乘法求解.

ak

【详解】解：由耿•纵+1=2上，得以+i•以+2=2k+1,

所以吗=2,

ak

所以。2024.。2022.02020…血.血.翌_21011,即做。24_21。11①.

a2022a2020a2018a6a4a2

又因为的•a2=2②，

①②两式相乘，得的“2024=21012.

故选：A.

2.（2024•全国•模拟预测）已知数列｛aj满足黑=篙，其中的=1,则。8=（）

A.28B.220C.225D.228

【答案】C

【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意，得a=1x2］，%=2x22,…，望=2x27.

2。23。78

由累乘法，得也x也x-x-^=ix2xx-x22X-X—x2“T,

—123TL

121+2+…+77（1+7）-

n273

即泡=1x2】x2X-X2=---—=2—-=225,

3

ar82

又=1,所以他=225.

故选：C.

即时笆测

1.（2024高三下•全国・专题练习）在数列｛an｝中，的=土前兀项和％=以2n-1）。„,则数列｛an｝的通项公

式