上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷（含答案）

2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10

（时间：100分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相

应位置上】

1.下列函数中，一定为二次函数的是（）

AJ=4B.y=（l+x）（l-x）C.y=ax2D.j=x2-（x+l）x

X

2.己知点尸是线段42的黄金分割点，且BP〉AP,那么下列结论正确的是（）

A.BP2=APABB.AP2=BP-AB

APV5-1BPV5-1

c.-----=----------D.-----=----------

AB2AP2

3.如图，在△45。中，点。、E和尸分别在边4C和5C上，DE//BC,DF//AC,如果

Ar\Q

——，那么下列结论中正确的是（）

BD4

DE3BF3CF3DF3

A........——B.-----=—C.-----=—D.-----二一

BC4CF4BC7AC7

4.下列关于向量的说法中，正确的是（

A.如果k=0,那么ka-0

B.如果||=2,W=l,那么。=2坂

C.已知e是单位向量，如果卜卜4,那么a=4e

D汝口果2a+3B=c,2b=c,其中c是非零向量，那么

5.在同一平面直角坐标系中，画出直线天=QX+6与抛物线y=a/+b,这个图形可能是（）

c.

6.已知在△48C中，点。、E分别在边45和4。上，联结CD、BE交于点、F,下列条件中，不一定能得到

/\ADE和AABC相似的是（）

DFEFDFEF

nQ—V

A.-----------B.-----------C.NBDE=ZBFCU6ABDF一

BFCFCFBF°AC£F

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置1

7.已呜=且心°,那么曷二

8.抛物线y=V+2x—3与夕轴的交点坐标为.

9.已知二次函数y=必+bx+c（a丰0）的图像经过点2（-1,-1）、5（5,-1）,那么该二次函数图像的对称轴

为直线.

10.已知二次函数y=（机+1）/的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是.

11.如图，己知在△48C中，NNC5=90°,CD是边上的高，如果40=3,BD=2,那么。=

12.如图，在△48C中，48=/C=3,点。和点E在边3c上，BE=4,NR4E=N4DC,那么CD=

13.如图，已知AD〃EF〃BC,且40:£/：8c=2:5:7,那么幺£:48=

14.如图，在AABC中，点。在边3C上，线段经过重心G,向量0,向量配=B,那么向量而=

.（用向量a、B表示）

15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电

线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并

且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为米.

16.如图，在△48C中，点。在边48上，ZACD=NB,点E和尸分别在边A4和C4的延长线上，且

CD//EF,如果£4:40:03=3:4:2,那么上^=

c-------

。△ABC

17.定义如果将抛物线y="2+&+o（。。0）上的点/（X/）的横坐标不变，纵坐标变为点4的横、纵坐

标之和，就会得到一个新的点4（x，x+y），我们把这个点4叫做点工的“简朴点”，已知抛物线

J-4X+1上一点B的简朴点是吕（2,3）,那么该抛物线上点c（l,m）的简朴点Q的坐标为.

18.如图，在矩形/3CD中，AB=1,在边CD上取一点£,将△BCE沿直线8E翻折，使点C恰好落在边

上的尸处，N48E的平分线与边交于点如果幺。=2〃7"那么8C=.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.（本题满分10分）

如图，已知两个不平行的向量a、bx,求作x,满足2（a—x）=B—x.

7

­4------b---------

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）

20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

已知点（3,—1）在二次函数y=-x2+bx+b的图像上.

（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；

（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移，个单位后图像经过点（1,-5）,求t的值.

21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为尸（2,-2）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如果二次函数的图像与x轴交于点/（不与原点重合），联结OP、AP,试判断△ZOP的形状并说明

理由.

22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）

如图，已知在△48C中，点。在边/C上，过点/作交AD的延长线于点E,点尸是BE延

长线上一点，联结CR如果BD?=DE-DF.

（1）求证：AB//CF；

（2）如果。£=2,EF=6,求——的值.

CF

F

C,交8。的

ZDF.

B

23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，在△48C中，CD是边上的高，点E是边NC的中点，联结ED并延长交C3的延长线于点尸,

旦BD=BF.

(1)求证：AADEs/^FDB；

(2)如果里求证：BC2=BDAB.

CF2AD

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

如图，在平面直角坐标系xQy中，二次函数y=-2/+bx+c的图像与x轴交于点2（-2,0）,与y轴交于

点8（0,4）.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如果点。（根,—1）是二次函数图像对称轴上的一点，联结BD,求△48。的面积；

（3）如果点尸是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且尸求点P的横坐标.

y

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图，在矩形/5CD中，AB=2,BC=1,点£是射线DA上的一点，点厂是边48延长线上的一点,

且。£=2BF联结CE、EF,分别交射线DB于点。、点P,联结CF、CP.

（1）当点E在边4D上时，

①求证：&DCEs.BCF；

②设DE=x,CP=y,求y关于x的函数解析式；

（2）过点E作射线的垂线，垂足为点Q,当时，请直接写出DE的长.

F图13

2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10

参考答案及评分说明

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

l.B；2.A；3.C；4.D；5.D；6.C.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

2f-9

7.一；8.(0,-3)；9.x—2；10.77?<—1；11.A/6；12.—；

7V'4

32-l453/i、5

13.一；14.—aH—rb；15.—；16.—；17.(1,0)；18.一

53328''3

三、解答题：

(本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分

78分)

19.解：2a-2x=b-xx-2a-b,

20.W：(1);点(3,—1)在二次函数y=—/+及+6的图像上，

•••把x=3,y=—1代入y=—%2+bx+b,得一1=—9+3b+b.

解得A=2.

二次函数的解析式为y=—f+2x+2.

对称轴为直线x=l.

顶点的坐标为(1,3).

(2)二次函数的解析式化为y=—(x—仔+3.

..•将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移f个单位，

.•.平移后新二次函数的解析式为>=-(x+3)2+3+r

:平移后图像经过点(1,-5),

•■•把x=1,y=—5代入y=—(x+3)~+3+/,得—5=—16+3+1.

解得1=8.

21.解：(1)♦.•二次函数图像的顶点坐标为尸(2,-2),

...设二次函数的解析式为y=a(x—2)2—2.

..•二次函数的图像经过原点，

.•.把x=0,>=0代入y=a(x—2『—2得.0=a(0—27一2.

解得a=L

2

19

这个二次函数的解析式为y=5（x-2）~-2.

（2）..•二次函数的图像与x轴交于点/,

19

把歹=0,代入y=5（x—2）—2得再=4,x2=0（舍去）.

得点/的坐标为（4,0）.

04=4.

22

：OP=J（O-2y+（0+2）2=2亚,Ap=^（4-2）+（0-2）=272,

OP=AP.

,1•OP-+AP2=OA2,

△NOP是等腰直角三角形.

・ADDE

22.解:(1),:AE〃BC,

，9~CDBD

DE_BD

1.,BD2-DE,DF,-----

BD~DF'

.ADBD“「

•.■=——・•.AB//CF.

CDDF

(2)*.*DE=2,EF=6,DF=DE+EF=8.

•：BD2=DE-DF=16,:.BD=4.

.ABBD.AB_

•：AB//CF,

"CFBF'"CF2

23.证明：(1)*.*BD—BF,/F=Z.BD.

・・・CD是48边上的高，点E是边4C的中点，

在必△NCD中。E=』ZC.

2

又：幺后」"，AAE=DE,：.ZA=ZADE.

2

NADE=NBDF,；.NA=NF.

：.AADEs^FDB.

、..DFAC.DFAE.DFCF

(2)•=------,••------=.••=

CF2ADCFADAEAD

•：ZA=ZF,；.AADEs^FCD

：./ADE=ZFCD：.ZA=ZFCD.

・・•/ABC=ZCBD,・・・AABC^/\CBD.

.BD

——BC2=BD-AB.

，9~BCAB

24.解：（1）♦..二次函数＞=一2/+云+。的图像与;（：轴交于点/（—2,0）,与y轴交于点5（0,4）,

得］o=—2x(—2)2-2"。

4=c

解得b=—2.

.•.二次函数的解析式为歹=—2/—2x+4.

(2)...点。(加,-1)是二次函数图像对称轴上的一点,

又•••二次函数图像的对称轴为直线x=-1.

2

二加=一1■，点0坐标为1).

设直线AB的表达式为y=px+q(pwO).

,、/、0=—2/7+(7

..•直线经过2(—2,0),8(0,4),得

直线AB的表达式为j=2x+4.

设抛物线的对称轴与直线AB交于点E,得点E坐标为

DE=4.

=s△的+S△如E=；O£Z°=；x4x2=4-

(3)过点尸作尸轴，垂足为H.

设点2/—2/+4).

PH=—t,BH——It2—2t.

/ABO+ZABP=/P+/PHB,

又•・・ZABP=/PHB=90°,.•・/ABO=/BPH.

VZAOP=APHB=90°,:.△ABO