上海市浦东新区2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷（含答案）

数学（九）

一、单选题（4'X6=249

1.若ac=bd（ac#））,则下列比例式中不成立的是（）

ab-baab—be

A.一二一B.———C.-=-D.—=-

dccacaaa

2.如图，在△ZBC中，点。、后分别在边45、/C上，下列条件中不能判定△4DE与△/吕。

相似的是（）

AD_AEAE_AD

DB~EC

DB_ABADDE

D.-----=-----

~EC~^4CABBC

3.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE||BC,若4ADE与四边形DBCE

的面积相等，则"等于（）

R6

A.1D.-------cD.

2-i4

4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2斯米，则

这个坡面的坡度为（）

A.1：2B.1：3C.1：V5D.V5：1

5.已知线段。，b,c,求作线段x,使尤=5,则下列作图中（/8〃CA）作法正确的

是（）

试卷第1页，共6页

6.如图，在△/8C中，AB=BC,乙48C=90。，即/是NC边中线，点、D,£分别在边/C

和3c上，DB=DE,EFL4c于点、F,以下结论：①4BMD三公DFE；②ANBEFDBC；

二、填空题（4'x12=489

7.如果a：b—2：3,且a+6=10,那么a=.

8.计算：2（汗-26）+3（3+5）=.

9.若m与单位向量工方向相反，且长度为3,则々=（用单位向量工表示向量值）

10.在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地

间的实际距离为千米

11.已知点尸是线段上的一点，^.BP2=AP-AB，如果N8=10c"?,那么BP=cm

RF3

12.如图，在口45CQ中，E是45延长线的一点，与边相交于点尸，如果卞=三,

AE7

那么BF芸的值为.

13.如图，在△NBC中，48=10,AC=6,。为5c上的一点，四边形甲为菱形，则

菱形的边长为.

试卷第2页，共6页

A

14.如图，在平行四边形48co中，E为CD上一点,连接/£、BD,且/£、8。交于点

F,若DE:EC=2:3,贝!JS，DEF：S“BF=.

15.如图，热气球的探测器显示，从热气球/处看一栋楼顶部3的仰角为，，看这栋楼底

部C的俯角为"，热气球N处与楼的水平距离为加米，那么这栋楼2C的高度为

米.（用含办△加的式子表示）

16.如图，△4BC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan/=

17.如图，若点G是aABC的重心，GDIIBC,则二三=.

18.如图，已知正方形纸片4BC。，E为C2延长线上一点，F为边CD上一点,将纸片沿

£尸翻折，点C恰好落在/。边上的点H,连接8。，CH,CG.CH交BD于■点、N,EF.

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CG、8。恰好交于一点若DH=2,BG=3,则线段MN的长度为

三、解答题(19-22每题KT23-24每题12,第25题14，=78，)

19.计算：2sin60°+|3-0|+(H-5)。-(；)」

20.如图，在梯形中，AD//BC,BC=2AD,对角线NC、AD相交于点O,设

AD=a，AB=b-

(1)试用a,♦的式子表示向量NO;

(2)在图中作出向量加在£、B方向上的分向量，并写出结论.

21.如图：ADWEGWBC,EG交DB于点、F,已知/。=6,BC=8,AE=6,EF=2.

(1)求助的长；

(2)求尸G的长.

22.木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部

最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东(沿NC方向)以每小时10海里的速度在琼州海

峡航行，如图所示.

试卷第4页，共6页

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的/处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的3处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C

点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

⑴填空：ZPAB=°,NAPC=。，AB=海里；

(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

（参考数据:V2«1.41,73«1.73,76«2.45）

23.如图，在44BC中，点。,E,尸,G分别在8c上，AB=3AD,CE=2AE,

BF=FG=CG,DG与EF交于点H.

(1)求证：FH・AC=HG・AB；

(2)连接。REG,求证：ZA=ZFDG+ZGEF.

24.如图，平行四边形/BCD在平面直角坐标系中，AD=6,若CM、08的长是关于x的

一元二次方程/-7x+12=0的两个根，且

试卷第5页，共6页

(1)求sinN48c的值.

(2)若E为x轴上的点，且以衣=9,求点£的坐标，并判断与A。/。是否相似？

(3)平面内是否存在点“，使得以点/、B、C、〃为顶点的四边形是平行四边形？如果有请

直接写出点M的坐标.

25.如图，已知矩形0/3C,以点。为坐标原点建立平面直角坐标系，其中/(2,0),C(0,3),

点尸以每秒1个单位的速度从点C出发在射线C。上运动，连接3尸，作交x轴于

点E,连接尸E交48于点凡设运动时间为/秒.

(1)若4B平分/EBP,求才的值；

(2)当/=1时，求点E的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的二角形与相似.若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求

解.

【详解】解：A、由二=2得，ac=bd,故本选项错误；

ha

由±=E得，ac=bd,故本选项错误;

由@=3得，ad=bc,故本选项正确;

cd

bc

由e=三得，ac=bd,故本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质

是解题的关键.

2.D

【分析】本题考查相似三角形的判定、平行线分线段成比例定理，找准相似三角形的对应边

是解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定定理作答即可.

【详解】解：N4是两个三角形的公共角，

Ar)

A、——=——，得DE〃BC，得

DBEC

AJ7AD

B、——二——，得出△ADEs-CB；

4B4C

C、二，得D£〃BC,得AADE；

ECAC

D、空=空，无法判断△4。£与445。相似，

ABBC

故选D

【分析】由DEIIBC可判断4ADE〜aABC,由S^ADE=S四边形DBCE可知,SAADE：SAABC=1*2,

即可求得答案.

【详解】vDEIIBC,

.-.△ADE-AABC,

•'•SAADEJSAABC=1：2,

答案第1页，共16页

.DE_AD_1_V2

"5C-7B-V2—"F'

故选：B.

【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形的相似比等于面积比的

平方..

4.A

【分析】根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度.

【详解】水平距离=J10?-（2遥）2=4下，

则坡度为：275：475=1：2.

故选A.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的概念：坡度是坡面

的铅直高度h和水平宽度1的比.

5.D

【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可.

ah

【详解】选项A中，由可得：一二—,即有办=从，不合题意；

cx

nc

选项B中，由可得：—,即有"=6c,不合题意；

bx

ah

选项C中，由可得：一=一，即有=不合题意；

xc

选项D中，

•・•AB//CD,

a_x

cb'

•••ab=cx,

故选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识解决问题.

6.C

【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.

【详解】解：•・・/B=8C,^ABC=90°,是4C边中线，

:.ZMBC=NC=45°,BM=AM=MC

答案第2页，共16页

•：DB=DE,

・•.ZDBE=ZDEB

BPNDBM+45。=NCDE+45。.

；"BM=NCDE.

•••EFL4C,

；.〃DFE=ZBMD=9O。

在/即〃)和在中

"/DFE=NBMD

<ZDBM=ZCDE

DB=DE

：.ABMD=ADFE.

故①正确.

由①可得4)BE=4)EB,ZMBC=NC

；・ANBE〜ADCB,

故②错，对应字母没有写在对应的位置上.

-ABMD=ADFE,

：,BM=DF,

-BM=AM=MC,

：,AC=2BM,

・・・AC=2DF.

故③正确

FFFC

易证/AABC,ffx以——=——,

£>CAB

；・EF・AB=CF・BC

故④正确

故选C.

【点睛】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质,

掌握基础知识是解题的关键.

7.4.

【分析】根据已知条件设Q=2左，b=3k,再根据q+b=10求出左的值，从而得出。的值.

答案第3页，共16页

【详解】解：设。=2左，b=3k,

•••«+/?=10,

••.2左+3左=10,

解得：k=2,

二。=2左=2x2=4；

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键.

8.5a-b

【分析】根据平面向量的运算法则解答即可.

【详解】解：2(5-2^)+3(3+6)=23-4b+31+3%)=5a-b-

故答案为：5a-b.

【点睛】本题考查了平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键.

9.-3e

【分析】根据&与单位向量工的关系，即可求解.

【详解】:方与单位向量工方向相反，且长度为3,

a=-3e-

故答案是：-3e.

【点睛】本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.

10.320

图上距离

【分析】根据比例尺=代入数据计算即可.

实际距离

【详解】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm,

图上距离

比例尺=

实际距离

.••1：8000000=4：x,

.t•x=32000000,

.•・甲、乙两地的实际距离为是320km.

图上距离

【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=是解题的关键.

实际距离

11.575-5

答案第4页，共16页

【分析】根据黄金分割点的定义，可得BP=4i二IAB,代入数据即可得出BP的长度.

2

【详解】解：,•,点P在线段AB上，BP2=AP・AB,

.・•点P为线段AB的黄金分割点，

又AB=10cm,

.,.BP=10x—~-=(5^5-5)cm.

2

故答案为575-5.

【点睛】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关

键.

12.3

4

RFRF

【分析】由平行四边形的性质可得又ABIICD,因此反£尸〜AC。尸，所以"=再根

据已知写==,且AE=CD+BE,代入可求得答案.

AE7

【详解】解：•・•四边形ABCD为平行四边形，

••.AB=CD,ABHCD,

BE3

，~AE~7,

•BE_3

,.CD+BE—〒

.BE_3

••=一，

CD4

又・.・AB||CD,

・•.NBEF〜NCDF,

.BFBE_3

'~CF~'CD~49

故答案为一3.

4

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及判定与平行四边形的性质，掌握是相似三角形的

对应边成比例解题的关键.

_15

13.—

4

【分析】由DFIIAB,推出4CFD〜aCAB,于是得到DF笔=C三F，设菱形的边长为x,列出

ABAC

方程，求解即可.

答案第5页，共16页

【详解】解：•・•四边形AEDF为菱形,

/.DFIIAB,

.-.△CFD^ACAB,

DFCF

••布一就

设菱形的边长为X,

x6-x

解得X=：

4

故答案为％=了.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，能根据比例线段正确列出

方程是解题的关键.

14.—

25

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得ABIICD,AB=CD,即可证得

△DEFsABAF,然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案.

【详解】解：••・四边形ABCD是平行四边形，

•••ABIICD,AB=CD,

•■•△DEF-ABAF,

2

V

.°ADEFDE

~AB

U^ABF

vDE：EC=2：3,

.-.DE：CD=DE：AB=2：5,

•••5△DEF：S&ABF=4：25,即.

4

故答案为：—.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.此题难度不大，注意

掌握数形结合思想的应用.

15.〃z(tana+tan尸)

【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点工作上2C于点。，根据

题意得=NDAC=0,加米，然后利用三角函数求解即可求得答案.

答案第6页，共16页

【详解】解：首先过点/作4。15。于点。，如下图所示,

则NA4Z)=a,/DAC=。,40=加米，

在Rt4ABD中，BD=NZMana=m*tana米，

在RtA^CZ)中，DC=40・tan/?=wtan/5米，

：.BC=BD+DC=m-tana+m-tan^?=m(tanct+tan，)米.

故答案为：m(tan(z+tan/?)

16.1

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，

先判断△/5C是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】解：­••^C=712+22=V5-BC=712+22=A/5-

■.AC=BC,

AC2+BC2^5+5=10,次=9+1=10,

■■AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=9Q°,

BC,

•••tanAA=—=1,

故答案为1.

17-.

-3'

【分析】延长AG交BC于E,根据重心的概念和性质得到BE=EC,—=-,根据平行

AE3

线分线段成比例定理得到比例式，计算即可.

【详解】解：延长AG交BC于E,

答案第7页，共16页

•・•点G是4ABC的重心,

AG2

・・・

BE=EC,~AE~3

vGDHBC,

,GDAG2

又

'~EC~^Ey,BE=EC,

GD_1

5C-3

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点,

且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

18.

【解析】略

19.0

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及利用绝对值的性质和零指数新的性质以及负指数

寨的性质分别化简得出答案.

【详解】原式=2x^l^+3->/3+1-4=^3+3-6+1-4=0.

2

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

-•1-2-

20.{\}AO=-b+-a

_1-1T

⑵图形见解析，向量加在2、B方向上的分向量分别为-b

【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量

定理.

（1）根据平行线分线段成比例可得。4=；/C,结合平面向量定理即可表示；

（2）根据平面向量定理画图即可.

【详解】（1）解：・.・/O〃8C,BC=2AD,

.AO_AP

"~OC~^C~2,

即CM=LC,

AC33

•l-AD=a，AB=b，BC,诙方向相同，

/.BC=2。，

•/AC=AB+BC=b+2a，

答案第8页，共16页

—►1一2-

二.AO——b4—a；

33

1-1T

(2)如图所示：即为向量而在£、3方向上的分向量分别为-]〃，~b.

21.(1)3；(2)—

3

【分析】(1)由EGIIAD可得出4BAD〜Z\BEF,利用相似三角形的性质可求出EB的长；

(2)由EGIIIIBC可得出4AEG〜ZkABC,利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合

FG=EG-EF可求出FG的长.

【详解】解：⑴vEGHAD,

.-.△BAD^ABEF,

BE_EFBE2

即

BE+6~~6

・・・EB=3.

(2)vEGIHIBC,

.•.△AEG'-AABC,

EGAEEG6

•••——=——，即nn——=----，

BCAB86+3

16

，EG=—,

3

10

・・・FG=EG-EF=—.

3

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是

解题的关键.

22.(1)30；75；5

(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区

【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：

(1)根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以

时间可以计算出对应线段的长度；

(2)设PO=x海里，先解RtAPDB得到3Q=x,再解RtA/PD得到/。=包-=瓜海里,

tan4

答案第9页，共16页

"p=焉=2苫海里'据此可得x+5=Gx，解得/P=2x=[G+5）海里；证明/C=//PC,

则AC=AP=卜石+5）海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论.

【详解】（1）解：如图所示，过点尸作PD_L/C于。，

由题意得，ZAPD=60°,ZBPD=45°,ZCPD=\5°,

ZPAB=90°一ZAPD=30°,ZAPC=ZAPD+ZCPD=75°；

・•・一艘渔船自西向东（沿NC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从/

出发到上午8时30分到达8,

.•./2=10x0.5=5海里.

（2）解：设PO=x海里，

在RUPDB中，BD=PD-tanNDPB=x海里，

在RtA/尸。中，4D=PD海里,==海里,

tanAsinA

•••AD=AB+BD,

x+5=-y/Sx9

55月+5

解得x=

V3-1-2

AP=2x=卜0+5）海里，

•••NC=180°-//-//PC=75°,

.-.ZC=ZAPC,

.../°=//>=（56+5）海里；

上午9时时，船距离/的距离为10x1=10海里,

•■-5V3+5-10=573-5~5xl.73-5=3.65<5,

答案第1。页，共16页

•••该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区.

23.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据已知条件先证明DGIIAC,EFHAB,可得NHGF=4C,ZHFG=ZB,即可证

明△HFGMABC,从而可得结论；

(2)连接DF,EG,DE,证明四边形DFGE和ADHE是平行四边形,即可证得结论.

【详解】vAB=3AD,BF=FG=CG,

.•.BD=2AD,BG=2CG,

BDBGc

------------2

ADCG

.-.DGIIAC,

同理可得，EFHAB,

.*.ZHFG=ZABC,ZHGF=ZACB,

.•.△HFG-'AABC,

--------,即FH•AC-HG•AB；

ABAC

(2)连接O尸接G,DE,如图所示，

vEFIIAB,

GHGF

vGF=FB

GHGF

----==1，

HDFB

・・.GH=HD,

同理可证，FH=EH,

.•・四边形DFGE是平行四边形,

.-.DFHEG,

答案第11页，共16页

.*.ZFDG=ZEGD,

.-.ZFHG=ZEGH+ZHEG,

vzDHE=zFHG,

.*.ZDHE=ZEGH+ZHEG=ZFDG+ZGEF,

由EFIIAB,DGIIAC,得四边形ADHE是平行四边形，

.,.zA=Z.DHE,

：./A=/FDG+/GEF

【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，

熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.

4

24.(l)y

⑵点E的坐标为或AAOESADAO,理由见解析

(3)存在，点”的坐标为(6,4)或(-6,4)或(0,-4)

【分析】(1)解一元二次方程求出04、02的长度，再根据正弦定义求解即可；

(2)根据He抑。£=*'0£=中求出OE和长，即可求解；

(3)分三种情况：①48、8c为邻边，AC、为对角线时，即口4BCN,②NC、BC

为邻边，AB、CM为对角线时，即受AC,CW为邻边，AM、2c为对角线时,

即aACMB,然后根据平移的坐标变换规律求解即可.

【详解】(1)解：一7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

x-3,%=4,

v0A>OB,

OA=4,OB=3,

*',AB=VOA2+OB2=5，

•0A4

sin/ABC==—.

AB5

(2)解：==；x4x0E二与，

:.OE=-,

3

当点E在x正半轴上时，

答案第12页，共16页

:.E\?T

当点E在x负半轴上时,

:.E|，。，

加或一

・••点E的坐标为

此时△ZOEs4。/。；

理由如下:

8

VOF_i_2,CU42

OA~4~3AD63

OEOA

OAAD

又•「ZAOE=ZDAO=90°,

.,.△AOESADAO；

（3）解：①AB、8c为邻边，AC,3M为对角线时，即口48CN,

此时点M与点。重合,

.•川（6,4）；

②/C、3c为邻边，AB、CM为对角线时，即

则W=8。=/。=6,AM//BC

・•・将点A向左平移6个单位得到点M,

.•・"6,4),

③NC、C以为邻边，AM.8c为对角线时，即裁CW,

则43〃CM,AB=CM,

•：OC=BC—OB=6—3=3,

・•.C(3,0),

OA=4,OB=3

.•.4(0,4),5(-3,0),

・•.48向右平移3个单位，向下平移4个单位，与CW重合,

.••^(0,-4)；

综上，存在，点M的坐标为（6,4）或（-6,4）或（0,-4）.