上海市某中学2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试卷3

上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.等比数列｛（｝中，%=4,%=6,则%.

2.已知复数z满足0+i”=2i3为虚数单位），则目=——•

3.已知常数“eR,函数了=（“-1）.2、-、经过一个定点，则该定点坐标为—.

4.己知］=（%/），6=（-2,3”若&与B互相平行，则实数上的值是____

5.已知ae（0，W，sina,则tan（a+j的值为--

6.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为一.

7.已知一罐汽水放入冰箱后的温度无（单位：（）与时间/（单位：h）满足函数关系

x=4+16e2,则大约经过一分钟，温度的瞬时变化率为_fc/h（精确到1分钟）

8.如图为函数y=2sin（ox+3）（0>0,|0怅）的部分图象，则。=_-

9.小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有1,2,3,…,211这211个自然数，

然后小张划掉最前面的4个数1,2,3,4,并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继

续划去5,6,7,8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计

试卷第11页，共33页

算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为一.

「y=f(x)-mm

2-।若

10.已知函数〃x)=<的恰好有2个零点，则实数的取值

—x2+l,x<1

12

范围

IL如图，四边形48co中，已知4D=2,/B=3,N34D=NBCr)=NBOC=45°，则对角线

NC的长为—.

12.已知函数/(》)=卜2一同,xe[0,l]，其中常数aeR，若/(x)的最大值记为g(a)，则

g(a)的最小值为----

二、单选题

13.设％,年，%，a均为非零常数，不等式为x+4>0和出》+仇>0的解集分别为〃、

N,则“幺=4”是“加02V”的

a2b2

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.复数方程2一解的个数为()

Z=Z

A.4个B.3个C.2个D.1个

15.一个棱长为1的正方体盒子，则下列几何图形能否单独完全装入盒子(

①长度为L7的线段；②面积为1的圆；③体积为0.3的正四面体

试卷第21页，共33页

A.仅①②B.仅①③C,仅②③D.①②③都可以

,

16.已知点4,4,…，4("eN,”22)均在圆。上，右有---1-OAn=6则必有

4,4,…，4平分圆。则满足要求的”的个数为()

A.0个B.仅有1个C.仅有2个D.3个或以上

三、解答题

17.已知函数"X)=loga(l+x),g(x)=k»g"(l-x),其中常数

⑴若a=2,求不等式2/(x)>g(x)+l的解集;

(2)若0<x<l，试比较/=|/(切与3=|g(x)|的大小.

18.记S"为数列｛%｝的前〃项和，，为数列｛SJ的前"项积，已知工+1=2.

S,bn

(1)证明：数列色,｝是等差数列；

(2)求｛”“｝的通项公式.

19.在/4SC中，角4民。的对边分别为a,6,c,己知沅=(26-c,a)，

.、日WV

n-(cos^4,-cosC)，且冽_L〃,

(1)求角A的大小；

(2)若”也,AABC面积为”1，试判断44BC的形状，并说明理由.

4

20.如图，正方体4BCD-4B1G2的棱长为4，点E、下分别为棱GQ和/4的中点.

试卷第31页，共33页

K

(I)求异面直线EF与2C所成角的大小；

(2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征；

(3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所

成角的大小.

xx

21.已知函数f=-l)e-be~-ax(a,beR)•

(1)当a=3,6=0时，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)当6=1时，/(x)既存在极大值，又存在极小值，求”的取值范围；

⑶当1<a<2,6=1时，占，马分别为/(x)的极大值点和极小值点,且〃占)+狂(%)>0,

求实数上的取值范围.

试卷第41页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案DADC

1.9

【分析】运用等比中项公式计算即可.

【详解】等比数列中，%=4,%=6,则抬=%的，即36=4%，解得%=9・

故答案为：9.

2-41

【分析】根据复数除法法则计算出z=i+i，从而求出模长.

【详解】z=2L2i(尸)=辿蒙=一2=i+i,

1+i(l+i)(l-i)1-i2

故|z|=Jl+1=V2，

故答案为：亚

【分析】对函数解析式变形，得至仃=。(2'-工)-2"令2、-；=0,解题即可.

22

【详解】对函数解析式变形，得到了=("1)2-■|=研2,-g)-2",

令2、-；=0,解，=T.代入解析式，得至1」＞=一:，经过一个定点(-1,-

222

故答案为：(-

答案第11页，共22页

4.

【分析】由向量共线的坐标公式，列出方程求解即可.

【详解】因为〃〃力

匚匚［、］3左=一2及刀/日72

所以，解得k=—,

3

故答案为：-2.

3

5.3

【分析】首先根据已知的正弦值求出余弦值，进而得到正切值,最后利用两角和的正切公

式求出tan(a+：)的值.

【详解】已知"，切即”不，则cosa=Jl-sin”=J

2石

Is/5，

V5

根据tantz==,出二。，

cosa2yJ52

-V

/,二、tarU+tan5

tan(/+B)=-----------/\-+1

根据两角和的正切公式1-taMtanS,则12山+力=-^--=3.

1--X1

2

故答案为：3.

66

3

答案第21页，共22页

【详解】试题分析：由题意得：〃=1"=6,圆锥的体积为1%产〃=叵

33

考点：圆锥体积

7.104

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】易知）二-32尸［则一i=-32e3=/=gln2（h）,

则徐104分钟•

故答案为：104

8.-

3

【分析】由图象过点（°，百万。）结合正弦函数性质可得答案.

【详解】因图象过点（°，6）,则2sin?=囱nsin/=回，

结合S怅，可得夕=/或。=,，又图象过此点时单调递增，则尹=/

因图象过点（兀⑼，结合图象，可得。兀湛Lkno=k—,其中"Z

33

结合o＞0=＞后＞L.

6

又由图可得函数的最小正周期大于兀，则等®。/丁=口,

结合建，可得X,则…泻.

答案第31页，共22页

故答案为：I

9.22366

【分析】根据题意依次划掉数字并加入和，记作数列，并计算留下数字的和即可•

【详解】①易知211=4x52+3,划掉52次后，变为3+52=55个正整数，

记为2M3,…，65，其中％=209,«2=210吗=211,%=1+2+3+4,…

为5=205+206+207+208，

-1(1+211)x211,

所以“i+a2---Fa55=1+2H--------1-211=------------=22366；

②易知55=4x13+3，再划掉13次后，变为13+3=16个正整数，记为人也，…在6，

其中4=a53,b2=%4力3=〃55，"=%+%+%+4,…，b、6=Q49+。50+〃51+〃52'

贝U4+4+…+*6=〃]+2+…+%5=22366；

③而16=4x4,再划掉4次，变为4个正整数，记为0],02，。3，。4，

其中q=4+&+々+"，，。4=九+%+九+々6，

故9+Q+…+。4=。。2H—+九=22366；

④4=1x4,再划掉最后1次，变为1个正整数，记为d，

其中d=q+Q+。3+。4=22366•

故答案为：22366，

18(1,2)

【分析】由题意可得函数了=/(%)与了=加有两个交点，作出图象可求得实数机的取值范围.

答案第41页，共22页

【详解】令y=0,可得/(x)TW=(P可得/(x)=机，

由昨/(x)-m的恰好有2个零点，则/(x)=m方程有两个根,

则函数y=/(x)与了=加有两个交点，

由图象可得函数y=/(x)与＞=加有两个交点，可得1〈加＜2，

所以实数小的取值范围为(1,2).

故答案为：(1,2)

ILV22

【分析】旋转V8C4构造全等，结合勾股定理计算即可.

【详解】由题意可知/C8Z)=90。，即△BCD为等腰直角三角形，

可将V48c绕8顺时针旋转90。得△E3D，

贝INEBA=90。"=EB=3,AC=EDnNEAB=45°,AE2=AB1+EB2=18，

又NEAB+NBAD=90。，

所以为直角三角形，AC1=DE2=AD2+AE2=AD2+2AB2=22，

即/。=应-

故答案为：722•

答案第51页，共22页

E

12.3-2A/2

【分析】分aWO，0<a<b\<a<2,四种情况，结合二次函数的性质可求g(a)的

解析式，进而可求g(a)的最小值.

22

【详解】当040时，f(x)=\x-ax\=x-ax'函数/(x)的最大值为=，

所以当a40时，g(a)=l-a>

因为y=x2-ax与x轴交于(0,0)与(a,。)，

当。<“<1时，由二次函数的图象，对称轴为》=£,/(^)=|(|)2-ax||=^.

答案第61页，共22页

又/⑴=1一"，若d"⑴，则有!《j，解得°<aW2及-2,

所以若0<a«2c-2时，g⑷=1一。，

若2A/^EizEl时,g⑷=£_,

当行<2时,对称轴x、>；,所以〃x）”吗）=》

当心2时，对称轴X，“小）皿、=/（1）="1,所以g（°）="l,

2

l-a,a<2A/2-2

2

综上所述：g(a)=<?,2拒-2<”2,

a-l,a>2

当Q<2亚-2时，g⑷=1-。单调递减，所以g⑷2g（2后-2）=3-2

当2A/2—2<Q<2时,g（a）=《单调递增,g（a）>g（2夜-2）=3-2色

当Q22时，g（a）="l单调递增,g（tz）>1,

所以g（。）的最小值为3-20.

故答案为：3-2行・

【点睛】思路点睛：含绝对值的函数的最值问题，分类讨论是一解决问题的有效方法•

13.D

【分析】设幺="后，证明/<°时，无法推出“而；当”=N=0时，也推不出

«2b2

答案第71页，共22页

幺=人从而得到答案.

a2b2

【详解】设幺=4=左，贝产==他，

a2b2

所以axx+伪>0=ka2x+kb2>0u>k{a2x+打）〉0，

当左<0时,aix+bl>0^a2x+b2<0^此时

所以也=4”推不出“"就”.

a2b2

当M=N=0时，有％=0,440,%=0您40,推不出幺=2,

4b?

综上所述“幺=旦”是的既非充分又非必要条件.

a2b2

【点睛】本题考查一元一次不等式的含参讨论、充分条件与必要条件，考查逻辑推理能力,

考查分类讨论思想的灵活运用，注意在验证一个命题为假命题时，可通过举出反例证明.

14.A

【分析】设z=0+6i，由复数得乘方与共辗复数的概念计算参数即可.

【详解】设2=4+〃，则z?=/_/+2。历，z=a-bi»

22

[a-b=a]a=0[a=\a=-L

所以12仍=-6,解之得H=°或H=°或2,共4组解.

b=±——

[2

故选：A

15.D

【分析】通过比较正方体体对角线的长可以判断①；通过比较正方体棱的中点所构成的正

六边形的内接圆与已知圆的半径可以判断②；计算正方体中最大的正四面体的体积，可以

判断③.

答案第81页，共22页

【详解】对于①棱长为的正方体盘子，体对角线长为护3",所以长度为的短棍（粗细

忽略不计）放入正方体体对角线的位置就可以装入，故①正确;

对于②，如图，连接正方体的棱的中点所得的正六边形的内接圆是正方体内能放入的最大

圆,

正六边形的边长瓦才=血，E”的中点0为内切圆的圆心，环的中点S为切点,

°,为正六边形的内切圆的半径，利用勾股定理可得os=75万=加7=口1=E

V28V8

面积为1的圆的半径为r=+=Q=F<F，

所以②面积为1的圆可放入棱长为1的正方体盒子，故②正确;

对于③正方体ABCD-内最大的正四面体为ADiBiC如图所示，

其体积为F-4xWlxlxl=l>0.3,

323

故体积为0.3的正四面体可放入棱长为1的正方体盒子，故③正确;

故选：D.

16.C

答案第91页，共22页

【分析】分2，力_［，〃>4三种情况讨论可判定结论.

n—乙fl—J〃c*■+

【详解】由西+矶+…+西=6，

当〃=2时，两向量共线反向，4,为平分圆。，符合题意，

当〃=3,由弧+恒+西=6,设圆。的半径为1，

变形可得可=-四-西'两边平方可得西2=西2+2西.西+西？'

所以1=1+2X1X1XcosN4。4+1,解得cos/却,

因为°欣乙似?4<,所以同理可得44。4=］,//。4=三，

所以4,4,4平分圆。，

若〃“时，

当”为偶数时，只要分为］对，每对共线，可得可+西+―-+西=6,

比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足西+就+…+西=0，但不平分圆,

所认4,4,…,4不一定平分圆，故不符合题意，

当“为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足西+西+西=0,

可得4,4,4平分圆。，另外剩余的一定是偶数点，由前面知道，这些点可分组，

但不一定平分圆，故可得同,4,…,4不一定平分圆，

综上所述，可得只有2与3符合题意，

故选：C.

答案第101页，共22页

【点睛】思路点睛：分类讨论是解决本题的关键，掌握向量的有关运算与性质是基础.

17.(1)(75-2,1).

⑵/<8

【分析】(1)利用对数函数的性质及对数运算计算即可；

(2)分类讨论。的范围，结合对数函数的单调性及作差法比较大小即可•

［详解］(1)”2时，/(x)-log2(l+x),g(x)=log2(l-x)；易知

［l+x>0''

>

所以2/(x)=log2(l+x)\g(x)+1=log22(l-x)

2,

则不等式等价于log2(l+%)2>log22(l-x)=>(l+x)>2(l-x)

即+©―1〉0，解之得x>旧-2或x〈-旧-2，

结合定义域X©@—1,11知不等式解集为(遥-2,1)；

(2)易知当o<x<l时，l+x>l>l-x>0,

若a>l，则log。(1+x)>0,log«(1-x)<0,所以/=loga(l+x),8=-k>ga(1-尤),

2,

^^-5=loga(l-x)<logal=0即/<8;

右1>a>0，则10gti(1+x)(0,log“(1-0'

所以Z=-bg"(l+x),B=log0(l-x)，

则Z-8=-loga(l-x2)=logjl-x2)<logj=0,即/<8；

aa

综上所述：A<B.

答案第in页，共22页

18.⑴证明见解析；（2）6=；

【分析】（1）由已知＞k2得*念，且“。，取I,得匕,由题意得

槐匚.3--------=b„，消积得到项的递推关系与」=如，进而证明数列也｝是等差

2^-12^-12^,-12b…1b„

数列;

（2）由（1）可得”的表达式，由此得到S”的表达式,然后利用和与项的关系求得

^n),n-2

【详解】（1）［方法一］:

由已知2+工=2得月=马」,且々产°,

s„bn2bn-l2

取"=1,由V得

由于“为数列｛$“｝的前"项积,

所以含含A

所以2——_^-b

24-1262T2bxim

答案第121页，共22页

%

所以

2%-1b,

由于鼠尸0

2

所以—,即6--b=

2%-1b“H+1"

所以数列也"｝是以4=5为首项，以d=1为公差等差数歹U;

22

［方法二］【最优解】：

由已知条件知6=S「S£……S.S①

于是②

由①②得3=$".③

如

又工+l=2,④

E,b„

由③④得

令"=1,由得4=(

所以数列也｝是以3为首项,工为公差的等差数列.

22

［方法三］:

由Z+J_=2,得，S"日S"0b,产oE尸1

S.b„2s“一2

答案第131页，共22页

又因为“=SjS"T•'=S”也T,所以6&=^,所以

Sn2s“一2

bn-bn!=3----------------==-(»>2).

""-12s“-22S„-22(S„-1)2

在2+-1-=2中，当”=1时，6］=岳=』.

E,b„2

故数列抄」是以3为首项，工为公差的等差数列.

22

［方法四］:数学归纳法

由己知2+工=2,得b、="4=2,3,猜想数列｛4｝是以3为首项,

Sb2b-12322

工为公差的等差数列，且4=!”+1.

2"2

下面用数学归纳法证明.

当“7时显然成立.

假设当〃=及时成立，即4=1+1同=害.

RJ7/、1/〃=后+1_L_,(1、左+3左+31/7

那么当n时，矶|=即%|=左+1.力=k=5(左+1)+1.

\LJKI乙乙乙

综上，猜想对任意的“eN都成立.

即数列抄"｝是以3为首项，工为公差的等差数列.

22

(2)

答案第141页，共22页

由（1）可得‘数列也，｝是以4=9为首项'以为公差的等差数歹I，

b=—+(H-1)X—=1+—

〃n2V722

=2bn2+n

"2^,-11+n'

当n=l时，a{==―,

当时,4“=邑一s”|==一=---1—，显然对于n=\不成立,

1+nn+

【整体点评】（1）方法一从2+_L=2得5"=3」，然后利用”的定义，得到数列｛4｝

S,bn2勿-1

的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论;

方法二先从”的定义，替换相除得到袅=S“，再结合工+,=2得到6“-6-=工，从而证

%S.bnI2

得结论，为最优解;

方法三由2+1=2,得»=二^,由々的定义得6“1=久,进而作差证得结

S.b,2s「2Sn2s,-2

论；方法四利用归纳猜想得到数列6“=匕7+1,然后利用数学归纳法证得结论.

2

（2）由（1）的结论得至必"=工〃+1,求得星的表达式,然后利用和与项的关系求得｛%｝的

〃2

答案第151页，共22页

通项公式;

19.(1)-；(2)AABC为等边三角形.

3

【分析】(1)由(2b-c)cosA-acosC=0及正弦定理，得sinB(2cosA-1)=0,从而

得角A；

(2)由SABC=1bcsinA=,可得bc=3,①；再由余弦定理a2=b?+c2-2bccosA可得

△13V3

2~T

b2+c2=6,②；联立①②可求得b=c=积3,从而可判断AABC的形状.

【详解】(1)由(2b-c)cosA-acosC=0及正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA-

sinAcosC=0,

2sinBcosA-sin(A+C)=0,sinB(2cosA-1)=0.

V0<B<7i,sinB^O,.*.cosA=—.*.*0<A<7i,

2

：.A=-.

3

(2)4ABC为等边三角形，VSABC=IbcsinA=「

△13V3

2~T~

即」bcsin工=3M.；.bc=3,①

234

*/a2=b2+c2-2bccosA,A=工，a=J3,/.b2+c2=6,②

3

由①②得b=c=十寸，.'△ABC为等边三角形.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思

想与运算求解能力，属于中档题.

答案第161页，共22页

20.⑴arctan

2

(2)答案见解析；

(3)arctan2.

【分析】(1)取O2中点K，利用正方体特征及异面直线夹角的求法计算即可；

(2)利用基本事实与推论作图即可，并求出相关交点位置；

(3)设底面边长与高，利用四棱锥的表面积与体积公式，结合二次函数的性质，线面夹角

计算即可.

【详解】⑴取。2中点K,连接FK,K£，易知FK///D//8C,

所以异面直线口与3c所成角即

乙此fR

由正方体特征可知尸K_L平面CD4G,KEu平面CDAG，

则尸I?

所以tanZEFK=—NEFK=arctan—，

FK422

所以异面直线口与3c所成角为arctan交；

2

(2)延长C£,£)2交于双点，连接N尸交4D］于〃点，

并延长昕与以延长线交于M点，连接/C交于G点，

则五边形CEHFG为所求截面，易知FGI/EC,HEI/CG，

则由等角定理知：N4FG=NEqCn4G=l,力冲=NCGB=D"=0；

113

答案第171页，共22页

N

(3)易知正方体的表面积为6x42=96,设正四棱锥的底面正方形边长与高分别为2a,〃，

则其表面积S=402+4x；x2ax^h2+a2=96,化简得力+^h2+a2)a2=24,

不妨设—Y学48,

而体积为％；x4/"=g，1号--4j=史鲁^36-(/-6)2,

显然"6,即°==46时体积取得最大值，

aL

设侧棱与底面夹角，此时有tana=2=>a=arctan2.

y/2a

答案第181页，共22页

21.（l）x+y—2=0

⑵（l,2）u（2,+劝

（3）（-oo,_l]

【分析】（1）由题意，将4=3,6=0代入/（X）的解析式，对/（X）进行求导，得到广（0）

和/（0）的值，代入切线方程中即可求解；

（2）将6=1代入/卜）的解析式，，对了卜）进行求导，将y（x）既存在极大值，又存在极

小值转化成/（司=0必有两个不等的实数根，利用导数得到了（x）的单调性和极值，进而即

可求解；

（3）将6=1代入“X）的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将

解即可.

【详解】（1）函数/（x）=（a-l）e*eR）的正义域为R，

答案第191页，共22页

当。=3,6=0时,〃x)=2e*-3x，

则r(x)=2e*-3,故/'(0)=2-3=-l，又/⑼=2，

所以曲线y=/(x)在点(0J⑼)处的切线