上海市某中学2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试卷（附答案解析）

上海市控江中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.设xeR,不等式的解集为.

2.已知全集。={1,2,3,4},A={2,4},则7=.

3.已知复数z满足z(l-i)=4i(其中i是虚数单位)，则目=.

4.设弧〃eR.若向量a=(3,l,-2)与向量刃=(加,-2,〃)平行，贝：加+”=.

5.曲线夕=用在点(1,0)处的切线方程为.

6.+的展开式中常数项是(用数字作答)

7.设aeR,函数y=/(x)是奇函数.若/(l)=e"-3,/(-1)=1,则”.

8.设等差数列{%}的公差不为0,其前〃项和为S,.若。9=2%，则&=.

2XY>1

9.设aeR,函数〃x)='，'若关于x的方程“对=。恰有一解，则。的取值范围

-X,x<1.

为.

10.设aeR.对于样本数据。，6,9,6,12,若该样本的第60百分位数是一个整数，则

符合题意的a的个数为.

11.在空间中，。是一个定点，已知圆锥上的所有点到。的距离都不超过1，则当该圆锥的

体积取得最大值时，底面半径为.

12.在平面直角坐标系中，已知椭圆一：三+口=1以及圆匕：/+必=4,若点A、B分

2516

别在口、「2上，点C满足血.数=1,则|就|的最小值为.

二、单选题

13.下列方程中，能够表示双曲线上-产=1的一条渐近线的是().

4

XX

A.y=—B.y=—C.v=2xD.y=4x

42

试卷第1页，共4页

14.在正方体中，M是的中点，则在下列直线中，与直线相交的

A.直线/4B.直线/与C.直线NGD.直线40

15.设叱0,表[0,2兀）.若关于x的等式sin（3x+6）=sin[ax+力恒成立，则满足条件的有

序实数对（。,6）的对数是（）

A.1B.2C.3D.4

16.已知函数/（司=/-3x的图像为曲线关于命题①“任取平面上的一点尸，与曲线「关

于点尸对称的曲线口总能表示函数”和命题②“存在倾斜角。4：今）的直线/,使得与曲线

「关于/对称的曲线匕能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（）.

A.①和②都是真命题B.①和②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题

17.在直四棱柱N2CD-44GA中，底面/3C。是菱形，且4B=BD=4

⑴求证：直线叫UC；

⑵求二面角的大小.

试卷第2页，共4页

18.在VN8C中，角A、8、C所对的边分别为“、b、c,已知。=5.

7T

(1)右Z=b=3c,求。；

TT

(2)若4=一，5csinB=3b,求V45C的周长.

6

19.为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种

纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念

品.在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片,

准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：

书签明信片

手绘款40

普通教150120

(1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张.记事件

首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算

P(/)、P(B),并判断事件3是否独立；

(2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到

一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2,且考虑到纪念品总数有限，

希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线「：/=16了的焦点为尸，过尸的直线/与抛

⑴若点A的纵坐标为1,求尸|；

⑵证明以。•忸以为定值，并求出该定值；

⑶过A、8分别作抛物线r的切线4、4，且4、4交于点M，求与AADM的面积

试卷第3页，共4页

之和的最小值.

21.设函数>=/(无)的定义域为R.对于闭区间/,若存在不“，使得对任意xe/,均有

成立,贝！J记场(/)=/(々)；若存在％门,使得对任意xe/,均有〃/)”(力

成立，则记吗•(/)=/(%).

⑴设f(x)=--+3x,分别写出([0,2])及吗([0,2])；

(2)设“eZ,/(x)^e'(x-2)2.若对任意闭区间/三(-甩可，均有不等式“,(/)-吗(/)V4

成立，求”的最大值；

(3)已知对任意闭区间/,与叼⑺均存在，求证：">=〃x)是R上的严格增函数或

是R上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间人，I2,//(/JHM/A)与

m.f(<)*mf(J2)至少有一个成立”.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号13141516

答案BCBC

1.（-00,-3）U（5,+oo）

【分析】由x-l>4或尤-1<-4即可求解.

【详解】由

可得：x-l>4或x-l<-4,

解得：x>5x<-3.

所以不等式的解集为：（-S,-3）U（5,+8）.

故答案为：（-8,-3）U（5,+00）

2.{1,3}

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】因为/={1,2,3,4},5={2,4},所以彳={1,3}

故答案为：{1,3}

3.2亚

【分析】根据复数的四则运算法则与模长公式运算即可.

,、4i4i（l+i）

【详解】因为z（l-i）=4i,所以z'=（1_：）（］+［广2+21,

所以目=J（-2）2+2?=2垃.

故答案为：2VL

4.-2

【分析】利用向量平行的坐标表示求得〃z，〃，从而得解.

【详解】因为向量2=（3,1,-2）与向量3=（叽-2,〃）平行，

所以加wO,〃wO,

所以3=1上-2，

m-2n

解得：冽=一6,〃=4,

答案第1页，共15页

所以加+〃=-2.

故答案为：-2

5.尸1-1

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】解：y'=~,

X

当x=1时，y'=1,

所以曲线>=1曲在点(1,0)处的切线方程为y=x-l.

故答案为：y=x-i.

6.15

【分析】根据二项式写出展开式通项，并确定常数项对应的r值，即可得常数项.

T展开式的通项『+1=C*6"k6ik

【详解】C6x-,令6—3左=0,解得斤=2,

所以常数项是C，=15.

故答案为：15

7.In2

【分析】根据奇函数的性质有=代入计算可得结果.

【详解】解：因为函数y=/(尤)是奇函数，

所以八-1)=-〃1)=1仁-3)=1,解得：a=ln2

故答案为：In2

8.L

5

【分析】由等差数列的通项公式代入。9=2%化简可得q=27,再结合等差数列的前〃项和

公式即可得出答案.

【详解】设等差数列｛4｝的首项和公差为为”,

所以%=2%,可得为+84=2(%+34),则q=",

邑_4%+6d14d_7

a94+8110<75'

7

故答案为：—.

答案第2页，共15页

9.[-1,2]

【分析】结合图像即可求解.

【详解】由/（耳="['画出函数图像,

I-x,X<1.

结合图像可知，方程/（力=。恰有一解，

。的取值范围为[-1,2].

故答案为：[T,2]

10.3

【分析】该样本共有五个数据，第60百分位数为第三四两个数的平均数，将数据从小到大

排序，讨论。的不同情况，计算符合条件的百分位数求出结果.

【详解】解：当时，该样本为。,6,6,9,12,此时第60百分位数为7.5,不合题意；

当6<a49时，该样本为6,6,d9,12,此时第60百分位数为，，若为整数，贝h=7或9；

2

当9<aV12时，该样本为6,6,9,a,12,此时第60百分位数为9+千a，若为整数，则。=11；

当。>12时，6,6,9,12,。，此时第60百分位数为10.5,不合题意;

所以符合题意的。的个数为3.

故答案为：3

H.迪心也

33

【分析】由题意可知，当圆锥体积最大时，圆锥内接于球，设球心到底面的距离为力，列出

底面半径与/!的关系，求导求出体积取最大值时力的值，勾股可计算半径.

【详解】由题意可知：圆锥上的所有点到。的距离都不超过1,

则圆锥在以。为球心，以1为半径的球内，

当圆锥体积最大时，圆锥内接于球，设球心到底面的距离为力，

答案第3页，共15页

如图所示：OA=OC=1,OOX=h,圆锥底面半径为r，贝！J〃2+〃2=I,

圆锥的体积为：%=；兀/0+〃)=；兀(1_r)(1+4)=](孑_/+〃+]),

令g(4)=—A3—/i2+A+1(0<A<1),则g'(〃)=—3A2—2/z+l=_(〃+1)(3〃—1),

当0</!<g时，g'㈤>0,当g<"<l时，g,(A)<0,

即g(〃)在(0,；］上单调递增，在［,1］上单调递减，

所以当〃=9时，8(/0有最大值8佶)=||,止匕时一举，r=|1k.

313/2/3o1

故答案为：迪

3

12.|/1.5

【分析】由网•国cosB=1得到=由;8，再由於2=(元-四二结合对勾函数

单调性即可求解.

【详解】

设O为坐标原点，因为A、8分别在一、匕上，

所以4q4。区5,又圆口：/+/=4,的半径为2,

结合图象可知2引以的3

由加灰=1，可得：网•卜qcos2=l,所以0<cos8Wl,

答案第4页，共15页

且瓯卜

1

HI|ST4|COS5

由就=前-囱，

可得：~AC=(5C-53)2,

可得：|近『=|因2+］用a.2元,第

可得：I"卜萧・丁忸卜2

可得:同卜力+网一2

因为44忸/『V9,

结合对勾函数的单调性＞=/+；,在(1,+8)上单调递增可知：

网y+网-2在幽『=4时，取得最小值：，

所以口邛2：,当8=0。，忸/I=2时，取得最小值，

所以R4的最小值为|.

_.3

故答案为：—

【点睛】向量模长问题，往往通过平方转化成数量积问题，借助基本不等式或对勾函数解决

最值.

13.B

【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.

【详解】由双曲线方程土72=1,可知〃=2,6=1,

4

丫21

所以双曲线3-产=1的渐近线方程为＞=±QX.

故选：B.

14.C

【分析】根据异面直线的特征判断即可.

【详解】对于A,因为幺4//。2，441a平面。。2匚平面。〃加，

答案第5页，共15页

所以44"/平面。所以直线44与直线2M不相交，故A错误；

对于B,因为Me平面9任平面N38/1,所以。平面4844,

又平面且Me/4，所以直线44与直线不相交，故B错误；

对于D,因为平面ADD/］，Me平面40口4，所以2Mo平面ADD/1,

又/Ou平面/。口4,且。3力。，所以直线与直线2M不相交，故D错误；

因为直线/G，。区都在平面/8CQ］内且不平行，所以直线4G，O四相交，C正确.

故选：C.

15.B

【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得有序实数对S，6）即可.

【详解】因为对于任意实数x都有sin（3x+6）=sin（ax+gj,

则函数的周期相同，同=3,

若a=3,止匕时5亩（3x+6）=$出,苫+1）,

因为北［0,2兀），此时，=,

若°=-3,贝！|方程

因为640,2兀）,则6=三，

综上满足条件的有序实数组（。,。）为（3,2共有2组.

故选：B.

16.C

【分析】命题①由点的对称可得到对称前后点的关系，代入之后可得结果；命题②根据轴对

称，找函数上的最低点，证明经过对称之后在第二或第三象限，再找与对称轴的交点必在第

一象限，则图像经过》轴，又原点也在》轴，则对称后的图像与》轴有两个交点，可得结论.

【详解】命题①:设曲线「关于点P对称的曲线口上的点为力（无,力，任取平面上一点尸（私〃）,

则点/（无,力关于尸（九〃）对称的点为3（2加-羽2〃-了）在曲线「上，

答案第6页，共15页

则有2"-y=（2m-x）3-3（2〃?-x）,即y=2〃-仅加-五丫+3（2m-x）,仍为函数，故命题①正

确；

命题②:对/（"=/一3》求导得，/G）=3/-3=3卜+1）（》一1）,当“e（―1,1）时，/'（x）＜0,

当工€（-8,-1）。（1,+8）时，/（X）＞O,

所以/'（无）在（-1,1）上单调递减，在（-叫-1）,（1,+8）上单调递增，且/（x）有最小值/⑴=-2,

任取直线y=kx（k＞^,设取-2）关于直线的对称点为（m,n）,

n+24+k-1

m-1kk2-\+Ak,44-2

则有《解得：机=-------k-----;------=T;---

n-2.m+1左2十1---左2+1

=k----

22

因为左＞1，所以/＜0,即经过对称后，函数/（力=/-3》上的最低点必在第二象限或第三

象限,

又函数/（x）与〉在第一象限有交点，关于＞=质对称后，对称图像仍与＞=履交于同一

点，

所以对称之后的图像与y轴有两个公共点，所以对称之后不是函数.

【点睛】关键点睛：把握函数的特点，对应一个无，有且只有唯一的一个y值与之对应，当

不为函数时，找到一个x对应两个y即可.

17.（1）证明见解析；

（2）arccos

7

【分析】（1）根据底面N2C。是菱形可得出对角线垂直，结合直四棱柱的特点可得到

DD,1AC,由线面垂直的判定定理以及性质定理可证明结果;

答案第7页，共15页

(2)建立空间直角坐标系，由空间向量法计算可求出结果.

【详解】(1)解：,・・底面N2CD是菱形，.•.4CL3。，

又因为四棱柱N2CD-44CQ为直四棱柱，所以。口,底面48C。,

/Cu底面N8CZ),DDX1AC,DDtr\BD=D,DR,BDu平面DRB

,所以/CL平面。。13匚平面。，8,;.8。，/。得证.

(2)取BC中点E,VAB=BD,且底面/BCD是菱形，则DEL3C,

以。为原点，D4为x轴，DE为＞轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图:

则不妨设Z(L。,。)，B—,C。(0,0,1)

__<1/?A

2/=(1,0,-1),AB=-,0,设平面aS，的法向量隹=(%,y,z),则

I22

x-z=0

16，令>=i,得应=(百

——x+——y=0\7

122,

平面NBC的法向量为k=(0,0,1),

所以二面角D.-AB-C的平面角的余弦值为：cos0=/拒=叵,

J3+3+17

所以二面角Dx-AB-C的大小为arccosl.

7

18.(1)0=迫

7

(2)15+3万或7+36

【分析】(1)可根据余弦定理,将已知条件代入求解边。；

答案第8页，共15页

（2）先由正弦定理得出角C的正弦值，再求出角C,进而求出角8,最后求出边6和。，从

而得到三角形的周长.

【详解】（1）根据余弦定理/=b2+c2-26ccos/，已知。=5,4=1"，b=3c.

将b=3c,a=5,cosN=；代入余弦定理公式可得：

175

52=（3c）2+c2-2x3cxcx5化简得c?=—

解得c=£Z（因为边长不能为负，舍去一姮）.

77

bc

（2）已知5csin8=3b,由正弦定理^——=----可得5sinCsin8=3sin8.

sinBsinC

3

因为sinBwO,可得sinC=《.

jr

因为a=5,A=--,”C时C有两解（C为锐角或钝角）.

6

4

当C为锐角时，cosC=-.

.16

sinB=sin(^4+C)=sinAcosC+cosAsinCfsinA=—fCOs^4=—

皿I.014e34+3A/3

贝！Jsin8=—x—+——x—=----------.

252510

再由正弦定理一^=上j,可得6=竺电0=5x"逋x2=

(4+3百).

sin8sin/sin/10

ca_^曰QsinC_3_,

----=----,可得c=---------=5x-x2=6.

sinCsinAsin/5

此时三角形周长为q+6+c=5+(4+%5)+6=15+V1

4

当。为钝角时，COSC=-y.

34

sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinCxx-

510

由正弦定理焉a可得人黑=5X*X2=(36-41

sinA

c_a一/口tzsinC厂3c/

可得。=­：----=5x—x2=6.

sinCsinAsin/5

此时三角形周长为a+6+c=5+（3君-4）+6=7+3后.

则丫/8（7的周长为15+3®或7+3瓜

19.⑴尸（，）=：,P⑻=*事件/,B不独立

⑵59

答案第9页，共15页

【分析】(1)根据概率公式求出P(/)、P(B),根据相互独立事件的概率公式判断是否独立;

(2)表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率,

解不等式求解即可.

【详解】(1)依题意,

书签明信片

手绘款4040

普通教150120

40+408

尸(4)=

40+40+150+12035

40+15019

P(3)=

40+40+150+12035

404

P(AB)=

40+40+150+12035

因为P(/8)力尸(/)尸(8),

所以事件N,B不独立.

(2)设手绘款明信片的张数为X,首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份

手绘款纪念品为事件C,

则尸(c)=>0.2,解得58.07<x<822.93,

考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，

所以手绘款明信片的张数为59.

20.(1)5

⑵证明见解析；定值为16

(3)32

【分析】(1)根据抛物线定义即可求得；

(2)根据题意，忸回=%,再根据韦达定理可证；

(3)利用点4B的坐标求出切线■，血的方程，可得点M的坐标，再得到弦长和点到直

线的距离，可得面积代数式，根据二次函数求得最值.

【详解】(1)根据已知抛物线的焦点尸(0,4),准线方程为：y=-4,

答案第10页，共15页

贝lj|/F|=l+4=5.

(2)证明：由已知直线48的斜率存在，设其方程为：y=kx+4,

设/(尤Qi),8a2/2)，则|/同=必+4,忸＞|=%+4,

则|/C|=|/尸卜r=%+4-4=y1；\BD\=\BF\-r=y2+4-4=y2,

IT?—+4

由＜2可得：x2-16kx-64=0(A＞0)

[x=16y

贝!]%1+%2=16左，x1x2=-64,乂%=9.%=(64)=]$,

161616x16

即忸。为定值16.

2

r1

则切线的方程为：y—-^=—%(x—百)①

168n”

2

Y1

切线期的方程为：y--^=—w(x—毛)②

168

②—①可得：——x)x=——xf),贝！Jx=7区+%2)=8左，

82162

由①可得：x=-(y-^-)+xl=—+,

再16再2

同理由②可得：x=-(y-^)+x2=-+-^

x216x22

联立可得：坦+；再二肛+；%2，则y,

为2x221616

、18左2+slI

点M到直线AB的距禺为d=/-=8，左+1,

2

\AB\=^(l+k^^+x^-4X1X2]=16(产+1)

答案第11页，共15页

则/\ACM与ABDM的面积之和为：

S=；(|/2|-8)d=:(1+16—8)x8信+1=32(2/+1)^+1

令t=VP+l(Z>1)A2=/一1,则S=32(2^-2+1)/=32(2?-?)(?>1),

S'=32(6?-1)>0在[1,+co)恒成立,即函数S=32(2N7)单调递增,

则当f=l即当左=0时，即直线的方程为了=4时，

则AACM与ABDM的面积之和的最小值为32.

【点睛】思路点睛：

解决圆锥曲线中有关三角形或者四边形面积问题时，一般思路：

确定三角形(四边形部分可转化为三角形)的底边和高；利用弦长和点到线的距离公式得到

面积.另外可根据具体题目进行适当的分割，得以减少很大的运算量.

21.⑴%([0,2])=；,^([0,2])=0.

⑵2

(3)证明见解析

【分析】(1)通过二次函数的性质求函数”X)在区间[0,2]最值即可；

(2)通过导数确定函数“X)的单调性及最值，结合题意即可得出答案；

(3)根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可.

【详解】(1)/(x)=-/+3x=-(x-gj+：,xe[0,2],

由二次函数的性质知，/(x)在。,|]上单调递增，在1,2上单调递减，

3zQ

所以当X=5时，^./([0,2])=/(x)max=-,

当x=0时,«z([0,2])=/(x)min=0.

(2)因为〃x)=e*(x-2)2,所以/，(x)=e，(x-2)2+2eX(x-2)=e、x(x-2),

令八支)>0，可得x<0或x>2,令f'(x)<0，可得0cx<2,

所以〃》)=叫》-2)2在(-8,0),(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

当x趋近负无穷，/(X)趋近0,当无趋近正无穷，[(X)趋近正无穷，

又/(0)=4J(2)=0,/(3)=e3>4,/(x)的图象如下图,

答案第12页，共15页

3

当"=3时，在时,Mf(/)=/(o)=4,mf(/)=/(3)=e,

则/(3)-/(2)=e3>4,不成立，

当〃=2时，在/口一8,〃]时，Mf(/)=/(O)=4,mf(/)=/(2)=0,

则/(0)-/⑵