拓展之基本不等式（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第06讲：拓展一：基本不等式

目录

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二凑配法...........................................4

法

方

三分离法...........................................7

法

方

四

换元法...........................................

法

方8

五

法常数代换的代换.............................

方

六“1”11

法

七

方消元法..........................................15

对钩函数........................................16

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果a>0,b>0,而W”也，当且仅当a=b时，等号成立.

2

②其中J拓叫做正数〃的几何平均数；早叫做正数。，〃的算数平均数.

2、两个重要的不等式

①储+Z7222azJ（a,beR）当且仅当时，等号成立.

②次74（与）2（a,beR）当且仅当a=6时，等号成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积盯等于定值p,那么当且仅当x=y时，和％+y有最小

值2#；

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值S,那么当且仅当x=y时，积取有最大

值、,2

4

4、对钩函数：

b

对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如：/（x）=取+—（a>。力>。）

x

的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

b常考对钩函

/(X)=6ZX+—(tz>0,Z?>0)/(%)=%+—(a>0)

函数X数

定义域(一8,0)U(0,+8)定义域(-co,0)U(0,-H»)

值域(-oo,-2y[ab}U[2+oo)值域5,-2]U[2,5

奇偶性奇函数奇偶性奇函数

”、b.

/（X）=Q%+一在/（%）=%+4在（-00,一&）,

单调性X单调性

（一00,一、^）'（P'+8）上单（、份,+8）上单调递增；在

VaVa（一0）,（0,JZ）单调递减

调递增；在（-、2,0）,

Va

（o,j2）单调递减

Va

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧—凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低

于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：xH------—x—aH------l~a22+a=3(x>a)；

x-ax-a

凑系数，例：X(1-2X)=-2X(1-2X)<-'2X+1~2X0<x<—j；

22

r2Y2-4+444

②拆：例：----=---------=%+2H-------九一2H----

x—2x—2x-2x-3

2x

—<1(%>0)

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知。>03>0,。+匕=1,求工+工的最小值.

ab

解析：l+i=(1+-)(«+&)=2+-+->4.

ababab

⑤整体解：例：已知Q,Z?是正数，且QZ?=Q+/?+3,求Q+Z?的最小值.

解析：»a+b+3,即，a+4―(a+b)—320,解得

a+b>6[a+b<-2舍去).

基本不等式高频考点方法

方法一：直接法

典型例题

例题L（2024上•山西长治•高一校联考期末）当XW0时，尤2+士的最小值为（）

X

A.—B.1C.2D.25/2

【答案】C

【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由XH0,可得/>0,贝q尤2+t»2jx2-2=2,

XVX

当且仅当尤2=3时，即》=±1时，等号成立，故V+3的最小值为2.

xx

故选：C.

例题2.（2024上•陕西商洛•高一统考期末）若正数x,y满足孙=100,则x+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

【答案】B

【分析】根据基本不等式求出最值.

【详解】由题意得x+yN2而=20,当且仅当尤=>=1。时，等号成立，

故工+，的最小值是20.

故选：B

练透核心考点

1.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）若%>0,则X+,的最小值为（）

3

A.-2B.-272C.D.2

2

【答案】D

【分析】直接根据基本不等式求解即可.

【详解】若x>0,贝！=2,

xVx

当且仅当X=L,即X=1时取等号，

X

所以x+工的最小值为2.

X

故选：D.

2.（2024上•贵州六盘水•高一统考期末）已知a>0/>0,〃+b=3,则力?的最大值为

【答案】49

4

【分析】由基本不等式求积的最大值.

【详解】a>0,b>Q,a+b=3f

由基本不等式可知ab<（等j=:，

39

当且仅当〃=b=］时等号成立，即而的最大值为

24

9

故答案为：—

4

方法二：凑配法

典型例题

4

例题1.（2024下•河南•高三校联考开学考试）已知。>0*>0,则a+2b+—丁丁的最小

a+2b+l

值为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】由于〃>03>。，所以。+⑦+1>0,

44I4

由a+26+--------=（a+2b+l）+----------l>2j（a+2b+l）x----------1=3,

a+2b+1a+2b+lva+2b+l

4

（当且仅当a+»=1时取等号），可得。+26+—J的最小值为3,

a+2b+l

故选：D.

例题2.（2024上•黑龙江哈尔滨•高一统考期末）已知实数x＞l,则2-x-一二的（）

x-1

A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为-1D.最大值为-1

【答案】D

【分析】由基本不等式得出结果.

【详解】因为2-x--—=l+l-x--—=1-（A:-1）+—＜1-2J（x-l）--=1-2=-1,

X—1X—1X—1_\X-1

当且仅当工=X-1即无=2时取等号；

x-1

故最大值为-1,

故选：D.

o

例题3.（2024上•江苏南通・高一统考期末）函数〃力=4无+的最小值为

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

9

【分析】将函数解析式变形为/口）=4（*+1）+椅-4,利用基本不等式可求得该函数的最

小值.

og

【详解】因为xe（—l,+co）,贝！|x+l＞。，贝1]/（尤）=4尤+——-=4（x+l）+---4

人I1JiI1

22/4（尤+1）.-^一4=12一4=8,

'9

当且仅当时，即当冗=；时，等号成立，

x＞-l2

g

故函数/（力=4无+[三，％«-1,+00）的最小值为8.

故选：B.

练透核心考点

1.（2024上•湖北•高一校联考期末）已知%＞工，则x+—^的最小值为

22尤-1

【答案】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于尤＞彳，所以尤―彳＞0,2x—1＞。，

22

1111

所以X+=x——+-----1—

2x-l22x-l2

当且仅当x-』=—=1±1时等号成立,

22x-l2

所以X+」的最小值为1+应.

2x-l2

故答案为：—+V2

2

9

2.（2024上•福建莆田•图一莆田一中校考期末）已知x>2,贝l]x+—^的最小值为____.

x-2

【答案】8

【分析】利用基本不等式求最值可得答案.

【详解】x>2时无-2>0,

99I0―

贝Ux+——=x-2+——+2>2.（x-2）x——+2=8，

X—2X—2yX—2

9

当且仅当尤-2='即x=5时等号成立.

x-2

故答案为：8.

3.（2024上•福建宁德■高一统考期末）Vxe（2,+co）,x+」一>必?+3加恒成立，则实数加

x-2

的取值范围是.

【答案】（-4,1）

【分析】利用基本不等式求出x+—从而得到4>苏+3机，求出答案.

无一2

【详角军】Vxe（2,+co）,x+—L=（无一2）+—1—+2N2j（x—2）-一1一+2=4,

x-2'7x-2V7x-2

当且仅当尤-2=-^,即x=3时，等号成立，

x-2

故4>m2+3m,解得-4<<1,

故实数加的取值范围是（-4』）.

故答案为：（-4/）

方法三：分离法

典型例题

例题1.（2024・全国,高三专题练习）函数外小=亚回但剋的最大值是（）

,⑴一4X2+1

753

A.2B.—C.—D.一

444

【答案】C

【分析】化简函数〃x）=J+16x4：；f+l=1+“2：丁,结合基本不等式，即可求

NWA+OX1-1116r+8+—

解.

+1+1/16.r4+17x2+7

【详解】由题意，函数/（x）=

V16X4+8X2+1

=9x29

V16X4+8X2+1.16/+8+士

又由—>8,当且仅当16x?=—y,即％=±7时等号成立，

x2%22

9<2595

所以+旅不飞，所以「商不」

X\X

即函数“X）的最大值是:

故选：C.

例题2.（2024・全国•高三专题练习）函数y=坦@>2）的最小值为.

【答案】11

【分析】将函数化为y=x-2+—9+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.

x-2

『用冷刀1i+t（%—2）2+5（x—2）+99upc八

［详角牛］由丁=-----------------=x—2H------F5,Xx-2>0>

x—2x-2

所以>22］（尤-2）•旦+5=11,当且仅当尤-2=三，即x=5时等号成立，

Yx-2x-2

所以原函数的最小值为11.

故答案为：11

练透核心考点

1.（2023・全国•高一专题练习）函数/（x）=%2~^+3（x.0）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【分析】由基本不等式求解，

%2+3

【详解】f（x）=-^=（x+l）+-1-i-7（x.O）.

因为X..0,所以^+1+—..2>/9=6,（当且仅当x+l=3,即尤=2时，等号成立）.

X+1

故了（%）最小值为-1,

故选：A

2.（2024•全国•高三专题练习）函数〃尤）=2x2：x+3（x<0）的最大值为.

【答案】1-2扃-2"+1

【分析】首先化简可得〃x）="土9=2X+3+1=-（-2X+/-）+1,由-x>0则可以利用

XX-X

基本不等式求最值即可.

【详解】因为x<0,贝U-x>0,

所以〃x）=Ht£±2=2x+』+l=-（-2x+3）+l

XX-x

当且仅当-2x=3，即彳=-逅时等号成立,

-X2

所以〃尤）的最大值为1-2指.

故答案为：1-2".

方法四：换元法

典型例题

例题1.（2023・全国•高一专题练习）函数>=匚土0。>2）的最小值为_____

尤一2

【答案】7

【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.

【详解】令k2=f,f>0；则

尤2+x—5（1+2）2+£+2—5/+5才+11_

--------=-——----------=--------=Z+-+5>7

x-2ttt

（当且仅当，=1,即x=3时，等号成立），

故函数J（x>=3；；5,xe（2,+⑹的最小值为7

故答案为：7

例题2.（2023・全国•高三专题练习）求下列函数的最小值

（1）y=*+x+%>0）；

X

x2+2x+6

(2)y二(x>1).

x—1

【答案】（1）3；（2）10.

【分析】（1）化简整理可得十=上+》+1=*+工+1

利用基本不等式，即可求得最小值.

XX

9

（2）令/=%-1«>0）,整理可得y=/+2+4,利用基本不等式，即可求得最小值.

t

【详解】（1）y=/+x+l]

XX

x>0,.\x+—>2.X--=2（当且仅当x=,，即时取等号）

xVxx

...y=*+'+1（X>0）的最小值为3；

x

(2)令，=%-1(，>。)，贝|x=/+l,

x2+2x+6_(/+1尸+2(，+1)+6f2+4？+999

y二=/+—+4"k—+4=10

x-1tt

Q

当且仅当，=—即U3时取等号

t

・・.y的最小值为10

练透核心考点

1.（2023上•江西南昌・高一南昌二中校考阶段练习）求函数y的最小

值.

【答案】9.

【分析】令t=x+l,则（I）-+7（I）+W=f+35,利用基本不等式计算可得;

tt

【详解】因为无>一1,所以光+1>0,令，=尤+1,所以"0,

_(r-l)2+7(r-l)+10_?+5r+444

所以y===1+—+5"—+5=9,

当且仅当1=2,即x=l时等号成立;

所以函数y=的最小值为9.

2.（2023•全国•高一专题练习）求下列函数的最小值

x2+X+1

⑴y=-------(x>0)；

X

_x2+5

(2)

x2+2x+6i、

(3)z

【答案】（1）3；（2）I；（3）10.

【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等

式（1,、2）或利用函数单调性求最值.

x2+x+11

【详解】⑴y=-^=X+x+11-o3

x>Q,,,.x+->2.xx-=2（当且仅当户L即x=l时取"="）

xVxx

即y=1+X+%>0）的最小值为3;

X

（2）令/=J尤?+4（02）,贝1］丁=/+；（/22）在［2,+8）是单增，

.,.当t=2时，y取最小值/n=2+g=g；

即y的最小值为g

（3）令f=则y「+2x+6（x>i）可化为:

x-1

9I~9

_y=f+-+4>2J/x-+4=10

当且仅当t=3时取"="

即y的最小值为10

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

⑴“一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

（2广二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则

必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3广三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定

值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

方法五：常数代换“1”的代换

典型例题

31

例题1.（2024上・浙江杭州•高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知x>0,y>0,且—+—=1,

尤y

则2x+y+—的最小值为（）

y

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【分析】借助基本不等式中“1〃的妙用即可得.

【详解】2%+^+-=[-+-^（2%+｝；）+-=6+1+^+—+-

-3y3x_l3y3x.

=7+上+—>7+2———=113,

xyyxy

当且仅当苴=①，即x=y=4时，等号成立.

%y

故选：D.

例题2.（多选）（2024下•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知。>0,〃>0,

若a+2b=l,则（）

A.a+b>—B.a+b<\

2

C.必的最大值为;1D.47+；1的最小值为8

4ab

【答案】ABD

【分析】对于AB：根据题意消去。，结合b的取值范围分析求解；对于C：根据基本不等式

运算求解；对于D：根据〃1〃的灵活应用结合基本不等式分析求解.

【详角军】因为a+2b=l,则4=1—2b>0,可得，

对于选项AB：因为a+Z?=l—2Z?+〃=1—〃，

所以〃+/?>!，a+b<\,故AB正确；

2

对于选项C：因为"=［心）Jx（"+2S=L

2v7248

当且仅当。=26=1时，等号成立，

所以油的最大值为:，故C错误；

8

对于选项D：因为工+L=（“+26）［2+口=4+生+@"+2世—8,

ab\ab）ab\ab

4Z?a1

当且仅当竺==,即a=26=：时，等号成立，

ab2

21

所以—的最小值为8,故D正确；

ab

故选：ABD.

例题3.（2024下•全国•高一专题练习）如图所示，在AABC中，点。为BC边上一点，且

BD=2DC，过点。的直线E尸与直线48相交于E点，与直线AC相交于尸点（E,P交两

点不重合）.若而="?荏+则加〃=,若荏=2通，AF=juAC,则2+〃的

最小值为.

【分析】根据向量的加减运算，以荏，衣为基底，表示出而，和已知等式比较，即可得相，"

12

的值，求得侬的值;结合已知用理，而表示而，结合三点共线可得77+丁=1（%〃＞。），

JZJJLI

将;1+〃化为(X+〃),展开后利用基本不等式，即可求得4+〃的最小值.

__,2__.

【详解】在中，AD=AB+BD，BD=2DC，则丽=§交,

Or\

故标=而+而=而+4瑟=而+4(/-词

33、)

»2-.2__«1—.2--

=AB——AB+-AC=-AB+-AC,

3333

故根22

=1,n=—,:.mn=—

339

__.]__.2__.______.__.

XAD=-AB+-AC,AE=AAB，AF=juAC,

i____i____,i__k2__»

所以4§=一通,数=—而，则而=一AE+一AF,

力4343〃

12

又方三点共线，所以7T+丁=1,结合已知可知％4>0,

1212u2丸、1c1U22,25/2

故％+4=(%+//)一十一=-+—+—+——>1+2---------=1H,

323〃33323//3234---------3

-1+6

Q1r\4_

当且仅当芸=丁，结合0+「=：!*,〃〉。)，即3时，取等号;

343〃343〃2+V2

即几+〃的最小值为1+述,

3

故答案为：।…竽

【点睛】结论点睛：若次=x^+y玄，则A,B,C三点共线ox+y=l.

练透核心考点

1.（多选）（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知正实数x,

>满足x+2y=l,贝！|()

A.xy<-B.V2C.y+2x>9xyD.x2+y2<1

8

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式判断选项ABC,消元利用二次函数求最值判断D.

【详解】对A：由x+2y=1及基本不等式得了+2y,BP2^2xy<1,

所以孙V）,当且仅当x=2y=:时等号成立，故A正确;

o2

__21

对B：+=x+2y+2yj2xy<1+1=2,当且仅当x=2y=5时等号成立，

所以yfx+J2y«A/2,故B错误；

对C：因为(x+2y)R+2]=5+M+&25+26=9,当且仅当旦=生，即x=y=,时等

y)xyxy3

号成立，

12

所以一+_29即y+2xN9孙，故C正确；

尤y

对D：x2+y2=（l-2y）2+y2=5y2-4y+l,其中ye［。,。］,所以/+故D正确.

故选：ACD

2.（多选）（2024上,云南昭通•高一昭通市第一中学校联考期末）若用〉0,扑>0,且机+2几=1,

则（）

1

A.mn<-B.y/m+y/2n>v2

8

12八

C.-+->9D.m2+4/<—

mn2

【答案】AC

【分析】A、D选项由基本不等式直接求解即可；B选项将原式平方，结合A的结论即可判

断；C选项利用乘〃1〃法进行求解.

【详解】对于A,若相，n>0,且机+2〃=1,则有机〃='x机竺土女］=—,

2212J8

当且仅当"2=（，”=!时等号成立，A正确；

24

21

对于B,+=1+lyflrnn,由A可得根"Vg,故1+2,2加〃42,

所以+夜，故B不正确；

小丁-12/12Y\厂2几2m、__［2n2mC

对于C,——F—=——F—（m+2n）=5H----1--->5+2./——x—=9，

mn\mn）mnymn

当且仅当加=时等号成立，故C正确；

对于D,士色］/竺±殳丫=工，g|1m2+4n2>-（当且仅当加=L〃=工时等号成立），

22J4224

故D不正确，

故选：AC.

41

3.（2024上•江西,高一校联考期末）若存在正实数工/满足一+—=1,且使不等式

yx

尤+与<苏一3%有解，则实数机的取值范围是.

【答案】（f,-1）54,”）

【分析】利用基本不等式"甘的妙用求得x+4的最小值，再利用能成立问题得到关于俄的不

等式，解之即可得解.

41

【详解】因为正实数工，n满足一+一=1,

所以呜{+2|%力=2+士+:22+2口号=4,

当且仅当一4%=广y，即x=2,y=8时，等号成立，

y4x

若不等式无+=<加一3根有解，则布-3加>4,解得加<-1或帆>4,

4

则实数机的取值范围是（-<»,-1）34,田）.

故答案为：（YO,T）D（4,+OO）.

方法六：消元法

典型例题

例题1.（2024上•安徽亳州,高一亳州二中校考期末）已知x>0,y>0,2x+y^xy,贝l]2x+y

的最小值为（）

A.8B.4C.8日D.40

【答案】A

9Y

【分析】首先由条件可得y=V>0,再变形2x+y,最后利用基本不等式，即可求解.

x-l

2x

【详解】由]>o,y>。，2%+〉=孙，可得y=-->0,则％>1

x-l

贝I2x+y=2x+二=生=2（1）2+4（7+2

X—1X—1X—1

=2（1）+告+422,2（x-l）.告+4=8,

当za-Dui，得尤=2时，等号成立，

x-l

所以2x+y的最小值为8.

故选：A

-41

例题2.（2024上•四川眉山・IWJ一统考期末）已知。〉0,b>0,且〃+4=〃人，则一+;~7的

ab-\

最小值为.

【答案】2

【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解.

【详解】由题意a仅-1）=4>0,。>0,所以人>1,£=：,

所以a+_L=3+@22j±q=2,等号成立当且仅当4=4,6=2,

ab-1a4\a4

所以^4+厂1、的最小值为2.

ab-\

故答案为：2.

练透核心考点

1.（2024上,安徽芜湖•高一统考期末）若实数羽丫满足孙=1,则X2+2/的最小值为（）

A.1B.72C.2D.2及

【答案】D

【分析】通过-=i求出y,代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.

【详解】由冷=1可知无H0,贝仃=L代入龙？+2y2得：尤2+2丫2=尤2+二，22&,

XX

当时等号成立，即当x=±次时，V+2y2取得最小值2&.

故选：D.

2.（2023上•广东东莞•高一统考期末）若无>0、y>0,M-+J=l,则上的最大值

XX

为.

【答案】y/0.25

【分析】由题意转换成二次函数的最值来做即可.

【详解】由题意工=l-y>0,x>0,所以。<y<l,

所以2=丫（17）=一心」［+乜［等号成立当且仅当>=［即）的最大值为9.

x（2）442x4

故答案为：7-

4

方法七：对钩函数

典型例题

例题L（2022上•全国•高一校联考阶段练习）函数y=x+Lx22）的最小值为（）

X

57

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】B

【分析】结合对勾函数的性质即可求解.

【详解】根据对勾函数的性质，当x22时，函数y=x+工为增函数，故当x=2时，有最小

X

值I

故选：B.

例题2.（2023上•江苏苏州•高三统考阶段练习）若不等式6+440对任意xe[l,司恒成

立，则实数。的取值范围为（）

13

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>——

3

【答案】A

【分析】参变分离为x+对任意xe[l同恒成立，求出,+=5,故心5.

X\Jmax

【详解】*一方+4V0对任意xe[l,3卜恒成立,

变形为x+aV。对任意xw[l,3卜恒成立,

X

其中\<«,

max

又y=x+1在xe[l,2]上单调递减，在xe（2,3]上单调递增,

413

其中当％=1时，y=1+4=5,当%=3时，y=3+—=—,

5>,故a之5.

故选：A

例题5.（2023上•山东•高一校联考期中）若现3）,使得不等式f+办+2>。成立,

则实数。的取值范围是.

9

【答案】。，一万

【分析】参变分离，设g（x）={+■4,3）