实数及其运算-2025年中考数学一轮复习（江苏专用）（解析版）

第一章数与式

第01讲实数及其运算（3~6分）

（思维导图+14考点+6种题型+难度分层练）

考情透视目标导航..............................................................2

知识导图思维导航..............................................................3

考点突破考法探究..............................................................4

重点考点一实数的分类......................................................4

重点考点二数轴、相反数'绝对值'倒数.......................................5

重点考点三科学记数法与近似数（高频考点）..................................7

重点考点四实数比较大小....................................................8

重点考点五平方根、算术平方根、立方根......................................9

重点考点六实数的运算（高频考点）.........................................11

题型精研考向洞悉.............................................................12

第一部分：常考考点讲练........................................................12

考点1：数轴................................................................12

考点2：相反数..............................................................13

考点3：绝对值..............................................................14

考点4：科学记数法..........................................................14

考点5：平方根..............................................................16

考点6：算术平方根..........................................................16

考点7：立方根..............................................................17

考点8：无理数..............................................................18

考点9：实数................................................................19

考点10：实数的性质.........................................................19

考点11：实数与数轴.........................................................20

考点12：实数大小比较.......................................................22

考点13：估算无理数的大小...................................................23

考点14：实数的运算.........................................................24

第二部分：高频题型洞悉........................................................25

题型1:有关实数的大小比较..................................................................25

题型2：有关实数的计算问题..................................................................27

题型3：无理数的估算..........................................................................28

题型4：有关实数与数轴的简单应用题........................................................30

题型5：有关实数与数轴的复杂应用题........................................................31

题型6：数轴中的数形结合思想................................................................35

分层训练巩固提升..................................................................................38

基础夯实训练....................................................................................38

能力拔高训练....................................................................................42

考情透视•目标导航

考点要求新课标要求考直频次（地区版加）命题预测

理解有理数、无理数的概念，知道10年8考实数这一考点在中考数学中

实数的分类

实数是由有理数和无理数组成的属于较为简单的一类考点，在

可以借助数轴理解相反数和绝对值近10年连续考查中考，实数的分类及相关概念

实数的相关概的意义，会求实数的相反数、绝对主要以选择题或填空题形式

念值、倒数，知道实数与数轴上的点考查，比较简单；科学记数法、

----对应近似数多以选择题或填空题

利用科学记数法简化表示非常大或形式考查，有大数和小数两种

科学记数法、

非常小的数，了解近似数，会按问形式,有时带“亿”“万”“千万”

近似数

题的要求进行简单的近似计算等单位，做题时要仔细审题，

实数比较大小灵活运用多种方法比较实数大小切忽略单位；实数的大小比较

常以选择题形式出现，常与数

平方根、算术了解平方根、算术平方根、立方根

平方根、立方的概念，会用根号表示数的平方根、轴结合考查；实数的运算考查

根算术平方根、立方根形式多样，多数以解答题形式

出现，结合绝对值、锐角三函

掌握有理数的加、减、乘、除、乘

数、二次根式、平方根、立方

方及简单的混合运算（以三步以内

实数的相关计根等知识考查.对于实数的复

为主）；能运用有理数的运算解决简

算习，需要学生熟练掌握实数相

单的问题，知道有理数的运算律在

关概念及其性质的应用、实数

实数范围内仍然适用.

运算法则和顺序等考点.

知识导图•思维引航

零既不是正数，也不是负数正数大于0的数

正数和负数」-------------；----------

0的相反数、绝对值是0关于零要牢记--------------负数小于0的数

Qi殳有倒数数轴在直线上用点表示数

且到原点距离相等位于原点两侧相反数的几何意义相反数只有符号不同的两个数

绝对值数轴上表示数a的点到原点的距离

非负性

去绝对值，看符号把握难点相关概念

同2。

非负数

专

VazO(azO)

知

学

题

识

正数＞0＞负数法

-----------------------1法则比较法

输

两个负数比较大小，绝对值大的数反而小--------------指

01实

理

导

数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数数轴比较法

数

a—6>0oa>"及

作差比较法

a-b=Qo<i=b]

。-IvOoaVbl其

翅的大小

tt®运

fvloavb

作商比较法算

loa-b(a>0,b>6)

若。＞0.6＞0.则"＞y。。＞6平方比较j去

比较被开方数根指数相同匕啦被开方数

化简绝对值时，没有判断绝对值符号中各个数或式子的正负

实数的混合计算“两变”出现错误学习误区

用科学记数法表示数时，容易把n的值算措

考点突破•考法探究

重点考点一实数的分类

国充实县础知识精沮

1、正负数的概念:大于0的数叫做正数.正数前面加上符号的数叫负数.负数前面的负号不能省

略.0既不是正数,也不是负数.

2、正负数的意义:表示具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另

一个就用负表示.

3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数

统称为实数.

4、实数的分类:

1）按定义分类:2）按性质分类:

廉!唐^易错把握细节

L有限小数和无限循环小数可以转化为分数,因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形

qQ4.

式：—1.333333…（分数形式：-）等）.

1003

2.无限不循环小数不能化成分数,因此无限不循环小数不是有理数.（例如："，=（不是分数）等）.

3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.

4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.

技巧点拨方法归纳

判断一个数是有理数或无理数的方法

关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.

2.判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如J16是有理数，而不是无理数.

常见的无理数：

①开方开不尽的数，如：&、V5等.

②有特定意义的数，如圆周率“，或化简后含有”的数，如5-3+“，

③具有特定结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）.

④某些三角函数，如sin60°、cos20°.

重点考点二数轴'相反数、绝对值'倒数

习夯实目础却滨崎以

相关概念概念补充与拓展

数轴上的点与实数具有一一对应的关系.

将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示

的数大.

数轴规定了原点、正方向、在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.

单位长度的直线叫做数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x,y,若C是A、

数轴.B两点的中点，C所表示的数为c,则有：2c=x+y.

数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数

（简称大数-小数）.

若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且

位于原点的两侧.

只有符号不同的两个正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数

相反数数称为互为相反数.是本身的数是0.

(a+b)的相反数是-(a+b),(a-b)的相反数是-(a-b)或b-a.

多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.

两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.

正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数

若a=a（或a-a=0）,则a20,若a=-a（或a+a=0）,则aWO.

在数轴上表示数a的若a二b或a二-b,则a=b(反之亦成立).

绝对值点到原点的距离叫做若a+b=0,则a=0且b=0(a、b可以是多项式).

a的绝对值，记为|a|.几何意义补充：1x|=|x-O],数轴上表示x的点到原点的距离

X-1,数轴上表示X的点与表示1的点之间的距离

x+2,数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离

0没有倒数.

1除以一个不等于零

若a、b互为倒数，则ab=l

倒数的实数所得的商，叫

互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).

做这个数的倒数.

倒数是本身的只有1和T.

n个相同的因数a相负数的奇次塞是负数，负数的偶次幕是正数

乘记作a",其中a为正数的任何次幕都是正数.

乘方

底数，n为指数，

规定：a°=l（aWO）

乘方的结果叫做鬲.

廉I腐颛易错把握细节

1.0的相反数是0,0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.

2.任何一个数都有且只有一个相反数.任何一个数的绝对值总是正数或0(或非负数).

3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论.此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式

|x-a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x

所对应的点与一a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆.

。技巧点拨方法归纳

1.数轴上的动点问题

解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展

开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，

由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，

也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在

数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程.因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题：

1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标；

2.算出动点运动后的坐标：

向右运动：运动后的坐标=基准坐标+运动路程；

向左运动：运动后的坐标=基准坐标-运动路程；

3.表示线段长度：线段右端点表示的数-线段左端点表示的数；

4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标；

5.求解

2.利用零点分段法化简绝对值

零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点

利用零点分段法去绝对值符号的方法：

1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数的正负（即a>0,

a<0,还是a=0）如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论.

2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0,得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数

轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后

依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法

零点分段法的具体步骤：1.找零点2分区间；3.定正负;4.去符号.

重点考点三科学记数法与近似数（高频考点）

£1?夯实目础知i只精谊

相关概念概念补充与拓展

科学记数法的表示形式为a用科学记数法表示数时，确定a,n的值是关键

科学记数

Xl（r的形式，其中14|a|当原数绝对值大于10时，写成aX10"的形式，其中lW|a|<

法

<10,n为整数.10,n等于原数的整数位数减1

当原数绝对值小于1时，写成aXl（r的形式，其中iw|a1<

10,n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包

括小数点前面的零）.

小技巧：1万=10,1亿=1万*1万=1（）8

近似数与准确数的接近程近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0

度通常用精确度来表示，近一个近似数从左边第一位非。的数字起，到末位数字止，所有

近似数似数一般由四舍五入取得，的数字都是这个数的有效数字

四舍五入到哪一位，就说这一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数

个近似数精确到哪一位.字

©ft窿颛易错把握细节

1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取

近似值.

2.科学记数法的表示的数ax1。11还成成原数时，n>0时，小数点就向右移动n位得到原数；

n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.

3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6X

105.

4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0X10”的有效数字是4,0.

重点考点四实数比较大小

回夯实目础Hli只嶂/

实数比较大小的6种基础方法：

1.数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

2.类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

3.作差比较法：若a,b是任意两个实数，则

①a-b>O<=>a>b；②a-b=O<=>a=b；③a-b〈O<=>a<b

4.平方比较法：①对任意正实数a,b,若£>b2aa>b

②对任意负实数a,b,若a^b2ga〈b

5.倒数比较法：若l/a>l/b,ab>0,则a<b

6.作商比较法:6任意实数a,b,a/b=lOa=b

2）任意正实数a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意负实数a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

❺技巧点拨方法归纳

L取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用

的近似值：V2«l.414,J3心1.732,J5-2.236

2.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式

根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小.

3.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较

两个实数的大小.（例如：比较了3和2.5大小.："3〈2,2〈2.5/.V3<2.5）

重点考点五平方根'算术平方根、立方根

m夯实目础却浪精沮

相关概

概念补充与拓展

念

如果一个正数X的平方等于a,即x'a,那

算术平正数只有一个算术平方根，且恒为正；。的算术平

么这个正数x叫做a的算术平方根.记为V

方根方根为0；负数没有算术平方根

a,a叫做被开方数.

平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫正数有两个平方根，且它们互为相反数.

做a的平方根或二次方根，即如果x'a,那

0的算术平方根为0;负数没有算术平方根.

么x叫做a的平方根.

正数只有一个正的立方根；0的立方根是0;负数

如果一个数的立方等于a,即x'a,那么x

立方根只有一个负的立方根.

叫做a的立方根或二次方根

互为相反数的两个数的立方根互为相反数

常见实数的平方根与立方根:

1八22八23八24八25八26八27八28八29八210八2

149162536496481100

AA

常见数的11212八213八214八215216八217八218八219八220八2

平方

121144169196225256289324361400

25八230八235八240八2

62590012251600

常见数的1八32八33八34八35八36八37八38八39八310八3

立方

1827641252163435127291000

实数的非负性及性质：

1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.

2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|20；

②任何一个实数a的平方是非负数，即a?》。；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即

3.非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

©ft裔颛易错把握细节

1.一个正数a的算数平方根用符号表示为Ja,一个非负数a的平方根用符号表示为土Ja；一个数a的立

方根用符号表示为3Ja

2.0的算术平方根、平方根和立方根都是0;平方根等于其自身的有0和1;立方根等于其自身的有一1、

0和1.

3.有时候题目会故意没有把Ja去根号，这时候就要注意千万不要把Ja的平方根当作a的平方根，要先

把Ja去根号，再求平方根.

重点考点六实数的运算（高频考点）

眉^兖实目础知识精沮

常见的实数运算:

运算法则特殊计算

乘方①(-a)n=ann为偶数①（T）x1n为偶数

②(-a)n=-ann为奇数②（T）n=Tn为奇数

零次筹a0=l(aWO)

负整数的指数a-n二（aKO,n为正整数）a-1-(aHO)

ana

罂

去括号①-(a-b)=-a+b或b-a

②+(a-b)=a-b

去绝对值符号①|a-b=a~b,a>b

②|a-b=0,a=b

③|a-b二b-a,a<b

三角函数30°45°60°

j_V2V3

sina

2~2~~2~

cosaV3V2J_

~2~22

V3

tana1V3

3

实数的四则运算：

1.实数的加法法则：

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

2.实数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数.

3.实数的乘方法则：

1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2）任何数同0相乘，都得0.

4.实数的除法法则：

1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；

2）0除以任何不为0的数，都得0.

5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算；乘和除属于运算中

的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减；而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最

优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论

何种运算，都要注意先定符号后运算）.

高^易错把握细节

1.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、

乘法结合律、乘法分配律.

2.在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

@技巧点拨方法归纲

实数运算的“两个关键”：

1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里

面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

题型精研•考向洞悉।

第一部分：常考考点讲练

考点1：数轴

【例1】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【思路点拨】根据I-3|=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3<2<1,可知1与原点距离最近.

【规范解答】解：一3|=3,111=1,|21=2,131=3,

而3<2<1,

.•.1与原点距离最近，

故选：B.

【考点评析】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键.

【变式1]（2024•灌云县一模）点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点3,

则点3表示的数是（）

A.4B.3C.-3D.-2

【思路点拨】根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案.

【规范解答】解：由题意可得，

•.・点A向左移动3个单位长度得到点B,

.•.点3代表的数字是：1-3=-2,

故选：D.

【考点评析】本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键.

考点2：相反数

【例2】（2024•盐城）2024的相反数是（