随机抽样、统计图表【五大题型】解析版-2025年高考数学一轮复习

随机抽样、统计图表【五大题型】专练

►热点题型归纳

【题型1总体、个体、样本】...................................................................5

【题型2抽签法与随机数法的应用】............................................................6

【题型3抽样方法】...........................................................................8

【题型4统计图表］...........................................................................9

【题型5频率分布直方图】....................................................................12

►考情分析

1、随机抽样、统计图表

考点要求真题统计考情分析

⑴了解获取数据的基本

途径从近几年的高考情况来看，高考对

⑵会用简单随机抽样的随机抽样的考查较少，对统计图表的考

2022年全国甲卷(文数)：

方法从总体中抽取样本，查比较稳定，多以选择题、填空题的形

第2题，5分

了解分层随机抽样式出现，难度不大；有时统计图表会作

2023年新高考H卷：第19题，

(3)能根据实际问题的特为条件信息在解答题中出现，与其他知

12分

点选择恰当的统计图表，识结合考查，综合性强，需要灵活求

体会使用统计图表的重要解.

性

►知识梳理

【知识点1随机抽样】

1.总体、个体、样本

名称定义

总体调查对象的全体.

个体从总体中抽取的那部分个体.

样本从总体中抽取的那部分个体.

样本量样本中包含的个体数.

2.简单随机抽样

(1)简单随机抽样的概念

一般地，设一个总体含有为正整数)个个体，从中逐个抽取"(1W"<N)个个体作为样本，如果抽

取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随

机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把

这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

(2)(不放回)简单随机抽样的特征

①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进

行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了

抽样的公平性.

3.两种常见的简单随机抽样方法

(1)抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也

可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回

地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.

(2)随机数法

先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1〜N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中

的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重

复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本

所需要的数量.

(3)两种抽样方法的优缺点

抽样方法优点缺点适用范围

简单易行.总体量较大时，操作起来适用于总体中个体数不

抽签法

比较麻烦.多的情形.

简单易行，它很好地解决总体量很大，样本量也很总体量较大，样本量较

随机数法了总体量较大时用抽签大时，利用随机数法抽取小的情形.

法制签困难的问题.样本仍不方便.

4.分层随机抽样

(1)分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法

称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

(2)分层随机抽样的步骤

①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.

②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比左=卷.

③定数：确定第i层应该抽取的个体数为nrN,­阿乂为总体中第i层所包含的个体数)，使得各々之和

为n.

④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为〃的样本.

(5)分层随机抽样的特点

①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；

②分成的各层互不重叠；

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即会,其中〃为样本容量，N为总体容量；

④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.

5.分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量

分别为“和〃，第1层、第2层的总体平均数分别为了，?，第1层、第2层的样本平均数分别为%,

总体平均数为w,样本平均数为w,则m=mx+ny=x+-^―y.

由于用第1层的样本平均数受可以估计第1层的总体平均数了，用第2层的样本平均数亍可以估计第2

层的总体平均数Y,因此可以用亍估计总体平均数W.

M+NM+NM+N

▽m_n_m+n

乂瓦=后=M+N'

N-m-n——

所以MA/।NZX+MA/+।NMy=—m+,—n%+—m+,—ny=w.

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数京估计总体平均数7.

【知识点2统计图表】

1.频率分布直方图

⑴频率分布表与频率分布直方图的意义

为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初

中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布

在各个小组的个数.

有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直

方图来整理和表示数据.

(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤

与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.

第步求极差

极差为组数据中最大值与最小值的差.

第二步,决定组距与组数

第步将数据分组

通常对组内I数据取左闭右开区间，最后组数据取闭区间.

第四步列频率分布表

计算各小组的频率作出频率分布表.

第五步，画频率分布直方图

表示靠•

画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)

2.其他几类常用统计图一一条形图、折线图、扇形图

条形图折线图扇形图

一般地，条形图中，一条轴用整个圆表示总体，扇形

上显示的是所关注的数据类用一个单位长度表示一定图中，每一个扇形的圆心

在将

型，另一条轴上对应的是数的数量，用折线的起伏表示角以及弧长，都与这一部

占

量、个数或者比例，条形图数量的增减变化.分表示的数据大小成正

中每一长方形都是等宽的.比.

作

用能清楚地看出数量增减变

及化的情况及各部分数量的可以形象地表示出各部分

能清楚地表示每个项目的具

选多少.常用来表示随时间变数据在全部数据中所占的

体数量，便于相互比较大小.

用化的数据，当然，也可以用比例情况.

情在其他合适的情形中.

景

某班学生上学某班学生上学

方式统计围方式统计图某班学生上学

t人敷,人数方式统计图

图263096

2454r251/

例20152415/

15卜灯。

10片io[\18%/步行77

\730%/

»，，，r

L丽玷J车L靠L车_上学方式步行右车乘车上拳方式_____/

3.统计图表的主要应用

(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.

(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势.

(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.

【方法技巧与总结】

I.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行

一定的技术处理，比如将结果取成整数等.

2.在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M

和N,抽取的样本量分别为加和小第1层和第2层的样本平均数分别为京亍，样本平均数为焉，则

—M-.N-m-.n-

09=M+NX+M+Ny=m+nX+m+ny'

3.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.

►举一反三

【题型1总体、个体、样本】

【例1】(2024・四川南充•二模)某工厂生产N,B,C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5,用

分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量〃为()

A.150B.180C.200D.250

【解题思路】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.

【解答过程】由题意样本容量为几=30+二150.

故选：A.

【变式1-1］（23-24高一下•河北张家口•期末）已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为

10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则N=（）

A.10B.20C.40D.不确定

【解题思路】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为e，即可得到方程，解得即可.

【解答过程】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为手，

依题意可得与=；,解得N=40.

故选：C.

【变式1-2］（2024•全国•模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人.为了解高三学生参加体

育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本

容量分别为（）

A.30,20B.18,32C.25,25D.32,18

【解题思路】由分层抽样的定义求解即可.

【解答过程】根据分层抽样的定义，知男生共抽取50x苍翟布=32（人），女生共抽取50x前布=18

（人）.

故选：D.

【变式1-3］（23-24高一下•西藏日喀则•期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成

绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）

A.100名学生是个体

B.样本容量是100

C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本

D.1000名学生是样本

【解题思路】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，

再结合题中选项即可得到答案.

【解答过程】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，

而不是学生，

根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误.

C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体.

B：样本的容量是100正确.

故选:B.

【题型2抽签法与随机数法的应用】

【例2】（2024・陕西西安•一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先

将650名学生进行编号，001,002,649,650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6

行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457

【解题思路】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可

【解答过程】从第5行第6列开始向右读取数据，

第一个数为253,第二个数是313,

第三个数是457,下一个数是860,不符合要求，

下一个数是736,不符合要求，下一个是253,重复，

第四个是007,第五个是328,第六个数是623,,故A正确.

故选：A.

【变式2-1]（24-25高一•全国•课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

【解题思路】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可.

【解答过程】选项A,总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意;

选项B,总体中的个体数较小，样本容量也较小，

且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意；

选项C,甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，

不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；

选项D,总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意.

故选：B.

【变式2-2］（2024•云南贵州•二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利

用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1

行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的

第6个号码所对应的学生编号为（）

06274313243253270941251263176323261680456011

14109577742467624281145720425332373227073607

01400523261737263890512451793014231021182191

A.51B.25C.32D.12

【解题思路】根据随机数表按照规则读数即可得解.

【解答过程】根据随机数表读取，分别抽到的编号为31,32,43,25,12,51,26,04,01,11,

所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51,

故选：A.

【变式2-3］（2024•陕西•一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽

样，先将650进行编号，001,002,649,650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6

行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457

【解题思路】依据随机数表的读取规则求解即可.

【解答过程】从表中第5行第6列开始向右读取数据，

前7个数据分别是253,313,457,007,328,623,072.

故选：C.

【题型3抽样方法】

【例3】（2024•陕西•二模）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法

从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（）

A.19人B.18人C.17人D.16人

【解题思路】根据分层抽样的比例，求出医生、护士抽取的人数，即可得答案.

【解答过程】由题意知某医院有医生750人，护士1600人，

用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，

则样本中，医生抽取引券mx50=15（人），

故样本中，医生比护士少17人，

故选：C.

【变式3-1］（2024•四川成都•模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为

3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

【解题思路】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择.

【解答过程】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为a,则其可能性为心若不为a,则其可能性为心

抽取第二个，若其为a,则第一次一定不是a,再从9个个体中抽取1个，且为a,则其可能性为2*5=白

综上所述，某一个体。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽至「的可能性分别是表白

故选：A.

【变式3-2］（24-25高一上•全国•随堂练习）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生

中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,

而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.抽签法

【解题思路】由已知条件，适合分层抽样法，即可得到答案.

【解答过程】因为事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女

生视力情况差异不大.为了解该地区中小学生的视力情况，应按学段分层抽样，这种抽样方式抽出的样本

具有代表性，比较合理.

故选；C.

【变式3-3］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的

参考人数分别为500、800,700.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学

校高三年级数学成绩的样本平均数分别为92,105,100,则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（）

A.101B.100C.99D.98

【解题思路】利用分层抽样的均值公式求解即可.

【解答过程】由题意得可供参考的总人数为500+700+800=2000人，

故三所学校学生数学成绩的总平均数约为黑x92+就x100+端x105=100,

故选：B.

【题型4统计图表】

【例4】（2024•辽宁・模拟预测）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好

地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图:

2022年该校高考统计2023年该校高考统计

下列结论正确的是（）

A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5

B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7

C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%

D.2023年该校不上线的人数有所减少

【解题思路】设2022年的高考人数为100,则2023年的高考人数为150,再根据扇形统计图中各个种类的

人数所占的比例，逐个选项判断即可.

【解答过程】不妨设2022年的高考人数为100,则2023年的高考人数为150,

2022年本科达线人数为50,2023年本科达线人数为90,

2023年与2022年的本科达线人数比为9:5,

本科达线人数增加了曙=9=80%,故A错误，C正确；

2022年专科达线人数为35,2023年专科达线人数为45,

2023年与2022年的专科达线人数比为9:7,故B错误；

2022年不上线人数为15,2023年不上线人数也是15,不上线的人数无变化，故D错误.

故选：C.

【变式4-1］（2024•陕西安康•模拟预测）当今时代，数字技术作为世界科技革命和产业变革的先导力量，

日益融入经济社会发展各领域全过程，深刻改变着生产方式、生活方式和社会治理方式，从而带动了大量

的电子产品在市场的销售.现有某商城统计了近两个月在，，B,C三个区域售出的1000个电子产品，其中

A,B,C各个区域销量分布的饼状图及售价的频率条形图（按规定这些电子产品的售价均在50,300之间）

如图，则在4区域售出的电子产品中，售价在区间（150,200］内比在区间（250,300］内多（）

【解题思路】根据销量分布的饼状图及售价的频率条形图分别求售价在区间（150,200］,（250,300］的件数,

即可得结果.

【解答过程】由题意可知：区间（150,200］,（250,300］内的频率分别为0.35,0.05,

可知在区间（150,200］,（250,300］内售出的电子产品件数分别为0.35X1000=350,0.05X1000=50,

则在/区域售出的电子产品中，售价在区间（150,200］,（250,300］的件数分别为350x38%=133,50x38%

=19,

所以售价在区间（150,200］内比在区间（250,300］内多133—19=114件.

故选：B.

【变式4-2］（2024・四川遂宁•三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业

人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2）,则下列结论中错误的是

“90后”从事快递行业岗位分布条形图

技

运

市

设

职

产

其

图1图2

A.快递行业从业人员中,“90后”占一半以上

B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中,从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多

D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多

【解题思路】根据两个图，结合选项，即可判断.

【解答过程】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%,超过一半，A正确;

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%x39.6%=22.176%,超过

20%,

所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确；

快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%x17%=9.52%,超过“80

前”的人数占总人数的百分比，C正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%,小于“80后”的人数占

总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确.

故选：D.

【变式4-3］（2024・陕西西安•模拟预测）2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下

列结论错误的是（）

亿兀%

60000-----总量—增长速度15

50000

40000

30000

20000

10000

0

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加

B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低

D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%

【解题思路】根据给定的条形图和折线图，逐项分析判断即得.

【解答过程】对于A,观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确；

对于B,2017年至2022年该省年生产总量的极差为48670.4—33828.1=14842.3（亿元），B正确；

对于C,2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低，

而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误；

对于D,2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：3.8%,4.5%,7.6%,7.6%,7.8%,8.0%,

因此增长速度的中位数为7.6%/6%=7.6%,D正确.

故选：C.

【题型5频率分布直方图】

【例5】（2024•天津武清•模拟预测）某校高三共有200人参加体育测试，将体测得分情况进行了统计，把

得分数据按照[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6组,绘制了如图所示的频率分布直方图.

根据规则，82分以上的考生成绩等级为A,则获得A的考生人数约为（）

【解题思路】根据频率分布直方图求获得A的频率，进而可得相应的人数.

【解答过程】由题意可知：估计获得A的频率为0.025X（90-82）+0.005X10=0.25,

所以获得A的考生人数约为0.25x200=50.

故选：B.

【变式5-1]（2024•山东•二模）某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级

为4则估计获得4的考生人数约为（）

【解题思路】首先计算出82分以上的考生的频率，即可得获得4的考生人数.

【解答过程】由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为0.025X10X黑黑+0.005x10=0.25,

yu—ou

所以获得力的考生人数约为200x0.25=50人，

故选：C.

【变式5-2]（2024・四川南充•二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级

和n级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示:

频率/组距频率/组距

0-032

0.0320.0320.030

0.0280.0280.026

。.一.0

0.0240.024

0.0200.020

0.0160.016

0.0120.0120.010

0.0080.0050.008

0.0040.0020.0040.00

O405060708090100指标203040506070指标

I级品n级品

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K,将该指标大于K的产品应用于/型手机，小于或等于K

的产品应用于2型手机.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）若临界值K=60,请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个n级品中应用于/型手机的芯

片个数；

（2）设K=x且久6[50,55],现有足够多的芯片I级品、II级品，分别应用于/型手机、8型手机各1万部的生产：

方案一：直接将该芯片I级品应用于N型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每

部手机损失800元；直接将该芯片II级品应用于8型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生

产商每部手机损失400元；

方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费

用，但检测费用共需要130万元；

请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值/。）（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑,

选择合理的方案.

【解题思路】(1)根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，

(2)分别计算两种方案的费用，即可比较作答.

【解答过程】(1)临界值K=60时，I级品中该指标大于60的频率为1—(0.002+0.005)X10=0.93,

II级品中该指标大于60的频率为0.1

故该公司生产的1000个该型号芯片/级品和1000个II级品中应用于a型手机的芯片个数估计为：

1000X0.93+1000X0.1=1030

(2)当临界值K=x时，若采用方案一：

I级品中该指标小于或等于临界值K的概率为0.002X10+0.005X(%-50)=0.005%-0.23,

可以估计10000部4型手机中有10000(0.005%-0,23)=50%-2300部手机芯片应用错误；

II级品中该指标大于临界值K的概率为x10+0.03x(60-x)=-0.03x+1.9,

可以估计10000部B型手机中有10000(-0.03%+1.9)=19000-300x部手机芯片应用错误；

故可以估计芯片生产商的损失费用/'(X)=0.08x(50%-2300)+0.04x(19000-300%)=576-8x

■■xG[50,55]/(x)6[136,176]

又采用方案二需要检测费用共130万元

故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.

【变式5-3](2024・四川成都・二模)2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“3+1+2”新高考模式.

该模式下，计算学生个人总成绩时，“3+1”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科(学生在政治、地理、

化学、生物中选修的2科)以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到

低划分为4B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比例分别约为15%,35%,35%,13%,2%.依照转换公式，将五个

等级的原始分分别转换到10。〜86,85〜71,70-56,55〜41,40〜30五个分数区间，并对所得分数的小数点

后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如

下表:

等级ABCDE

比例15%35%35%13%2%

赋分区间100〜8685〜7170〜5655〜4140〜30

已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.

频率

组距

0.015

0.012

0.010

0.005

—————-----►

0405060708090100分数

(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲、乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84,78,转换分成绩

为78,71,试估算该市本次化学原始成绩3等级中的最高分.

(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图

如图所示，求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩2等级中的最低分.

【解题思路】(1)根据已知条件及待定系数法即可求解；

(2)根据已知条件及频率分布直方图的特点即可求解.

【解答过程】(1)设转换公式中转换分y关于原始成绩x的一次函数关系式为y=ax+6.

b=-20

「转换分的最高分为85,

7

85=-%-20,解得x=90.

6

故该市本次化学原始成绩B等级中的最高分为90分.

(2)•••10(0.005+0.010+0.012+0.015+0.033+a)=1,

.•・a=0.025.

设化学原始成绩B等级中的最低分为》,

•・•10X0.010+10X0.015+10X0.025=0.5,

・•・%=70

综上，化学原始成绩B等级中的最低分为70.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•江西南昌•模拟预测)已知4B,C三种不同型号的产品数量之比依次为4:3:7,现用分层抽样的方法

抽取容量为N的样本，若样本中力型号产品有20件，则N为()

A.60B.70C.80D.90

【解题思路】由条件确定”型号产品的抽样比，再根据频数，频率，样本容量的关系求N.

【解答过程】因为ASC三种不同型号的产品数量之比依次为4:3:7,

且用分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，

所以/型号产品被抽的抽样比为：$=•!，

因为4型号产品有20件，所以捺*，解得N=70.

故选：B.

2.（24-25高一上•全国・单元测试）①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在

90〜100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员

为参加4x100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（）

A.分层抽样，简单随机抽样B.简单随机抽样，简单随机抽样

C.简单随机抽样，分层抽样D.分层抽样，分层抽样

【解题思路】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可.

【解答过程】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；

对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当.

故选：A.

3.（2024•河南驻马店•二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反

电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按

年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（）

A.6人B.9人C.12人D.18人

【解题思路】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，进而可

以知道中年人比青少年多多少个.

【解答过程】设中年人抽取万人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知煞=磊芸=春

解得x=15,y=6,故中年人比青少年多9人.

故选B

4.（2024•福建泉州•模拟预测）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为几的样本，当选取抽签法、随机

数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3,三者关系可能是

)

A.Pl=P2<P-iB.Pl=p2=P-3c.Pl=p3Vp2D.P2=P3<Pl

【解题思路】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案.

【解答过程】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为力

所以Pl=p2=P3-

故选：B.

5.（2024•陕西铜川•模拟预测）己知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该

地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为

70,则抽取的高中生中近视人数为（）

B.20C.25D.40

【解题思路】根据题意，求得抽取的高中生人数是40人，再结合图乙可知高中生的近视率为50%,即可求

解.

【解答过程】由图甲可知抽取的高中生人数是70X蠹=40,

又由图乙可知高中生的近视率为50%,所以抽取的高中生中近视人数为40x50%=20人.

故选：B.

6.（2024・云南・二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机

数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01,02,…,55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由

左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的

学生编号为（）

06274313243253270941251263176323261680456011

14109577742467624281145720425332373227073607

51245179301423102118219137263890014005232617

A.51B.25C.32D.12

【解题思路】根据给定信息，利用随机数表抽样法规则，依次写出前6个符合要求的编号即可.

【解答过程】依题意，前6个编号依次为：31,32,43,25,12,51,

所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51.

故选：A.

7.（2024•陕西渭南•模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如

图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100].若考生成绩在[70,80）内的人数为考生成绩在[80,100]内的人数为n,则机一TI=（）

【解题思路】由频率分布直方图求出小、n,即可得解.

【解答过程】由频率分布直方图可得加=800X0.03X10=240,n=800X（0.01+0,015）X10=200,

所以巾-n=240-200=40.

故选：D.

8.（2024•全国•模拟预测）己知2015—2022年和2023年1〜9月某新能源汽车企业的营业收入（单位：亿

元）和净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业收入的增长率的统计图如图所示，2023年第二、三、四

季度的净利润相比上一季度的增长率均为10%，则下列结论正确的是（）

45OO