江苏省盐城市四校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市四校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，又，所以.故选：C.2.若且，则的终边所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上，因为，则的终边在第一、三象限，因此，的终边所在象限为第三象限.故选：C.3.已知，则“”是“且”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】，若，则的大小无法确定，不能得出且，故充分性不成立，若且，则，故必要性成立，“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B.4.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（）A.2 B.10 C.100 D.10000【答案】C【解析】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，则，，两式作差得，故，则.故选：C.5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除AC选项；当时，，排除B选项，所以D选项正确.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，∴，，解得：，∴，∴解得：，∴.故选：A.7.已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则只需比较的大小关系，，，而，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.8.已知函数是奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是奇函数，，即，所以①，由②，可知，若，则②的解集为与是奇函数矛盾，所以由①得，其中，此时，②的解集满足奇函数定义域的要求，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.二、多选题(本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，都分选对得2分，有选错的得0分.)9.下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，因为，则，，所以，即，故B正确；对于C，取，满足，但，故C错误；对于D，因为，所以，所以，即，故D正确；故选：BD.10.下列命题是真命题的有（）A.函数的值域为B.的定义域为C.函数的零点所在的区间是D.对于命题，使得，则，均有【答案】AC【解析】A选项，，令，则的开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，所以的值域为，A选项正确；B选项，对于函数，由，得，解得，所以的定义域为，B选项错误；C选项，在上单调递增，，所以函数的零点所在的区间是，C选项正确；D选项，命题，使得，其否定是，均有，D选项错误.故选：AC.11.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在的值域为D.将函数的图象向右平移个单位，所得函数为【答案】ACD【解析】由图可知，又，所以，所以，又函数图象最低点为，所以，即，所以，解得，由题意，所以只能，所以，由A选项分析可知，但，从而函数的图象关于直线对称，故A选项正确；但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；当时，，而函数在上单调递增，在上单调递减，，所以函数在的值域为，故C选项正确；若将函数的图象向右平移个单位，则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.故选：ACD.12.已知方程与的根分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】AD选项，由题意得，，可变形为，又，令，则，又在上单调递增，故，由可得，，A选项错误，D正确；B选项，由于，，结合在上单调递增，由零点存在性定理得，B错误；C选项，由AD选项可知，，由B选项得，故，故，C正确.故选：CD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知幂函数的图象过点，则______．【答案】【解析】不妨设幂函数表达式为，由题意有，解得，所以幂函数表达式为，所以.故答案为：.14.已知，且，则______．【答案】【解析】由于，所以，而，所以，所以.故答案为：.15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．【答案】【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积，所以莱洛三角形的面积是.故答案为：.16.若方程有且仅有个实数根，则实数的值为____.【答案】【解析】方程有且仅有个实数根，函数与的图象有且仅有个公共点，函数的开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值为，是函数的一条对称轴，将代入有，由，得，解得或，当时，两个函数分别为，，如下图所示，两个函数图象不止一个公共点，不符合题意，舍去，当时，两个函数分别为，，其中，所以两个函数有唯一公共点，符合题意，综上所述，的值为.故答案为：.四、解答题(本题共6小题，共70分，第17题10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围.解：（1）由解得，所以，所以，.（2）由于，且不是空集，所以解得.18.化简下面两个题：（1）已知角终边上一点，求的值；（2）已知，求的值.解：（1）角终边上一点，所以，所以.（2）由得，所以.19.函数的最小正周期是，且当时，取得最大值.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围解：（1）的最小正周期为，所以，当时，取得最大值，所以，且，所以，所以，由解得，所以单调递增区间为：，.（2）若，则，所以在区间上，当时，取得最小值为，依题意，存在，使得成立，所以.20.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的.（1）现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.（2）根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？解：（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，且对任意恒有且，①对于函数在上单调递增，当时不符合要求；②对于函数在上单调递减，不符合要求；③对于函数在上单调递增，且当时，因为而所以当时恒成立，因此为符合公司要求的函数模型.（2）由得所以所以公司的投资收益至少为万元.21.己知函数，为实数．（1）当时，求的值域；（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围．解：（1）当时，，令，则在区间上单调递增，，所以的值域为.（2）对于函数，，所以在区间上的值域为，最小值为，对于函数，令，则的开口向上，对称轴为，当时，函数在上单调递增，，要使“对任意的，总存在，使得成立”，则，当时，函数在处取得最小值，即，不符合题意，当时，函数函数在上单调递减，，要使“对任意的，总存在，使得成立”，则