江苏省南通市市区、启东市2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市市区、启东市2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合是奇数集，所以.故选：B.3.清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】少年强则国强；国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件.故选：B.4.已知，，，则的最小值为（）A.36 B.25 C.16 D.9【答案】C【解析】由两边除以得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：C.5.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，命题“，”为真命题，所以，由于，所以当时，取得最小值为，所以.故选：A.6.已知函数，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数，则，有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.7.声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（）A.28 B.27 C.23 D.14【答案】C【解析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，由题知，所以.故选：.8.已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对任意的，都有，可得在R上单调递减，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各组函数是同一函数有（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】AD【解析】A选项，，所以与是同一函数，A选项正确；B选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数，B选项错误；C选项，的值域是，的值域是，所以不是同一函数，C选项错误；D选项，、的定义域、对应关系、值域都相同，所以是同一函数，D选项正确.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.若，则函数最小值为1B.若，则C.若，，则最小值为3D.已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有9个【答案】BCD【解析】A选项，，但无解，所以等号不成立，所以A选项错误；B选项，若，则，所以B选项正确；C选项，，；，所以，所以C选项正确；D选项，由解得；由，解得；由，解得，要使得值域为，则必选、至少选一个、至少选一个，所以方法数有，所以D选项正确.故选：BCD.11.用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（）A.若，则B.若，，则C.若，，，则D.若，则【答案】ABD【解析】A选项，，，所以，所以A选项正确；B选项，，，，则，所以B选项正确；C选项，，，所以C选项错误；D选项，若，则，所以D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.已知，则_________．【答案】5【解析】令，得到.将代入中，即.13.已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数_________．【答案】【解析】因为幂函数的系数为，所以，解得或，当时，，此函数在定义域上单调递增，当时，，此函数在和上单调递减，此时定义域内不是单调函数.所以.14.已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】由于的最小值是，所以在上单调递减，所以，此时单调递增，则，整理得，解得.综上所述，的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.设全集，集合，区间，其中．（1）若，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．解：（1），解得，所以，当时，，所以，或x>1，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，所以，且等号不同时成立，解得.16.已知函数，其中．（1）若关于方程的两个实数根，满足，求的值；（2）求关于的不等式的解集．解：（1），可得：，由，可得：，即：，解得：或.（2）由，可得：，当时，即，不等式的解集为，当，即，不等式的解集为：，当，即，不等式的解集为：.17.已知函数是定义域为上的奇函数．（1）求，的值；（2）证明：在定义域内是单调递减函数；（3）解关于的不等式．解：（1）由题意可得，即，又x∈-1，1时，即，可得，所以，.（2）由（1）可得，设，，①因为，所以，所以①，即在定义域内是单调递减函数.（3）因为是奇函数，所以原不等式可化为，又在定义域内是单调递减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.18.某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．解：（1）当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.根据利润=销售收入-总成本，可.当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.则.所以.（2）当时，，图象开口向下，对称轴.但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.当时，根据基本不等式，有.所以亿元，当且仅当，即取等号.因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.（3）当时，，即，解得.结合，知道此时满足题意.当时，，即，即，令，对称轴，当时，单调递减，且时，.则当，恒成立，即恒成立.综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）取值范围为.19.已知函数，，其中．（1）当，时，请在指定直角坐标系中，画出函数的图象；（2）用表示，中的较大者，记为，则当时，求函数的解析式；（3）用表示，中的较小者，记为，若恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，当时，，当时，，当时，，，fx的图象如图所示.（2），当时，，当时