江苏省南通市启东、通州联考2025届高三上学期11月期中质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市启东、通州联考2025届高三上学期11月期中质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，，得，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，解得，即，则.故选：B.3.已知向量，满足，，，则（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】由，得，而，因此，所以.故选：C.4.已知是定义在上的奇函数，当时，，若在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，，因为函数的奇函数，所以，则，若函数在上单调递减，所以，得.故选：A.5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（）A.15 B.40 C.55 D.70【答案】C【解析】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种，所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为.故选：C.6.一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为（）A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm【答案】B【解析】设四棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为，所以，解得：故选：B.7.当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对于A，当时，函数与在内的图象如图，它们有2个交点，A不是；对于B，当时，函数与在内的图象如图，它们有4个交点，B是；对于C，当时，函数与在内的图象如图，它们有6个交点，C不是；对于D，当时，函数与在内的图象如图，它们有8个交点，D不是.故选：B.8.已知函数的定义域为，且，当时，，则（）A.-7 B.25 C.57 D.102【答案】C【解析】，，.所以，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.的系数为10 B.第4项的二项式系数为10C.没有常数项 D.各项系数的和为32【答案】BC【解析】展开式第项，，对A，令，即时，，的系数为，A错；对B，第4项的二项式系数，B对；对C，因为，则展开式无常数项，C对；对D，时，各项系数和不是，则D错，故选：BC.10.在长方体中，，，点P是底面上的一点，且平面，则（）A. B.平面C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ACD【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，则，故，A正确；B选项，，所以与不垂直，则平面不成立，B错误；C选项，设，，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，令得，，所以，因为平面，所以与垂直，即，故，，故当时，取得最小值，最小值为，C正确；D选项，由C选项，，即点在直线上，由勾股定理得，故四边形为正方形，将矩形和等腰直角沿着折到同一平面内，如图，连接，与的交点即为使得最小的点，的最小值为，过点作⊥，交于点，故，由勾股定理得，D正确.故选：ACD.11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，而，则，所以，A正确；对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此在区间上单调递增，C正确.对于D，函数的图象对称轴为，当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，此时，，当为偶数时，，而，当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；当或时，函数在上单调，最大值与最小值的差最大，，当或时均可取到等号，所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果随机变量，且，那么________.【答案】【解析】由对称性可知，正态密度曲线的对称轴为5，所以，所以.13.如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________.【答案】【解析】过点分别作分别垂直于点，则，，又，所以，所以，所以平行四边形的面积和长方形的面积相等，设，，则，，，所以，所以四边形的面积，所以，因为，所以，故当即时，面积取得最大值为.14.已知函数，若，，则正整数a的最小值为______.【答案】5【解析】依题意，，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负无穷大，而当时，，则必有在上恒成立，于是且，则，，求导得，当时，，在上单调递增，若，即时，，令，求导得，函数在上单调递减，，即不符合题意；当，即时，恒成立，则，令，，由恒成立，得，则，又，因此正整数，又当时，函数在上单调递增，，，符合题意，所以正整数a的最小值为5.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若函数的图象关于点对称，求的值.解：（1）当时，，求导得，由，可得，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，因此当时，有极大值为；当时，有极小值为.（2）由函数的图象关于点对称，得，，整理得，又，于是，则，解得，所以.16.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值.解：（1）因为，所以，又因为在中，所以，所以，所以，所以，即.因为，所以.（2）法一：在中，，，所以，设，则.所以，，所以，因为，所以，所以，所以当，即时面积的最大值为.法二：在中，已知，所以，所以，所以，所以，（等号当时取得）所以面积的最大值为.法三：在四边形的外接圆内考虑，因为，，则，则的外接圆直径为，是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，此时最大距离为圆心到距离加半径2，在直角三角形中可知，圆心到距离为，所以高的最大值为，所以面积的最大值为.17.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了的前6个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.（1）求密码中两个1不相邻的概率；（2）若密码的前三位出现1的次数为X，求X的分布列和数学期望.解：（1）依题意，的前6个数字的不同排列有种，两个1相邻的有种，所以密码中两个1不相邻的概率.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，，，，所以的分布为：012数学期望18.在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离.（1）证明：取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形，由，得平行四边形为矩形，则，由平面平面，平面平面，平面，得平面.又平面，则，由，，得，由，，得，则，即，而，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由，，，平面，得平面，平面，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为.（3）解：设截面交于，由，面，面，得平面，又平面，平面平面，则，依题意，，则，设，则，，，，到的距离，截面的面积为，设平面的法向量m=x,y,z则，取，得，则到平面的距离，于是，解得，所以点到截面的距离为.19.已知函数及其导函数f'x的定义域都为R，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“=”成立，则称函数满足“性质”.（1）判断是否满足“性质”，并说明理由；（2）若f'x是单调增函数，证明：满足“性质”；（3）若函数满足“性质”，求实数的取值范围.解：（1）满足“性质”，理由如下：因为，设曲线的一条切线切点为，则直线的方程为：，因为，当且仅当时“”成立，由的任意性可知，满足“性质”.（2）设直线是曲线的任意一条切线，切点为，则直线的方程为：，设，则，因为是单调增函数，则当时，，递减，；当时，，递增，；即对任意，都有.由的任意性可知，函数满足“性质”.（3）①当时，因为，设，因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，由（2）可知，函数满足“性质”.②下证当时，函数不满足“性质”.方法一：设直线与曲线切于点，则直线的方程为：，设，根据“性质”的定义，要证不满足“性质”，只要证存在.因为，设