江苏省两校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省两校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.故选：D.3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A.若a＜b，则 B.若a＞b＞0，则C.若a＞b，则 D.若，则a＞b【答案】D【解析】当时，，选项A错误；，所以，所以选项B错误；时，，所以选项C错误；时，，所以选项D正确.故选：D.4.下列函数在定义域范围内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B错误；对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C正确；对于D，函数在定义域内不单调，故D错误.故选：C.5.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知，函数定义域为，即，所以，所以奇函数，排除选项A；当时，，排除选项B；当时，分母，分子，此时函数值小于零，排除选项C.故选：D.6.下列命题中的真命题是（）A.，B.若，则的最小值是C.“”的充要条件是“”D.“，”是“”的充分条件【答案】D【解析】A选项，因为，，即，，故A错误；B选项，，因为，所以，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，无最小值，故B错误；C选项，当时，满足，但不满足，充分性不成立，故C错误；D选项，由，，可以推出，所以“，”是“”的充分条件，故D正确.故选：D.7.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意，是方程的二实根，且，于是，且，解得，不等式化为：，解得，所以所求不等式的解集为.故选：A.8.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，时，，时，，所以，，故，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.下列命题为真命题的是（）A.方程有唯一解的充要条件是B.若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件，则q是r的充分不必要条件C.“的定义域是”的充要条件是“”D.若，，且，则的最大值为9【答案】BC【解析】对于A：当时，，有唯一解，当时，，解得，所以方程有唯一解的充要条件是或，该选项不符合题意；对于B：若p是q的必要不充分条件，p是r的充要条件，则，所以，则q是r的充分不必要条件，该选项符合题意；对于C：因为的定义域是，所以对，恒成立，则，解得，所以“的定义域是”的充要条件是“”，该选项符合题意；对于D：，，且，则，即，当且仅当时，等号成立，此时的最大值为81，该选项不符合题意.故选：BC.10.给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（）A.增区间为0,1B.值域为C.，D.若有三解，则【答案】ABD【解析】作出函数，的图像如图：因为表示，中较小者，所以当时，即，即，当时，即，即或，当时，此时或，可得到的图像如图：由图像可得增区间为0,1，值域为，故选项A、B正确；，，故选项C错误；若有三解，即与有三个交点，则，故选项D正确.故选：ABD.11.已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（）A. B.0 C. D.1【答案】ABC【解析】由题意得：为奇函数，；为偶函数，；将代入到得：，与原式联立可得：，又因，等价于，整理得，令，则在为单调递减，当时，，所以函数为减函数加减函数，则在为单调递减，则A正确；当时，，则在为单调递减，则B正确；当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，所以在为单调递减，C正确.当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，在为单调递增，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，将化为分数指数幂形式，则__________.【答案】【解析】.13.如果幂函数的图象过点，那么______．【答案】【解析】设，由已知，则，∴，．14.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________．【答案】49【解析】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）若，求；（2）已知，求实数的取值范围.解：（1），解得.因，所以，又因为，所以．（2）依题意，或，由于，所以，解得，所以的取值范围为．16.已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值及函数的值域；（2）证明：为定值；并求的值．解：（1）由题意有，解得或（舍去），则，∵，∴，，，∴，函数的值域为.（2），.17.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由函数幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，.（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.18.新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？解：（1）依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万，总收入万元，故利润；若年产量不小于台，另外投本，固定投本万，总收入万元，故利润.故.（2）当，时，，此时，当时，；当，时，，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，故时，利润取得最大值，，综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元.19.已知函数，在区间上有最大值，最小值.（1）求实数，的值；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围.解：（1）由题意，函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，则，解得，.（2