江苏省常州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平监测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为,所以，，，，或，.故选：B.3.已知幂函数的图象经过点，则（）A.为偶函数且在区间上单调递增B.为偶函数且在区间上单调递减C.为奇函数且在区间上单调递增D.为奇函数且在区间上单调递减【答案】B【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，故，定义域为，定义域关于原点对称，，所以为偶函数，又因为，所以在区间上单调递减.故选：B.4.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设扇形半径为，则，，所以.故选：D.5.设a，b，m都是正数，且，记，则（）A. B.C. D.与的大小与的取值有关【答案】A【解析】由，且，即，可得，即.故选：A.6.“函数在区间上单调递增”的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，定义域为，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上单调递增”的充要条件是.故选：C.7.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线的图象；再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线的图象；最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的的图象.由于曲线恰好是函数的图象.在区间上，，，.故在区间上的值域是.故选：B.8.已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，且在单调递减，所以的最小值为，可得，且，所以在上单调递增，所以，因为存在，满足，则，所以，解得：.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限，根据图象的性质可得：，即.故选：BD.10.下列不等式中，正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，幂函数在上单调递减，，所以，故A错误；对于B，指数函数在上单调递减，，所以，故B正确；对于C，对数函数在上单调递减，，所以，故C正确；对于D，余弦函数在上单调递减，，所以，故D正确.故选：BCD.11.若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于任意，，故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示：或者函数图像是一条直线，此时，画出函数图像，如图所示：根据图像知：ACD满足条件.故选：ACD.12.已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数的最小正周期为；②函数的图象经过点；③函数的图象关于点对称；④函数的图象关于直线对称．则这3个条件的序号可以是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】AB【解析】若①正确，则，解得；若②正确，则，，，故；若③正确，则，；若④正确，则，；对选项A：，取，，满足条件，此时④不满足，正确；对选项B：，取，，满足条件，此时③不满足，正确；对选项C：，，，不成立，错误；对选项D：相减得到，，则，，此时，整理的，，而，故不成立，错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则______．【答案】【解析】函数，则，所以.14.已知为第二象限角，且满足，则______．【答案】【解析】，则，即，故，为第二象限角，故，，，解得，，故.15.已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______．【答案】150【解析】如图，过点向作垂线，垂足为，交于点，设矩形与，分别交于点，与交于点，且，，由题意知，，所以，又因为，，所以，即，其中，矩形面积，，当时，取得最大值150.16.设分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为______．【答案】4047【解析】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数.所以，.所以，得到.则，因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数.由复合函数的单调性易得为上的增函数，又，则，，故，所以的值域为.则与曲线为周期为的函数在区间上的交点，可以分为，两部分进行分析，则当时，一个周期内有两个交点，则一共由2024个交点，则当时，去掉在0处的交点，则一共有交点2023个交点，所以两个函数一共有交点4047个交点.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知，计算的值并证明．解：（1）.（2）因为，所以，，，因为，，所以，且，所以，即.18.设集合，集合，集合．（1）求；（2）当时，求函数的值域．解：（1）因为，且，当，原不等式等价于，解得或，当，原不等式等价于，无解，所以，，因为，所以，即，所以，所以.（2）当时，，因为，所以，所以，所以，令，又在上单调递增，所以，所以函数的值域为.19.在平面直角坐标系xOy中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，，所以，且，解得.（2），因为，所以，所以原式.20已知函数，其中．（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；（2）若的最小值为，求．解：（1）当时，，令，，则，的图象对称轴为，开口向上，所以当时，即时，取得最小值，最小值为，当时，即时，取得最大值，最大值为，所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.（2）因为的最小值为，所以，且，所以，又，所以.21.已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设函数．（1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；（3）若不等式对恒成立，求实数的最大值．解：（1）在上单调递减，证明如下：设，则，，则，故，即，函数在上单调递减.（2），则，故函数的图象的对称中心为.（3）设，故奇函数，且在上单调递减，，即，即，则在上恒成立，即，，，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为.22.已知．（1）若为奇