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人教版初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（包含答案）人教版初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（包含答案）#/12⑵若四边形尸0C/为平行四边形，由于0。〃以，故只即可，而B4=18—4Z,CQ=t,故18—41=t,得t=设点P运动ts,则OP=41,CQ=t,0Vt<4.5.说明P上，且不与点O,A重合.由于QC〃OP知^QDCs'四二堡」二1.同理QC//AR故/二生=1,DPOP414 AFEA4・•・AF=41=OP..•・PF=PA+AF=PA+OP=18.又点Q18T在线段OAPDO,故即—=1,

AF4到直线PF的距离d=10,・・.S△PQF=2•PF-d=gx18x1018T在线段OAPDO,故即—=1,

AF4到直线PFP(41,0),F(18+41,0),Q(8—t,—10),0<t<4.5.构造直角三角形后易得PQ2=(41—8+1)2+102=,FQ2=(18+41—8+1)2+102=(51+10)2+100.①若FP=FQ,即182=(51+10)2+100,故25(t+2)2=224,(t244 ..1 2 .12 ,2444vI4 . 4V14_牡coc口日+2)2= ..2<t+2<6.5,..t+2= ...t= —2.②若QP=QF，即(51—8)2+25 25 5 5182,.(51—8)2=224.由于v;224=15,又0<51<22.5,(29Y841 …・•.一8<51—8<14.5,14.52=I—=——<224.故—— I2) 4100=(5182,.(51—8)2=224.由于v;224=15,又0<51<22.5,(29Y841 …・•.一8<51—8<14.5,14.52=I—=——<224.故—— I2) 4没有t(0<t<4,5)满足此方程.综上所述，当t=——2时，△PQR为等腰三角形.10.⑴C1的顶点坐标为(1,1).⑵略⑶作PMTAB于/，作QN±AB交AB延长线于N,：,PM=1—y,FM=1—2xP.在Rt△PMF中，PF2=(1—yP)2+(1—xP)2=1—2yP+yP2+1—2xP+xP2,又.•点P在抛物线上，,yP=2xP2—xP+1,.PF2=1—xP2+2xP—2+yP2+1—2xP+xP2=yP2,.PF=yP,同理，QF=y0,，易证△PMFs'QNF，则PMQN

PF-s'QNF，则PMQN

PF-QF..匕二二口，即匕二二人PFQFPFQFPFQF11.先从特殊情况出发.当4ABC是等腰直角三角形时，点P与点C重合，此时点P的位置在AB的中垂线上，且到AB的距离为2AB,如图①所示.下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示).过C,E,G分别作直线AB的垂线CH,EM,GN，垂足分别是H,M,N.容易证明4AEM0'ACH,△BGN/△BCH.从而有AM=CH=BN,EM=AH,GN=BH.这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP,则OP是梯形EMNG的中位线，从而OP±

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