二次函数浙教版

二次函数的解析式.^'般式：y=ax2+bx+c(a丰0)已知图象上三点(x,y)、(x,y)、(x,y)，可用一般式求解二次函数解析式.11 22 33.顶点式：y=a(x—h)2+k(a中0)已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式..两点式：y=a(x—x)(x—x)(a丰0)12已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式..对称式：y=a(x—x)(x—x)+k(a丰0)12已知抛物线经过点(x,k)、(x,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式.12注意：(1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；(2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2—4ac三0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的几何变换.二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”..二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.(1)关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=—ax2—bx—c.y=a(x—h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=—a(x—h)2—k.(2)关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2—bx+c.y=a(x—h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k.(3)关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c.y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2—k.(4)关于顶点对称b2y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=—ax2—bx+c .2ay=a(x—h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=—a(x—h)2+k(5)关于点(m,n)对称y=a(x—h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=—a(x+h—2m)2+2n—k.二次函数图象的翻折函数y=1f(x)I的图象可以由函数y=f(x)通过关于x轴的翻折变换得到.具体规则为函数y=f(x)图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方、.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当'=b2—4ac>0时，图象与x轴交于两点A(xJ0)，B^x2，°)(xi*x2),其中的xi，x2是一元二次方程ax2+bx+c=°(a丰°)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|=b2^4a^21 a|.二次函数的面积最值1.铅垂法：S=-x水平宽x铅垂高.2分三步走：(1)过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点；(2)设出点坐标，表示线段长；(3)利用二次函数配方求最值..切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使△°.例2、(1)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)图象如图2-1,则a值

(2)如图2-2,抛物线①②③④对应的解析式为y=ax2,y=ax2,y=ax2,y=ax2,1234将a、a、a、a从小到大排列为 ^1234巩固2、(1)已知抛物线经过点4(-2,7),B(6,7),C(3,—8),D(m,-8),则m=.(2)已知抛物线y=x2+2x+1经过点A(m,n),B(m+6,n)，则n=.(3)已知点A(x,5),B(x,5)是函数y=x2-mx+3上两点，则当x=x+x和x=1 2 12时的函数值相等．巩固5、(2)已知函数y=x2-1xI-12的图象与x轴交于相异两点A、B,另一抛物线y=ax2+bx+c过A、B，顶点为尸，且△APB是等腰直角三角形，求a、b、c.例8、(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-1所示，有下列结论：①b2-4ac〉0；②abc>0;@2a+b>0;®9a+3b+c<0;@8a+c>0.正确的是(2)如图2-2,抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(x,0)、B(2,0),交歹轴正半轴于C,1且OA=OC.下列结论：①a-b->0；②ac=b-1;③a=--;④2b+c=2，其中结论正c2确的是 ．图2-1图2-1图2-2例9、(1)已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图4-1所示，顶点为(-1,0),下列结论:①abc<0；0b2-4ac=0；©a>2；®4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是(2)二次函数y=+施+c的图象如图4-2所示，给出下列结论：①2a+~>0；②若b-1<m<n<1,贝Um+n<——；③31aI+1c1<21bI；④b>a>c,其中正确的结论有a例题1c例题1c不经过第象限.(2)如图1-2,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,2)和(1,0),给出五个结论：①abc<0;®2a+b>0;@a+c=1;④a>1;@9a+6b+4c>0.其中结论正确的是.(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1-3,小丹观察得出了下面五条信息：①c<0:②巩固1：巩固6、(1)如图2-1,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,2),下列结论:①4a-2b+c<0；②2a-b<0；③b<-2；④(a+c)2<b2,其中正确的结论有.(填序号)(2)如图2-2,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,2),下列结论：①2a+b<0；②abc<0=③a+c<-1；©b2+8a<4ac，其中正确结论的有.(填序号)图图3-1 图3-2 图3-3(3)(成外半期)二次函数y=依2+bx+c(a*0)的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①abc<0:②b<a+c；③4a+2b+c>0；@b2-4ac>0；@a+b>m（am+b）,（m丰1的实数），其中正确的结论的有.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3巩固2：巩固7、(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图像如图3-1所示，它与x轴两1个交点分别为(-1,0)，G，0).对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③—a—1b+c<0；2④8a+c>0.其中正确的有.(填序号)一.一 一 一、，」11 (2)如图3-2,抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的对称轴是x=-1,且过点—,0，有下列结12)论：①abc>0;®a-2b+4c=0;@25a-10b+4c=0;®3b+2c>0.其中正确的结论有.(填序号)(3)如图3-3,已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与歹轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点)，下列结论：①当x>3时，2y<0；②3a+b<0；③-1<a<——；④4ac-b2>8a；其中正确的结论是 .(填3序号)例11、(3)如果将抛物线y=-2%2+8向右平移a个单位后，恰好过点(3,6),那么a值为例12、已知二次函数y二%2-2%—1，求：(1)与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为；(2)与此二次函数关于歹轴对称的二次函数解析式为；(3)与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ．例13、已知二次函数y=a%2+4a%+4a-1的图象是C.1(1)求C关于点R(1,0)中心对称的图象C的解析式；12(2)设曲线C、C与歹轴的交点分别为A,B，当IAB1=18时，求a的值.12巩固8、(1)如图6-1所示，已知抛物线C的解析式为y=%2-2%，则抛物线C的顶点坐00标 ；将抛物线C每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C、C、0 12C、…、C(n为正整数)，则抛物线C的解析式为.3n n(2)如图6-2,把抛物线y=1%2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-6,0)和原点0(0,0),2巩固9、已知关于x的一元二次方程2%2+4%+k-1=0有实数根，k为正整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2%2+4%+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1y=-x+b（b<k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围.21例14、分别求出在下列条件下，函数y=-2x2+3x+1的最值:（1）x取任意实数；（2）当-2WxW0时；（3）当1WxW3时;（4）当-1WxW2时.巩固11、试求y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3WxW3的最值．例15、已知函数y=x2-2x+2在tWxWt+1范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式．11例16、已知函数y=-9x2-6ax-a2+2a在区间一WxW有最大值-3，求实数a的值.3 3巩固13、设y=x2+ax+3-a,当-2WxW2时，y的最小值不小于0,求实数a范围.巩固16、某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？(3)该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程.若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围.例19、(1)抛物线y=％2+5%+a2与一次函数y=ac+2a-1有交点，则a的范围(2)已知函数y=mc2-3%+2(m是常数)，若一次函数y=%+1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为 ．例20、(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+b%+c+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根 B.无实数根C.有两个同号不相等实数根 D.有两个异号实数根(2)若方程1%2-4%+31=m有两个相异的实数解，则m范围是巩固17、(1)二次函数y=%2+k+k-1的图像与x轴的交点个数.(2)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：①直线y=0是抛物线y=4%2的切线；②直线%=-2与抛物线y=-%2相切于点(-2,1)；4③直线y=%+b与抛物线y=4%2相切，则相切于点(2,1)；④直线y=k%-2与抛物线y=—%2相切，则k=±丫2.4其中正确的命题是 ．(3)若方程I%2-5%1=a有四个不相等实根，则a的取值范围是

例21、已知二次函数y=％2-%+c.(1)若点4-1,n)、B(2,2n-1)在二次函数y=12-%+c的图象上，求此二次函数的最小值;(2)若D(2,y)、E(%,2)关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y=%2-%+c+3的交点个数，并说明理由.8巩固18、已知二次函数y=%2-2%-3及一次函数y=%+m.12(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y=%+m有三个不同Vm%+Vm%+m2与x轴两交点间距离的最大值为(2)设二次函数y=a%2+b%+c经过点4(0,2)、B(1,-1)，且其图象在x轴上所截得的线段长为2<2.求这个二次函数的解析式.巩固20、已知：y关于x的函数y=(k-1)%2-2k+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围；(2)若%、%是函数图象与x轴两个交点的横坐标(%丰%),且满1 2 12(k-1)%2+2kx+k+2=4%%.①求k的值；②当k<%<k+2时，求y的最大值与最小值.1 2 12巩固21、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a%2+b%+c过点(2,2),且当%=0时，y取得最小值1．

(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点C(1,3)，试探索是否存在满足下列条件的直线/；①直线/过点C(1,3)；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由．巩固22、已知：抛物线与x轴交于4(-2,0)、B(4,0)，与歹轴交于C(0,4).(1)求抛物线顶点D的坐标；(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？例22、已知二次函数y=12+bx+c的图象如图所示(1)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另点的坐标为(-1,0),与歹轴的交点坐标为(1)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另(2)根据图象回答：当x取何值时，-3<y<0.例23、(1)已知关于x的方程x2+(m-5)x+m-2=0有实根，且方程的两根都大于0,则实数m的取值范围是.(2)已知方程ax2+(a+2)x+9a=0的两个实根x和x，且x<1<x，求实数a取值范围.12 1 2巩固23、(1)方程x2-11x+(30+a)=0有两实根，两根都大于5,则实数a范围(3)方程7x2-(p+13)x+p2-p—2=0的两根a、p满足0<a<1<p<2，求实数p范围巩固24、(1)已知关于x的方程x2-(2-a)x+5-a=0的一个根大于0而小于2,另一个根大于4而小于6,则实数a的取值范围是.(2)若关于x的方程4x2-2mx+n=0的解都位于0<x<1的范围中，求正整数m,n的值.

例24、已知抛物线y=ax2+例+1经过点A(1,3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式；(2)点C、D分别是x轴和歹轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值.k例25、如图，已知抛物线y=k(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交83 于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-『x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?例26、已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(1,3)和点B(2,1).(1)求此抛物线解析式；(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；(3)过点B作x轴的垂线，垂足为E点.点尸从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若尸点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的“2倍，试确定点F的位置，使得点尸按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明)

例27、如图，已知抛物线y=ax2-4x+c经过点A(0,-6)和B(3,-9).(1)求出抛物线的解析式；(2)点P(m,m)与点Q均在抛物线上(其中m>0)，且这两点关于抛物线对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(3)在满足(2)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点X，使得△QMA的周长最小.巩固25、如图，已知二次函数y=-2x2+bx+c(c<0)的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点。，且OC2=OA-OB.(1)求c的值；(2)若4ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使^PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.巩固3：如图，在平面直角坐标系中，RdAOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90。，得到ACOD.(1)求C、D两点的坐标；(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标.巩固27、如图，抛物线的顶点A的坐标(0,2)，对称轴为歹轴，且经过点(-4,4).(1)求抛物线的表达式.(2)若点B的坐标为(0,4),P为抛物线上一点(如图)，过点P作PQ1%轴于点Q，连接PB.求证：PQ=PB.(3)若点C(-2,4)，利用(2)的结论.判断抛物线上是否存在一点K，使△KBC的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K的坐标；若不存在