抛物线及其性质讲义-2025届高三数学一轮复习

第第页抛物线及其性质【知识点1】抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注意：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点F.【知识点2】抛物线的方程、图形及性质拋物线的标准方程有4种形式：，，，.其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向.标准方程图形对称轴轴轴顶点原点（0，0）焦点坐标准线方程【知识点3】抛物线中常用结论点与抛物线的关系P在抛物线内（含焦点）.P在抛物线上.P在抛物线外.焦半径抛物线上点与焦点F的距离称为焦半径.焦点弦过焦点的直线与抛物线交于，两点，则AB就是抛物线的焦点弦.；（2）；（3）焦点弦长公式1：；焦点弦长公式2：（为直线AB与对称轴的夹角）.（4）（为直线AB与对称轴的夹角）.抛物线的弦若AB是抛物线的任一条弦，，，弦AB的中点，则弦长公式：；；直线AB方程：题型一：抛物线的定义与标准方程【例1】若点P到直线x=—1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（ ）圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线【变式1】动点M到点F（2，l）的距离和到直线的距离相等，则动点M的轨迹为（ ）抛物线 B.直线 C.线段 D.射线【例2】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）B.1 C.2 D.4【变式1】设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=—2，则拋物线的方程是（）B. C. D.【例3】设抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到抛物线焦点的距离是（ ）A.4 B.6 C.8 D.12 【变式1】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点0，并且经过点M（M到该拋物线焦点的距离为3，则=_________.【变式2】设F为抛物线的焦点，A，B，C为该拋物线上三点.若,则（）A.9 B.6 C.4 D.3【例4】过抛物线的焦点F作倾斜角为60°的直线与拋物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），则=___________.【变式1】已知F是抛物线C：的焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点.设，则与的比值等于_________.【变式2】已知点A(2，0)，抛物线C：的焦点为F，射线FA与拋物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（）A.2：B.1：2C.l：D.1:3【例5】已知直线和直线，拋物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是___________.【变式1】已知点P是拋物线上的一个动点，则点P到点M（0，2）与到该抛物线准线的距离之和的最小值为___________.【变式2】已知点P在抛物线上，那么当点P到点Q(2，一1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）AB.C.(l，2) D.(l，—2)题型二：抛物线中三角形、四边形的面积问题【例1】在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在轴上方，若直线的倾斜角为60°，则的面积为_____________.【变式2】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为_________.【变式3】如图所示，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的