材料力学课件：平面图形的几何性质

1§A–1静矩和形心§A–2惯性矩、惯性积、惯性半径§A–3惯性矩和惯性积的平行移轴定理§A–4惯性矩和惯性积的转轴公式、主惯性矩和主惯性积

平面图形的几何性质力学响应的决定因素载荷（形式、大小、方向、作用线、加速度）材料（弹性模量、切变模量、泊松比）几何性质（尺寸、形状）结构的几何性质对变形的影响FFFF只与横截面的几何形状和尺寸有关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作用，如横截面面积A，圆轴横截面对圆心的极惯性矩IP等。拉压杆圆轴扭转弯曲梁截面图形的几何性质§A–1静矩和形心1.静矩（面积对轴之矩）静矩为面积与它到轴的距离之积。2.形心（等厚均质板的质心与形心重合）等厚均质质心等于形心坐标正负面积法累加式例1试求图中阴影部分的图形对矩形截面对称轴的静矩。静矩的特征（1）静矩是对某一坐标轴定义的，故与坐标轴选择有关。

（2）单位：m3

（3）静矩的数值可正、可负、或为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必过图形形心。

（4）若已知图形形心坐标，可求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，可求图形的形心坐标。A–2惯性矩、惯性积、惯性半径1.惯性矩（与转动惯量类似）

是面积与它到轴的距离的平方之积。2.极惯性矩

是面积对极点的二次矩。例2试求矩形截面对其对称轴

和

的惯性矩。例3试求直径为的圆截面对过其圆心的正交坐标轴和

的惯性矩。（1）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为正值，单位：m4

（2）截面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

（3）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对正交坐标轴的轴惯性矩之和，即

（4）组合图形对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各组合图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即惯性矩和极惯性矩的特征

3.惯性积如果x或y

是对称轴，则Ixy=0。面积与其到两轴距离之积。（1）截面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2）惯性积的单位为m4。

（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标轴中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴中并不一定有图形的对称轴。

（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组合图形对同一坐标轴的惯性积之和，即惯性积的特征4.惯性半径：惯性半径的特征：（1）惯性半径是对某一坐标轴定义的。（2）惯性半径的单位为m。（3）惯性半径的数值恒为正值。惯性半径是衡量截面图形对某一轴惯性矩大小的参照值。1.静矩2.极惯性矩图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度。静矩可用以求截面形心和计算截面内各点切应力。图形面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度。极惯性矩主要用以求解圆截面的扭转。截面图形几何性质的几何意义和力学意义3.轴惯性矩4.惯性积图形面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度。反映截面抗弯特性的一个物理量，构件的抗弯能力和轴惯性矩成正比。图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。描述截面的转动性能。静矩极惯性矩惯性矩惯性积截面图形对形心轴之静矩等于零。截面绕极点转动任意角度，极惯性矩不变。在所有与形心轴平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩最小。若两个坐标轴中有一个为图形的对称轴，则其惯性积等于零。小结A–3惯性矩和惯性积的平行移轴定理1.平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC(xC,yC)：dA在xCOyC坐标系中的坐标(a,b)：形心C在xoy中的坐标注意：C点必须为形心dAxyyxrabCxCyC平行移轴公式的特征

（1）截面图形的面积为A；轴为图形的形心轴；x，y轴为分别与形心轴相距为a和b的平行轴。

（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，由形心在xoy坐标系中的坐标来确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。例4试求例5试求图示截面对两轴的惯性矩。A–4惯性矩和惯性积的转轴公式、主惯性矩和主惯性积1.惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1以逆时针为正2.截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩（1）主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到

=

0

时；恰好有与

0

对应的旋转轴x0

y0

称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩称为主惯性矩。（2）形心主轴和形心主惯性矩：主惯性轴的原点与形心重合时，称其为形心主惯性轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。形心主惯性矩：（3）两个结论：若截面图形对于过某一点的一堆主惯性轴的两惯性矩相等，则过该点的任一对正交坐标轴均为主惯性轴。因为：所以：对于任意角度，都有任何具有三根或三根以上对称轴的截面图形（如正多边形截面、圆形截面），它们的所有形心轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩相等。例6计算Z形截面的形心主惯性矩。解：（1）确定形心位置把截面分解为I、II、III三个图形，该组合图形的几何中心C，即为形心。过形心C，建立坐标系yCz（2）计算截面图形对Cy轴、Cz轴的惯性矩和惯性积（3）确定形心主惯性轴的方位，计算形心主惯性矩（4）求截面形心主惯性矩的基本方法①建立坐标系②确定形心坐标③建立形心坐标系；求：IyC

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